这是一种看待数学本质的全新认识
几何绝不能被看作……数学的分支。事实上，几何与自然界的某些特性（也就是所谓的空间）联系在了一起。我已经意识到，一定有一门数学的分支，能以一种纯粹抽象的方式带来与几何类似的规则。
——格拉斯曼
康德相信，我们对空间的认知完全遵循欧几里得几何给出的范型——他也许真的错了。但是，我们在大多数情况下感知到的是不超过三维的空间，这一点毫无疑问。相对而言，我们可以轻易地想象出，自己身处的这个三维世界在柏拉图所谓的“二维宇宙世界”里是什么样子的。然而，如果从三维世界出发，向多维世界迈进，则确实需要像数学家一样拥有丰富的想象力。
在 n 维几何（在任意维度空间中的几何）的研究领域中，最重要也是最具突破性的工作是由赫尔曼· 巩特尔· 格拉斯曼（Hermann Günther Grassmann，1809—1877）完成的。
格拉斯曼有兄弟姐妹 11 人，而他本人也是 11 个孩子的父亲。格拉斯曼是一位学校老师，从未接受过任何正规的大学数学教育。在格拉斯曼的一生中，他在语言学方面得到的褒奖——特别是他在梵语和哥特语方面的研究，要比他在数学上获得的成就多得多。一位传记作者曾写道：“格拉斯曼似乎命中注定要时不时地被人们重新发掘，而且人们每次重新认识他的时候，都觉得他好像自去世后，就早已被大家忘记了。”格拉斯曼创立了一门关于“空间”的抽象学问，在这门空间的学科中，经典的欧几里得几何学不过是空间的一个例子。
格拉斯曼在 1844 年出版了一本名为《线性延伸理论：数学的一个新分支》的书，通常又被称为《延伸理论》（Ausdehnungslehre）。在这本书中，他介绍了自己那匠心独具的思想，其中最主要的思想构成了我们今天所熟知的一个重要数学分支——线性代数。在这本书的前言中，格拉斯曼写道：
“几何绝不能被看作……数学的分支。事实上，几何与自然界的某些特性（也就是所谓的空间）联系在了一起。我已经意识到，一定有一门数学的分支，能以一种纯粹抽象的方式带来与几何类似的规则。”
这是一种看待数学本质的全新认识。对格拉斯曼而言，传统的几何（它们是古希腊思想的遗产）处理的是物理空间，因此不能被当作抽象的数学的真正分支。在格拉斯曼看来，数学更是人类思维的一种抽象观念，不必应用在真实世界里。
跟随格拉斯曼貌似有点琐碎的思维，迈向他所构建的几何代数理论，这将是一段十分有趣的历程。他以一个非常简单的公式AB ＋ BC ＝ AC（图 6 - 8a）作为研究的起点，任何一本几何书在讨论线段的长度时都会引用这个公式。但是，格拉斯曼注意到了其他一些有意思的现象。他发现，如果不考虑点 A、B、C 的顺序，只要不把 AB、BC 这类因子仅仅理解为长度，并赋予它们“方向”（例如 BA ＝－ AB），那么公式依然是成立的。
举例来说，如果 C位于 A 和 B 之间（图 6 - 8b），那么 AB ＝ AC ＋ CB ；但是，由于CB ＝－ BC，因而有 AB ＝ AC － BC ；此时，只要在公式两端都加上 BC，就又能得到最初的公式 AB ＋ BC ＝ AC 了。
这是一个非常有价值的发现。但是，格拉斯曼对它的延伸和拓展更让人吃惊。请注意，如果我们处理的是代数而不是几何的话，那么诸如 AB 之类的表达通常表示 A×B（即 A 与 B 的乘积）。在这种情况下，格拉斯曼提出的 AB ＝－BA 就违背了一条神圣不可侵犯的数学法则：两个数的乘积与这两个数在相乘时的次序是无关的。格拉斯曼直接面对了这种令人不安的可能性，并最终发明了一种全新的一致的代数，也就是今天被称为“外代数”的数学分支。这门代数允许多个因数相乘，与此同时，也能相应地处理任何维度中的几何问题。
到 19 世纪 60 年代，n 维几何如雨后春笋般迅速地发展了起来。在这一时期，不仅黎曼在一系列极具启发意义的演讲中，逐步建立起了任意曲面和任何维度的空间的概念（这是 n 维几何研究的基础），而且，当时的许多数学家，如英国数学家阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）和詹姆斯·西尔维斯特（James Sylvester），以及瑞士数学家路德维格·施拉夫利（Ludwig Schläfli）都为 n 维几何的发展做出了重要贡献，他们的研究为 n 维几何增加了新的内容。
从此之后，数学家们开始感到自己从严格的限制中被解放了出来。几个世纪以来，数学一直被严格限定在空间和数的概念上。这种限制的历史惯性十分强大，甚至直到 18 世纪，伟大的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）在一次表达自己对数学的看法时还在说：“数学，在通常情况下是一门研究数量或是研究测量方法的科学。”只有在进入 19 世纪以后，变革的春风才逐渐吹起。
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