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来自：Turnover-Adjusted Information Ratio
作者：Feng Zhang、Xi Wang、Honggao Cao

主动管理基本法则
被称为主动管理的基本法则，也就是说主动管理的能力取决于两个因素选股的质量即IC（取决于Alpha模型）及选股的样本宽度BR。这个法则有两个明显的限制，其一，假设是IC是固定的。另外就是忽略组合的换手率。实证研究表明，换手率与组合表现往往是负相关的。
为了应对第一个限制，Qian(2016)提出使用ICIR作为改进的IR，即ICIR等于IC的均值除以IC的标准差。
其中假设IC的均值为 , 标准差为 ：
考虑到IC的预测误差，Ding(2017)给出了更通用的形式，其中N为股票的数量：
关于第二个限制，学术文献中一般会把组合的换手与因子衰减联系在一起。Qian, Sorensen and Hua（2007）和Ding, Martin and Yang（2017）给出了组合换手率与因子衰减之间的关系：
其中 是个股波动率倒数的截面均值，TE是目标跟踪误差，decay就是因子衰减，具体定义为1减去因子的自相关系数。
均值方差组合的换手率调整后IR
IC为股票超额收益与Alpha值的截面相关系数，如果对Alpha及超额收益r均做Z-Score处理，那么以下等式可以满足，及标准化后的超额收益与alpha的回归系数即为IC：
对与这个均值方差组合，根据Ding, Martin and Yang（2017），组合的主动权重可以表示为：
此时组合的换手率即 是 的一部分，而 又是因子衰减的某个函数，也侧面验证了组合换手率和因子衰减之间的关系。此时组合的期望超额收益可以表示为：
假设交易成本Tcost， 及因子衰减Decay均为固定值，那么组合经换手率调整后的IR可以表示为：
关于以上假设，交易成本为固定的假设比较合理。下文也实证了因子衰减也可以看作常数。以往文献也证明了股票波动的截面均值也是一个常数。可以看出考虑换手的IR要比未考虑的要低，当换手够高时，IR可能会由正转到负。
事实是否果真如此，我们用模拟数据来验证。具体实验设计见原文：https://arxiv.org/pdf/2105.10306.pdf
Alpha的Decay固定的假设是否合理？
本文给予美股数据验证了下列因子的衰减，可以看出动量因子衰减很快，估计和质量因子衰减较慢。在2016年和2018年两个不同时间样本内，同样的因子的衰减都很接近，说明因子衰减为常数这个假设可以接受。
如何使用高换手的Alpha？
考虑换手后，一些高换手的因子的IR显著降低。在实际应用中有什么办法可以提高高换手因子的IR呢？答案就是使用多个lag的加权均值，我们记 为整合后的因子：
那么该因子的自相关系数和方差可以如下表示，其中 为原因子的自相关系数:
那么因子 的IC为：
经换手调整后的IR为：
下图给出了 （取值0到1）与IR之间的关系，其中假设：
可以看出，高成交成本时，为了达到更高的IR，合成因子中lag因子的权重更高。而且存在最优的 值使得合成后的因子IR最大。
参考文献：
1、E. Qian, E. H. Sorensen and R. Hua, "Information Horizon, Portfolio Turnover, and Optimal Alpha
2、Models," The Journal of Portfolio Management, vol. 34, no. 1, pp. 27-40, 2007.
3、Z. Ding, R. D. Martin and C. Yang, "Portfolio turnover when IC is time-varying," Journal of Asset Management, 2020.
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