慢慢读，慢慢写，仔细思考！反复阅读定义和证明，方能理解更宽泛的概念并将其应用到自己的证明中。
数学分析是大学数学专业的第一门课程，它为学生进一步学习基于证明的数学奠定了坚实的基础，其所涉及的数学思想和解决问题的方法将对学生数学思维能力的培养和训练产生巨大影响。
《普林斯顿数学分析读本》延续《普林斯顿微积分读本》之风格，编排清晰，叙述深入浅出。作者以通俗易懂且略带幽默的口吻讲述了两步式求解方法：首先展示如何回溯到求解问题的关键，之后说明如何严谨规范地写下解题过程；同时，书中提供了40多个经实践验证的示例，以及20多个指导性的“填空”练习，教导学生如何做，并以此巩固所学概念。
来源 | 《普林斯顿数学分析读本》
作者：[美]拉菲·格林贝格（Raffi Grinberg）
译者：李馨
本文作者 | 齐民友
写这篇短文，是想向读者推荐一本值得认真阅读或者在教学中参阅（如果读者是一位高校数学教师的话）的好书，书的原名是 The Real Analysis Lifesaver: All the Tools You Need to Understand Proofs，一个比较冗长的中文翻译是 《实分析的救生员：理解实分析中的证明所需的工具尽在于此》。救生员是什么意思？救谁？怎么救？我们就从这里开始这篇介绍。
首先说救什么人？回答是既救学生，又救老师。不过，对象不同施救的方法也就不同，救生员究竟是什么人自然也就不同了。这一切都是历史形成的。从我国现状看，一个大学生，不管是哪个专业，多数要学一点微积分。这门课程也叫作微积分或高等数学。这门课通常以直观感觉为基础、以某种应用（近年来可以不讲数学的应用，而讲“通识教育”）为目的，教学的重点则可能是计算的技巧；也会讲到某种严格性，可是似乎谁也不清楚什么叫严格性。
实分析是学生遇到的第一门讲究严格性的数学课程。所谓严格性就是必须时时处处按照逻辑规则来思考、来计算、来表述。对于大多数学生，这是他从未经历过的事。所以，这本书给读者的第一个建议是 慢慢来：慢慢读，慢慢写，并仔细思考。
本书作者说，你是一个非常聪明的学生。实际上，作者的经验说明：他的学生时常觉得自己很不错，能够考上这样一所好大学，心里一直有些自得；他不知道自己面前有哪些困难，有些东西（例如
）曾听高班的学兄、学姐说过，所以容易掉以轻心，不大在乎。实际上，这会是他遇到的第一只拦路虎：到底是先有
还是先有
，
和
是不是一回事，应该用哪一个，甚至应该用
（这当然是错误的）也未可知。
有些学生还可能有另外的知识来源，例如从某些学术讲座里听到过刘徽的名言：“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”他们会以为这就是极限理论。这些学生大多是好学生，甚至被说成是“学霸”。（我很厌恶这个称呼，无非多考了几分，有什么可霸的呢？何况他们多数很好学求上进。）
问题在于按这本推荐的书（以后就简称为“本书”），刘徽的说法是很含糊的。刘徽讲的“以至于不可割”，这个“不可割”究竟是什么？他说“与圆合体而无所失矣”，合体显然是指重合、一模一样、没有区别，但是“无所失矣”又是什么意思？让学过微积分的人理解，这个“不可割”应该说就是一个无穷小。但是我们都知道一句著名的话：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”所以无穷小也应该可以分割，这显然与“不可割”矛盾。如果说这个“不可割”就是零，那么请注意了，刘徽这里是在讲圆的分割，把一个圆平分一次得到两个扇形（也就是半圆），再分下去，分割
次（
是正整数）就会得到
个扇形，每个扇形的圆心角是
，想要圆心角是零，就得分无穷多次。
请注意了，在中国古代数学中，从没有见到过无穷大、无穷小之类的名词，也没有无穷这个概念。所以，不管怎么说都是说不清楚的。当然，刘徽是公元3世纪的人，希望他能够达到将近两千年后的今天的水平是不应该的。但是本书的目的，是让今天的大学生，能够按今天的认识水平来理解这些问题，以今天的方式和语言来表述这些问题，特别是，还能最后参与到推进现代数学的事业中去，其困难可想而知。
下面我们举一个例子来看本书是怎样帮助学生们能够达到上述要求的。这个例子是本书留给读者的一个习题，希望读者自己证明关于并集和交集的性质的定理（即定理3.12）。下面这一段抄录于本书第20页。
这是一个填空题，要求学生做到：只利用原书讲过的概念和符号，在符合原书所有的规定下把这些空白填满，证明集合论中的一个定理。
这样说来，原来书名中的救生员（lifesaver）宁可解释成一个游泳教练，他的任务是带出一批优秀的运动员，到各种比赛中去大显身手。于是，他就把（例如）自由泳的动作分成用脚踏水、用手划水、侧身换气等各个部分，分别列出其要领和标准，让学生们一个一个认真去做，不准偷懒，不准马虎。只有学生们能熟练准确地做到这一切，才有可能成为优秀的游泳运动员。人们时常谈论游泳的天赋，只有达到这个地步，天赋才可能表现出来，并且得到进一步的培养。而要达到这个地步，必须假以时日。
这虽然是在讲游泳，学好实分析这门课程也必须这样做。正因为如此，本书强调慢慢来：慢慢读，慢慢写，并仔细思考。这也是本书对于基础课教学的主张。近年来似乎有一种论调，认为基本功不再重要了，把强调基础与强调创新对立起来。
本书中译本书名强调了这是普林斯顿的教材，普林斯顿大学是一所世界一流的大学，凡是在这里念过书的人都知道，它是非常重视教学的。知名的《范氏大代数》的作者“范”（Henry B. Fine）对建立普林斯顿大学数学系做出了重要的贡献。在他的参与努力下，普林斯顿大学发展了高质量教学的传统，成为世界著名的数学学术中心。所以，我认为“慢慢来：慢慢读，慢慢写，并仔细思考”正是体现了这个优秀传统，值得我们认真吸收。这里的填充题式的教学方法，不只是一种技术，也值得我们学习借鉴。
上面是从学生角度来看问题，现在转到教师角度来看一下本书又能给我们什么启发。这里需要从数学在我国的发展历史谈起。上面说了刘徽的局限性，那么，中国从什么时候开始才有了本书这样的分析数学呢？我不敢乱猜，但是如果说在五四运动以后，才在当时少数高水平的高等学校里开始认真地教数学系学生学
，大概差不多。我是解放前几个月才到武汉大学数学系念书的，到1950 年“学习苏联”时，采用斯米尔诺夫的《高等数学教程》为教材（这是一套很好的教材），其中的数学分析部分是达到这个水平的，但是有许多数学教师感到比较难以接受。原因在于，他们习惯了当时非数学专业的初等微积分或高等数学水平的教学，让他们一下子转到以
为标志的实分析，当然不是一件容易的事。
再往下看，如果从教学的角度来看这本书，就会发现本书是相当困难的。如果说对于学生，我们还只需要他们做到“慢慢来：慢慢读，慢慢写，并仔细思考”，那么对于教师，则有两个方面的要求：一是从教学内容来看，二是从教学方法来看。从教学内容来看，除了要求他们掌握
语言之外，还需要他们掌握许多复杂的技巧；从教学方法来看，也有一些教师们以前没有遇到过的新问题。
本书以下的内容都是这种情况。我们不妨以第11、12章为例说明这一点，这两章是以紧集为中心议题的。第11章从紧集的定义开始，先给出集合的覆盖的概念，然后定义紧集就是其每一个开覆盖均有有限子覆盖的集合，接着指出有界闭集合必定是紧集，而开集一定不是紧集。这样，在讨论了紧集与闭集、开集的关系，紧集与有界性的关系等问题以后，得出了紧集就是有界闭集。这个基本结果称为海涅–博雷尔定理，而且由它可以得出我们通常说的波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理（即关于极限点存在的基本定理）。
紧集必有区间套性质，这就是本书的定理 12.1。值得注意的是，我们可以在高维的
空间中来证明它。一维闭区间
在
中的类似物本书称为格子，其实就是闭的
维长方体。重要的是它也是一个紧集，因此前面所讲的关于紧集的一切结果都是成立的。这件事虽然直观地看来很简单，真要严格地给以证明却非易事。许多教材上都是直接宣布它们成立就完事了。所以我们这里也不来证明，而是一言以蔽之，说“紧集的乘积仍是紧集”。倒是有一件事我们想提一下，就是问如果
，极限情况应该如何？但是什么是极限情况应该说明。粗略地说，我们会有著名的吉洪诺夫定理，指出紧集的无穷维乘积仍是紧集。这个结果在数学中意义重大，限于篇幅我们不能多说了。
在整个19世纪末，有许多数学家参与实分析基础的研究，得到了许多重要的结果，彼此甚至形式也很相近，许多我们现在主要依靠的结果都出现于这个时期。例如魏尔斯特拉斯定理、波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理等，皆是如此。这样，当我们阅读不同文献时会看到不同的讲法，“知识产权”的归属更加混乱。
我们当然希望有一个更加系统清晰的陈述方式。为此我们首先来介绍如何把一个数学定义改写成定理的形式。为了方便理解，我们来举一个例子。正三角形就是三个角相等的三角形，或者是三边长度相等的三角形。我们用
（下标
表示角）表示命题
我们最多还可以再加一句话：“这个三角形就称为正三角形”，不过这句话并不是上述数学命题的一部分。
这样一来，海涅–博雷尔定理就可以写成书中的形式。
定理 12.6 (海涅–博雷尔定理) 
的子集
是紧集当且仅当它既是闭集又是有界集。
请读者注意，定理的陈述中有当且仅当的字样，它就是
，也就是命题的等价关系。根据紧集的定义，这个命题可以重述如下。
定理 12.6' (海涅–博雷尔定理) 
的子集
具有有限覆盖当且仅当它既是闭集又是有界集。
海涅–博雷尔定理是实分析的中心结果之一，特别是关于紧集理论的中心结果。在这个意义下，本书作者觉得他所需的工具尽在于此了。就这一点而言，他已经完成他的工作了，不需要再往下写，这本书作为这门学科的救生员起到了一种指导的作用。
写到这里，读者可以体会到本书并不是一本容易读的书。我们见到的实分析的书写得如此深入的并不多见，但是我们还面临着教学方法上的困难。从本书的引言可以看到，本书只供实分析一个学期之所需。一学期大概就是十几个星期，就算一星期上6学时的课也就八九十个学时，又是这么深的内容，老师该怎么教呢？
就此我们转而讨论教学方法的问题。经过这些年的改革和开放的过程，我们多少知道了在普林斯顿大学这样的第一流学府中是怎样教书的。一个好的数学教师首先必须是一个好的数学家，这样，他才能够深知他所教的东西的实质。进一步，他又能以清楚明晰的语言表述出许多难以理解的内容。由此，他才能做到深入浅出，特别是把自己的心得教给学生。他能够言简意赅、引人入胜地把学生们带到科学的高严门墙前，使得学生们（当然不会有很多这样的学生）登堂入室之念油然而起，使他们走上正路。这里的要点是教和学两方面的交流，乃至交融。所谓教师人格的力量也许尽在于此。
这不是说国内没有这样的教师。从我们每个人的经历来看，我们无不受到过一些好教师的影响，才能有我们的今天和明天。只是说我们希望能发扬老师们的优秀品质，从质与量两个方面满足我们学生的要求。另一方面，又有许多毛病需要认真指出。一个常见的毛病是讲授唯恐不细，希望面面俱到而又必然挂一漏万。教师出于好心，希望所有学生、至少是大多数学生能够有好成绩，对于自己认为是重要的、最有心得的内容反反复复地讲解，而学生则可能漠然对之，了无意兴。在我看来，目前教学方法上存在的主要问题就是没有把教与学两方面的积极性结合起来。
讲到这里我应该感谢我的老师余家荣教授。今年是余老师百岁华诞，我愿在此衷心祝他健康长寿，生活幸福！我从1951年就开始听余老师的课（主要是实变函数论），毕业后又一直在余老师的关怀下工作。这个期间，他多次对我说，不论读书还是教书，你不要怕接触新的困难的问题。不要怕自己和学生不懂这些问题。一个问题即使你当时不懂，将来再次接触的时候，会有一种似曾相识的感觉。这对你是很有好处的事。
记得在那时，余老师让我念过蒂奇马什的《函数论》。这也是一本名著，许多大学的老前辈们都一再要求自己的学生认真读这本书，其中最应该提到的是陈建功老先生。我当时也念了关于实变函数的部分章节。例如，本书里讲到怎样利用对角线方法，怎样从有理数集作出无理数来，等等。我曾多次遇到过，只是因为余老师过去要求我念过。虽然蒂奇马什的《函数论》比本书难得多，但后来再次接触它就感到自如多了。本书英文副书名说，理解实分析中的证明所需的工具尽在于此，在我现在看来，许多读者都会遇到本书解决不了的问题。所以说，会有更多读者希望跃出这个界限，达到“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的境界。现在就以对读者们的愿望结束此文。
齐民友
2020 年 7 月 7 日
01
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‍《普林斯顿数学分析读本》
作者：[美]拉菲·格林贝格（Raffi Grinberg）
译者：李馨
慢慢读，慢慢写，仔细思考！反复阅读定义和证明，方能理解更宽泛的概念并将其应用到自己的证明中。
数学分析是大学数学专业的第一门课程，它为学生进一步学习基于证明的数学奠定了坚实的基础，其所涉及的数学思想和解决问题的方法将对学生数学思维能力的培养和训练产生巨大影响。
本书延续《普林斯顿微积分读本》之风格，编排清晰，叙述深入浅出。作者以通俗易懂且略带幽默的口吻讲述了两步式求解方法：首先展示如何回溯到求解问题的关键，之后说明如何严谨规范地写下解题过程；同时，书中提供了40多个经实践验证的示例，以及20多个指导性的“填空”练习，教导学生如何做，并以此巩固所学概念。
02
《数学分析概论（岩波定本）》
作者：[日]高木贞治
译者：冯速 高颖
日本数学的不朽名著，哺育小平邦彦、伊藤清等一代数学家的“数学圣经”
日本数学家、“日本现代数学之父”高木贞治创作的分析学入门名著。
衔接古典与现代的集大成之作，它被誉为日本现代数学发展的“不动之根基”，也成为日本所有微积分教材、专著的参考原点。
03
《陶哲轩实分析（第3版）》
作者：[澳]陶哲轩（Terence Tao）
译者：李馨
本书源自华裔天才数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩在加州大学洛杉矶分校教授实分析课程的讲义。
全书从分析的源头——数系的结构和集合论开始，然后引向分析基础，再进入幂级数、多元微分学和傅里叶分析，最后介绍勒贝格积分，几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景，完美结合了严格性和直观性。
04
《数学分析八讲（修订版）》
作者：［苏］А. Я. 辛钦
译者：王会林 齐民友
短短八讲，不仅让你了解数学分析的概貌，更让你领会数学分析的精髓。
这本由著名苏联数学家和数学教育家辛钦潜心编著的经典教材，思路清晰，引人入胜，全面梳理了数学分析的主要内容，涉及连续统、极限、函数、级数、导数、积分、函数的级数展开以及微分方程等主题。
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