内容提纲
  • 科学中指数方程的典型形式
  • 常数e
  • 求解用到e的指数方程
  • 示例问题 1：细菌生长
  • 示例问题 2：碳14测年法
  • 指数方程在科学中的应用
你知道么？
你知道么，通过使用“碳-14”测年法和数学中的指数方程，科学家证实了维京人在哥伦布到达前50年就访问了北美？科学家处理不断变化的自然系统时，使用一种特殊形式的指数方程。这个通用方程可用于确定已经过去的时间量、某物的增长或衰减程度、某物在一段时间之前或之后的数量。
关键概念
  • 科学中非常常用的一种指数方程形式是N=N0ekt，它描述了随时间的增长或衰减。
  • 常数e是表达式 (1+1/n)n随n递增的极限，表示任何持续增长系统的增长极限。
  • 常数k是一个增长常数，其值取决于系统的材料、过程、环境条件。
也许你听说过“像兔子繁殖”这种说法，也就是增长非常迅速。这句话背后是有道理的：从六个月大开始，母兔每个月最多可以生一窝14只小兔子。如果一只母兔活了7年并保持了这种繁殖率，并且所有雌性小兔子在6个月大时都开始以相同的速度繁殖......好吧，那会有很多兔子。
兔子种群增长速度的生物学极限取决于妊娠期、兔子的成熟时间、窝的平均大小。所有这些因素都可以在数学上结合起来，以预测给定时间段内兔子种群的增长率。虽然其他因素可能会降低增长率，但该等式将描述上限。描述随时间增加的增长类型的方程类型是指数方程，在模块“指数方程I：增长与衰减”中介绍。然而，在处理具有可变性和不断变化的自然系统时，指数方程采用科学中常见的特定形式。
科学中指数方程的典型形式
许多自然现象表现出指数增长（如人口增长）或衰减（如放射性同位素的消耗），因此指数方程在科学中经常使用。在几乎所有情况下，时间都是这些现象中的一个重要变量，因此科学家经常使用一个特定的指数方程，其中已经内置了时间变量。许多科学家用来描述生长或衰变事件的指数方程是：
N=N0ekt
这个方程与y=abx非常相似，我们在模块“指数方程I：增长与衰减”中介绍过这个方程。事实上，我们可以将每个分量从一个方程映射到另一个方程：
  • N0是时间0时某物的数量，与初始值a相同。
  • e是一个常数（近似值 2.71828），它替换了基值b。
  • k是一个常数，它决定了值的增长或衰减速度，称为增长或衰减率常数。
  • t是时间变量，它取代了变量x。
  • N是某物的数量，相当于变量y，它取决于初始值、增长率和时间。
请注意，k和t在等式中相乘。因为k是一个速率，所以它的单位是“每单位时间”，可能是每年（yr-1） 或每小时（hr-1）。变量t具有时间单位：年、（yr）或小时（hr）。因此，k乘以t时，它们的单位相抵消，我们得到一个无单位指数。我们将在本模块的后面看到这方面的示例。
这些常数e和k从何而来？为什么它们会出现在科学中使用的这么多指数方程中？首先，需要指出的是，e和k是非常不同的常数。具体来说，k这个常数其值因每种材料或过程而异（例如，衰变到14N的放射性同位素14C的衰变k值与衰变为206Pb 的放射性同位素238U的k值不同）。相反，e始终是e，它始终具有完全相同的值。但是这个值是什么，为什么它会出现在指数方程中？
【考考自己】在指数方程中，常数___总是同一个值。

a.e

b.k
常数 e
之前你可能已经了解过数字e：它是最常用的无理数。无理数就是不能表示为分数的数字。e的前32位数字是2.7182818284590452353602874713527。但这只是前32位数字。到了2010年，近藤茂（Shigeru Kondo）成功地将e的值计算到1万亿位（Yee，2011 ）。
但是e是从哪里来的，它是什么意思？在整个十七世纪，欧洲的许多数学家都在探究指数，探索其数学概念以及这些概念在从天文学到金融等各个领域的应用。1683 年，瑞士数学家雅各布·伯努利 （Jacob Bernoulli） 正在研究表达式 (1+1/n)n。他认识到，这种表达方式涉及复利的计算，这是一个重要的金融主题，苏美尔商人早在公元前 1700 年就将利息计算记录在泥板上（Maor，1994）（参见图 1 的示例）。
图1  一块楔形文字石板，记录了每月支付45谢克尔利息的白银贷款。
利息是银行（或其他实体）为你的投资所支付的费用，通常以利率的形式提供，例如每年5%。假设你以5%的利率在银行的储蓄账户中投资了100 美元。如果使用单利计算支付给您的金额，他们将每年向你支付初始投资的5%，因此你将获得100美元的5%，即每年5美元。但是，如果他们使用复利，他们会根据你账户中的总金额计算利息。所以第一年，你会赚5 美元。第二年，你将获得5美元的105%利息，即5.25美元。第三年，你将获得5美元的110.25%利息，即5.51美元。换句话说，你每年都会多赚一点。
伯努利正在探索更频繁地支付利息的想法：一年两次或一年三次。换句话说，如果你想最大限度地提高投资利息，那么该利息的计算频率应该是多少？在伯努利表达式中 (1+1/n)n，数字n是指每年计算利息的次数。伯努利在处理这个表达式时观察到，随着n变得越来越大，这个表达式的值总是在2到3之间，即使对于非常大的n个值也是如此（见表 1）。
12
22.25
42.44140625
62.52162637
102.59374246
1002.70481382
10002.71692393
100002.71814592
1000002.71826823
10000002.71828046
表1：为增加n而计算的表达式值。请注意，方程的解总是介于2和3之间，即使n变得非常大。
查看表1中的值，可以看到，虽然表达式的值总是在增加，但随着n的增加，方程解的增加量越来越小。如果从计算利息的角度来考虑这个问题，伯努利的结果表明，你从每年计算和支付利息十次中获得的收益并不比你每年计算六次得到的多，最大的区别是一年一到三次。随着n值的替换越来越大，表达式的值接近一个常数，该常数约为2.71828，这是伯努利报告的极限值（图2）。如果你有100%的利率，并且如果每年支付无限次，这将是为你投资支付的利息值。这个极限的值就是我们今天称之为e的数字。伯努利制定了表达式并找到了值，而另一位数学家伦纳德·欧拉 （Leonard Euler） 被认为在十八世纪初期将这个常数形式化为e。
图2：表1中显示的部分数据的图形，水平线为极限e=2.71828。
所以e是伯努利方程的极限，但为什么它在科学的指数方程中如此普遍地使用，取代了基值b？除了计算利息之外，这还有什么应用？为了解决这些问题，回到指数方程（如y=2x）可能会有所帮助。表2显示了该等式的一系列 y值。
y
01
12
24
38
416
表 2：方程的x和相应的y值。
如果x的每个值都被视为长度相等的时段（例如一小时、一天或一年），则每个时段的y都会加倍。但是指数方程y=2x假设所有这些倍增都发生在时段，而不是逐渐发生。例如，如果你有100个细菌细胞坐在培养皿中，并且你知道它们大约每小时分裂一次，使用这个等式意味着所有100个细胞将等待60分钟，然后同时分裂。然而，这是不现实的。相反，每个细菌在不同的时间分裂，但一个小时过去后，它们都分裂了——一些在一小时开始时分裂的细菌会再次开始分裂。换句话说，细菌的数量在那一小时内不断增长，而不是一下子翻倍——它们的增长遵循与利率为100%复利相同的数学进程（假设利息是连续支付的）。
种群数量的增长速度也是有限的。一个细菌只能分裂成两个，不能分裂成四个或五个。因此，这种自然的、持续、逐渐增长的人口不是用基值（b）为2的指数方程来准确描述的，而是用基值（b）为e的指数方程来准确描述的。常数e在数学中有很多用途，但在科学中它是随时间不断变化（增长或衰减）的系统中的基本变化率（增长或衰减）。这些系统可能是细菌群、化学反应、放射性物质的衰变。
在科学中，常数e与常数k密切相关。k通常被称为增长率常数，作为方程N=N0ekt中的指数，k根据特定材料、过程、环境条件去改变基准速率e。例如，大多数细菌在室温下比在接近冰点时分裂得更快，因此由于环境条件不同，相同的细菌在不同温度下具有不同的生长速率常数k。两者都是增长率，因此在这两种情况下k都是正数。相比之下，两种不同的放射性同位素，例如14C和238U，具有不同的k值，即使它们都因材料不同而发生放射性衰变。但是，由于这两种同位素会随着时间的推移而衰变或减少，因此两个生长速率常数都是负的——这是一个与繁殖不同的过程。
【考考自己】一个种群数量的快速增长没有极限。
a.对
b.错
求解使用 e 的指数方程
方程N=N0ekt可以针对其中的任何变量求解，有时科学家有兴趣找到 t（经过的时间量）、k（某物在给定条件下的增长或衰变率）、N0（某物的初始量）、N（已知时间过后的某物量）。以下示例问题解决了其中一些问题。
示例问题 1：细菌生长
我们经常被建议在打开食物后冷藏食物。在冰箱外过夜的剩菜可能会很快“变质”，即使它们会在冰箱中保存几天。为什么会这样？其中一个原因是细菌的存在——细菌无处不在，有些对我们有益，有些对我们有害。在许多情况下，细菌的生长速度呈指数级增长，但生长速度（或图表上曲线的陡峭程度）因温度而异。
1991年发表的一项研究测试了植物乳杆菌（图3）的生长速率，这是一种在发酵食品中发现的一般良性细菌，在6°C至43°C的几种不同温度范围内（Zwietering等，1991）。在让培养物生长24小时后，该研究的作者确定了这些不同温度的生长常数 （k）。在6.0°C（大约在冰箱里找到的温度）下，他们发现生长速率常数为k= 0.0168hr-1，而在28°C（接近室温）时，他们发现生长速率常数为k=0.88hr-1。（请记住k的单位是“每单位时间”，并且k可能因材料、工艺、环境变量（如温度）而异。如果将酸奶从冰箱中放出12小时，这对酸奶中生长的植物乳杆菌数量意味着什么？
图3  乳酸菌
作为参考，这个问题的指数方程N=N0ekt的关键：
N=植物乳杆菌总数
N0=植物乳杆菌的初始
k=植物乳杆菌生长速率
t=经过的时间
e=常数，约为2.71828
使用方程N=N0ekt，我们可以确定12小时后两种温度下的细菌数量。首先，让我们弄清楚如果我们将酸奶放回6°C的冰箱中会有多少细菌。我们知道酸奶中已经有一些植物乳杆菌（L. plantarum），因此我们可以假设以下值：
N0=10（我们假设这个初始值，尽管它可能要高得多）
k=0.0164hr-1
t=12hr
将这些值代入等式，我们得到：
N=N0ekt
N=10e0.0164(12)
N=12
如你所见，冰箱中的细菌数量并没有增加太多。让我们在更高的温度下尝试相同的方程，其中k=0.8hr-1：
N=N0ekt
N=10e0.8(12)
N=147648或N=1.5x105
这比你开始时的细菌要多得多——k值的看似非常小的变化会导致N的非常大的变化。这是指数方程的一个特征，模块“指数方程I：增长与衰减”中有更详细的描述。
【考考自己】在N=N0ekt类型的方程中，k的微小变化
a.带来N
的微小变化

b.可以让N变化很大
示例问题 2：碳 14 测年法
碳-14测年（或14C测年）是一种技术，可用于确定曾经存在过的含有碳的任何东西的年龄，从木头和木炭到骨头和皮肤。14C是一种放射性同位素，少量存在于大气和所有生物体中，它以指数衰变速率衰变，衰变速率为k= -0.000128yr-1。当生物体活着时，它会不断地与大气交换14C，补充衰变的同位素并保持大致恒定的量。然而，一旦有机体死亡，这种交换和补充就会停止，死亡时存在的14C就会衰变。（请注意，由于这是一个指数衰减过程，因此k的值为负数。在之前的问题中，我们研究了生长过程，k为正数。因为我们知道衰减率，所以如果我们知道起始量还剩下多少14C，我们就可以确定某物的年龄（有关14C测年工作原理的更多信息，请参阅“不确定性、误差、置信区间：对自然变异与人为误差的表征”模块）。
1995年，来自亚利桑那大学、美国能源部布鲁克海文国家实验室、史密森学会的科学家使用14C测年法确定了一张有争议的羊皮纸的年龄。这张羊皮纸可能是有史以来第一张北美地图，即文兰地图（如图4所示）。地图上的文字部分内容如下：
根据上帝的旨意，从格陵兰岛向南航行到西洋最遥远的剩余部分，在冰层中向南航行，同伴比亚尼和莱夫·埃里克森发现了一片新土地，非常肥沃，甚至有葡萄藤，......他们给那个岛取名为文兰岛。
图 4：文兰地图
如果这幅地图是真的，则表明维京人在哥伦布之前就知道北美。
科学家们从文兰地图的右下角切下一小块羊皮纸，并通过测年过程运行样本的不同部分（Donahue等，2002）。在进行了大量测试后，该小组发现纸张中14C的含量约为现代值的93.5%。利用这些信息和方程N=N0ekt，他们拥有了找到羊皮纸年龄所需的东西。我们知道：
N=N0ekt
N0=100%或1.0
k=-0.00012yr-1
代入这些值，我们得到：
N=N0ekt
0.935=1e-0.00012t
为了求解t，我们使用一种称为对数的运算，并取两边的自然对数 （ln）。
ln0.935=-0.00012t
-0.0672=-0.00012t
t =-0.0672/-0.00012
t=560年
根据我们的计算，这幅地图在1995年已有560年的历史。这表明这幅地图绘制于1435年左右，即哥伦布来到美洲之前50年，这表明文兰地图是真实的。
【考考自己】因为我们知道碳14同位素的衰减率，所以一旦我们知道_____就能够确定东西有多古老。
a.起初的碳14还有多少留到了现在

b.一个生命如何死亡
指数方程在科学中的应用
N=N0ekt形式的方程在科学中无处不在。它们在地球科学中用于根据长寿命同位素（如40K）的放射性衰变来确定岩石的年龄，在流行病学中用于预测具有特定潜伏期的病毒的生长和传播，在化学中用于描述反应速率，在兔子等生物种群中用于管理其种群，以及无数其他方式。所有这些系统不仅随着时间的推移表现出简单的翻倍或三倍（或减半），而且不断增长或衰减，因此更准确地用 e 而不是整数的基本增长率来描述。
资料来源：
Anne E. Egger, Ph.D., Janet Shiver, Ph.D., Teri Willard, Ed.D. “Exponential Equations II” Visionlearning Vol. MAT-3 (3), 2014.
https://www.visionlearning.com/en/library/math-in-science/62/exponential-equations-ii/210
References
  • Donahue, D. J., Olin, J. S., & Harbottle, G. (2002). Determination of the radiocarbon age of the parchment of the Vinland map. Radiocarbon, 44(1), 45-52.
  • Maor, E. (1994). e: The story of a number. Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Yee, A. J. (2011). Large computations. Number World. Last modified March 7, 2011. http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html
  • Zwietering, M. H., de Koos, J. T., Hasenack, B. E., de Witt, J. C., & van't Riet, K. (1991). Modeling of bacterial growth as a function of temperature. Applied and Environmental Microbiology, 57(4), 1094-1101.
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