内容提纲
  • 数与记数系统
  • 记数系统的历史
  • 科学记数法
  • 如何用科学记数法表达一个数
  • 科学记数法与小数点位置
  • 数量级
  • 如何用科学记数法做除法
  • 举例：所有大大小小的生物
  • 总结
你知道么？
你知道古埃及人需要18位数字才能表达99吗？同样是99，我们只使用两位数字来表达。因多亏了我们现代的数字书写系统使用“位值”——每个数位代表一个数量级。数量级是描述物体大小和比较不同物体大小的便捷方法。
关键概念
  • 科学家处理的测量结果经常很大或很小。因此科学家的思考基于数量级，以有效表达并区分测量结果。
  • 测量系统中的十进制内嵌数量级，一个数量级代表十倍的差异。
  • 用科学记数法，也就是一个数乘以十的幂 (10x)，更容易表达极大或极小的数字。
  • 用科学（以十为基数）计数法表达数字，更容易执行简单的数学运算。
测量是科学的基础。正是通过测量并评估测量结果，科学家研究和解释现象。我们对测量得到的结果进行比较，例如比较人和动物谁的力气更大。普通人可以轻松地举起自己体重1倍的东西，而大猩猩可以举起自己体重的10倍，蚂蚁可以举起自己体重的100倍，而粪甲虫则可以举起自己体重的1000倍。（这粪便可不少！）科学家比较时通常会考虑到“数量级”（orders of magnitude），他们可能会说粪甲虫的力量是人类的1000倍。
数量级是用十的幂来描述度量大小的方法。数量级以十为基数，估计某物的近似价值或大小，例如“百万量级（数百万）”。举个例子，美国国债为“十万亿量级（数十万亿）”美元，这意味着它在10万亿到99万亿之间。数量级是科学中一个特别重要的概念，科学家因此可以用科学计数法表达数字，并粗略地确定一物与另一物相比大多少或小多少。要了解数量级，我们必须首先了解十进制系统和科学记数法。
数与记数系统
数是数量或度量的抽象概念，例如二或三。而数字是表示数字的符号，例如符号“2”或“3”。一组符号以及规定如何表达数的规则被称为记数系统。早期许多记数系统都是基于符号所代表的值，为了得到更大的数字，符号按顺序写入，并将它们的值加在一起。例如在埃及记数系统中，符号 | 代表一，|| 代表1+1或二。||| 代表三，以此类推（参见图1）。这个系统有个问题，就是数字会变得非常长。用一个新符号（比如∩）表示“十”可以部分解决这个问题。但问题并没有完全解决，99在埃及符号中看起来像这样：
∩∩∩∩∩∩∩∩∩∣∣∣∣∣∣∣∣∣
图1：埃及卢克索北部卡纳克神庙的数字象形文字。
有别于埃及的记数系统，现代记数系统是一种“位值系统”。用十个符号用于指示零到九之间的数量，而特定符号的位置代表十的特定幂的值。例如，数字“1”根据其在数字中的位置表示不同的值。数字“11”代表数字十一，而不是埃及系统中的数字二，因为十位有一个“1”，个位有一个“1”。所以十加一等于十一。这个系统与埃及的有个共性，即我们都将每个位置的值相加以获得最终的数字。我们可以根据每个数字的位置来确定每个数字的值，比如数字2576可以展开为：
(2×1000)+(5×100)+(7×10)+(6×1)
注意，这里的每个数字都乘以10的幂。例如，5乘以100。由于100是10的倍数，因此可以写为10x10或102。1000也是10的倍数，可以写为10x10x10或103。使用10的幂，我们可以重写展开式，凸显其功能：
(2×103)+(5×102)+(7×101)+(6×100)
可以看到，这么写的时候，指数表示数字的位置。每个数字的位置很重要，因为它告诉我们该数字总和中包含的十的幂。能够使用十的幂来表达数字对于理解数量级很重要，例如，请查看下表。
十的幂
数字
105
100000
104
10000
103
1000
102
100
101
10
100
1
表1：十的幂。
【考考自己】在数字50607920中，数字“7”代表
a.7×103
b.7×104
记数系统的历史
我们的记数系统来自哪里？十进制源自印度的符号。这些符号随着印度商人传到阿拉伯和伊斯兰民族，最后到了欧洲。这些符号随着时间的推移而演变，被不同文明所使用。阿布·哈桑·艾哈迈德·本·易卜拉辛·乌格里狄西（Abu'l Hasan Ahmad ibu Ibrahim al-Uqlidisi）是第一位使用此类系统的数学家。在公元953年的文档中，他讨论并以十进制位值形式表达，和我们今天使用的形式很像 。这个体系由印度人和阿拉伯人发展而来，因此被称为“印度-阿拉伯体系”（Hindu-Arabic system）。（图2数字演变的一个例子。）
图2：历史上不同文化中的数字。可以看到数字符号的演变：婆罗米语、印度语、阿拉伯语、十五世纪的欧洲，还有我们普遍用到的现代数字。
科学记数法
我们的现代记数系统，写大的数字的确比埃及系统容易些。但非常大和非常小的数，写起来仍然很麻烦，因此科学家使用科学记数法，它是一种更简洁的方法，更容易表达非常大或非常小的数的方法。例如，地球表面积为169900000平方英里，世界人口约为7403000000。如果需要将这两个数相除，得出地球上每平方英里有多少人，要怎么办？这些巨大的数相除很麻烦。我们可以用科学记数法将它们表示为1.699x108和7.403x109。如何转换这些数字？为什么用科学计数法更容易处理？为了了解科学记数法，我们先看看它从何而来。
地球表面积
世界人口
 每平方英里的人口
标准数：
169900000
7403000000
7403000000/
169900000
科学记数：

1.699×108
7.403x109
7.403x109/
1.699×108
表2：标准计数法与科学记数法。
科学记数法从十进制系统发展而来，速记表达非常大或非常小的数字。科学记数法有两个部分。看一个例子，1.6x108，我们可以看到第一部分是一个大于或等于1但小于10的十进制数（这里是1.6）。第二部分是使用指数表示的10的倍数（此处为108）。我们今天用来表示指数的符号，最早由苏格兰数学家詹姆斯·休谟（James Hume）1636年使用。不过，他使用罗马数字来表示指数。使用罗马数字作为指数有个问题，因为许多指数变得非常大，因此休谟的符号并没有持续很长时间。一年后的1637年，勒内·笛卡尔 (Rene Descartes) 成为第一位使用当今的“印度-阿拉伯”数字作为指数的数学家。指数用作表示一个数应与其自身相乘多少次的简写方式，因此103等于10x10x10，24 等于2x2x2x2。
科学记数时，我们使用十进制数字。佛兰德斯数学家西蒙·斯蒂文（Simon Stevin）（图3）于1585年首次使用小数点来表示分母为10的分数。虽然阿拉伯人和中国人早在这之前就已使用小数，但斯蒂文推动小数点在欧洲的普遍使用。斯蒂文著作的英文译本于1608年出版，题为《十进制的艺术》（Disme, The Arts of Tenths or Decimal Arithmetike）。托马斯·杰斐逊总统受他启发，提议为美国建立一种基于十进制的货币。（例如，十分之一美元称为一毛钱。）
图3：位于布鲁日的西蒙·斯蒂文 (1548-1620) 雕像。斯蒂文是佛兰德斯（中古欧洲的一个重要的封建诸侯国家）的数学家和工程师，因引入小数而闻名。
虽然能追溯到科学记数法各部分（小数和指数）的历史，但我们很难确定谁真正首先使用了“科学记数法”这个术语。事实上，直到1961年这个词才出现在字典中，说明它此时才被广泛使用。尽管很难确定该短语的确切起源，但人们通常认为是由一位计算机科学家开始的。二十世纪40年代，康拉德·楚泽（Konrad Zuse）引入了“浮点”的概念。楚泽的浮点表示法，将任何数字表示为一个大于等于1但小于10的小数乘以另一个数的幂。这种表示法让计算机使用二进制代码表示和计算大数和小数变得更容易，即使当时计算机的计算能力有限。此后的二十年中，科学记数法一词通常指以小数（如上所述）乘以任何第二个数字的幂表示数来表示。例如，2.45x23在二十世纪60年代及此前会被看作是科学记数法。如今，只有当第二个数字是10的幂时，例如2.45x103，我们才称之为“科学记数法”。
【考考自己】如今，我们认为16.
7×
2
5
这一表达是科学记数法。

a.对
b.错
如何用科学记数法表达一个数
你知道么，地球年龄约4543000000年，一个碳原子质量为0.0000000000000000000000199265克？这些数非常大或非常小！如果你要经常写或者计算，那可就痛苦了，这么多0。用科学记数法，可以简化书写与运算。
比如要表达地球年龄4543000000年，科学记数法用1到10之间的数字表达，除以1000000000就得到4.543年。但地球年龄不是4.543年，于是需要乘以1000000000。我们可以把地球年龄写成4.543乘以1000000000。我们还可以进一步简化。因为1000000000等于10x10x10x10x10x 10x10x10x10（也就是109）。因此地球年龄的科学记数是4.543x109。
如果指数为负数，那就是乘以1/10。例如10-4相当于乘以
这个数字的表达可以多种，例如：
科学记数法用10的负指数幂来表示很小的数字。
以碳原子为例，它的质量为
0.0000000000000000000000199265克，这个数字很小。我们乘以100000000000000000000000（或1023），得到1.99265。我们还要同时除以1023。因此碳原子的质量可以写成：
这很接近科学记数。我们不做除法，而是改写成：
最后，把10的幂写成指数为负数的指数：
这一来，我们就用到了科学记数法的正确表达。
科学记数法与小数点位置
要想更快地表达一个数字，可以思考小数点需要挪几位。例如，我们的地球年龄4543000000，挪动小数点把这个数变为比1大比10小。也就是说，如果我们把小数点向左挪9位，我们可以得到4.543。而每次向左挪，都相当于除以10。作为补偿，我们需要乘9次10。这正是科学计数法4.543x109。指数为正的数字如果要写成一般的数字，那么指数上的数字是多少，就把小数点向右挪。比如3.79 x 105就转换为379000。
同样，可以用科学记数法表达很小的数字。比如碳原子的质量是0.0000000000000000000000199265克。我们可以先把小数点向右挪23位。
既然我们小数点右挪23位就是乘以10的23次幂。所以，我们要乘以10的负指数幂来补偿，也就是说，一个碳原子的质量可以写成1.99265x10-23克。
总结而言，当我们转换为科学记数法表达时：如果把小数点向左挪，数变小了，我们需要乘以很多10，也就是10的幂指数上是正数。如果把小数点向右挪，数变大了，我们需要除以很多10，也就是10的幂指数上为负数。
【考考自己】数字0.0036写成科学计数法，是____。
a.3.6x 103
b.3.6x 10-3
数量级
科学家用“数量级”描述数的大小。也就是看这个数最接近10的几次幂。例如，我们说中国人口十亿，就是数量级上的近似。因为1000000000可以写成109，因此我们说中国人口在“10的9次”量级。用科学计数法表达，就能知道数量级。
如何用科学记数法做除法
科学家常用数量级比较大小。数量级可以让我们快速确定两个数量之间关系。也就是说，我们要拿科学记数法的数字做除法。比如，地球到太阳的举例是93000000英里=9.3x107miles（英里），而地球到第二近距离恒星比邻星的距离是2.552x1013miles（英里）。到地球到比邻星的距离比到太阳的距离大多少？
为了解这个问题，我们需要把两个距离相除：

注意，当你把两个10的幂相除，指数是相减：

同样，两个10的幂相乘，指数是相加。
回到我们的例子，答案指数上的数字是6，我们可能马上得出结论：距离相差6个数量级，但并不对。一般我们用科学记数法表示。因此0.2712x106并不对，因为0.2712不是1到10之间的数字。要转换为科学记数法，小数点就要往右挪一位，也就是要乘以10，并将指数上的数字减去1用以补偿，得到答案2.712x105。我们可以说两个距离之间相差5个数量级。而由于等于1x105等于10000，我们可以说比邻星到地球的距离比太阳到地球的距离大约大10000倍。
图4：离开太阳最近的恒星系统的位置。比邻星在4光年环的外侧。
我们常在化学中看到物质的浓度。比如，科学家可能会说，砷的浓度是0.01ppm（part per million，每一百万中的一份）。也就是说，每一百万份水中，能找到0.01份砷。也就是1kg水中，能找到0.01mg砷（1kg=1000000mg）。我们可以将这个比较写作比率。
用科学记数法表达上面的分子分母：
相除可得：

我们可以说，砷比水的量小8个量级。

举例：所有大大小小的生物
在本模块开头，我们提到了蓝鲸和浮游生物，它们共享同一个海洋。蓝鲸是地球上最大的生物，蓝鲸的平均质量是190000千克，而浮游生物只有0.5毫克。如果用相同的单位来表示（如需了解如何公制换算，参考“公制系统”模块）。我们可以说蓝鲸质量90000000000毫克（或1.9x1011）毫克，而浮游生物质量0.5毫克（或5x10-1毫克）。
比较这两种海洋生物，我们得到：

所以蓝鲸比浮游生物重1011（或100000000000）倍！
【考考自己】当你比较4.52x107与3.6x10-3，
a.4.52x107比3.6x10-3大10个数量级。
b.4.52x107比3.6x10-3大4个数量级。
总结
科学记数法和数量级是所有科学的基本概念。有了数量级，我们可以用十的幂来表示，就能迅速判断一件事物的大小或者两件事物的差距。用科学记数法表示数字让比较（尤其当我们需要比较的量很大或很小，比如原子质量、到一颗恒星的距离、海洋微生物）、乘除运算变得又快又容易。
资料来源：
Janet Shiver, Ph.D., Teri Willard, Ed.D. “Scientific Notation” Visionlearning Vol. MAT-3 (7), 2016.
https://www.visionlearning.com/en/library/math-in-science/62/scientific-notation/250
几只青椒
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References
  • Schombert, J. (n.d.). History of Astronomy. Retrieved from: http://abyss.uoregon.edu/~js/ast121/lectures/lec02.html
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