选自《数学与生活4--函数是什么》
三四郎：最后我们来谈一谈微分与积分吧。
博：微分与积分是上高中才学的内容，初中生理解不了吧?
三四郎：那么，我们就不提了?
笑：不，您一定要教教我们。我现在就想了解微积分
瞬时速度
三四郎：那我就讲讲吧。首先我们来思考一下这样的问题。某人驾驶车辆因超速被抓，违章详情为超出规定时速50km
该人向骑着摩托车的交警抗议道：
 “我从家开到这里的距离为 10km，总共用了15分钟，所以时速为40km，并没有超过50km。”
该人的抗议是对的吗?
博：感觉好像没毛病······
笑：不，这种抗议是不对的。我认为，如果该人从家出发后一直以同一速度行驶的话，那么这种抗议就是对的。也就是说平均速度的确为每小时40km。可是，途中会遇到信号灯而停车或因堵车降低车速的情况，这辆车不会以同一速度开过来。所以，这辆车反而可能在某处发生了超过规定时速 50km 的情况。该人肯定是在超出时速 50km 的瞬间不幸被抓的。
三四郎：也就是瞬时速度超过了每小时 50km
博：原来如此，该人是因为瞬时速度违章的。
三四郎：瞬时速度的观点就是微分的出发点。
博：如此说来，如果看到交警在路边测车速，说明他们正隐藏于极其临近的两个点测量车辆通过时间。
如果车辆在2秒内行驶 30m 的距离，那么速度为 15m/s，换算成时速为
15mx60x60=54000m=54km
所以时速为54km。
笑：严格来讲，这也不是瞬时速度，而是 2 秒间的平均速度，速度在此时间内可能发生过微小的变化。
博：但是，只要车辆在这 2秒内有达到时速 54km 的瞬间那么也有超过时速 54km 的瞬间吧?那么，该人依然难逃违章。
牛顿的观点
三四郎：通过观察汽车仪表盘，谁都知道有瞬时速度这个东西。牛顿从这一思路想到了微分。
笑：这么简单的事，我也能想到.....
博：开车的人只要看一眼时速表就能立马知道瞬时速度。
三四郎：然而，牛顿时期既没有汽车也没有时速表。所以牛顿是在大脑中思考出来的。
笑：微分产生于那么久远的时代啊，牛顿果然很伟大。
博：可是，现在所有人都知道了。
三四郎：300年间人类的认知能力取得了如此巨大的进步。
笑：现在不仅高中生都知道微分，就连初中生稍加学习也能掌握。
三四郎：那你们就学学吧。言归正传，若令某辆汽车在时间t内的行驶距离为y，则t的函数可表示为y=f(t)。
此时，从时刻t到时刻 t+h，车辆的行驶距离是多少呢.....
博：f(t+h)-f(t)，对吧?
三四郎： 那么此时的平均速度是多少呢?
笑：用行驶距离除以时间就行了。
[f(t+h)-f(t)]/h
三四郎：那么，如何求解时刻t的瞬时速度呢?
博：嗯.....不断缩短时间 h，让分数[f(t+h)-f(t)]/h逐渐接 近某个值，该值终将变为时刻t的瞬时速度。
三四郎： 如果 f(t)=t² 的话，情况如何呢?
笑：
[f(t+h)-f(t)]/h=[(t+h)²-t²]/h=t²+2th+h²-t²
=(2th +h²)/h=2t+h
如果不断减小h的值，那么 2t+h 就会逐渐接近 2t。2t 就是时刻t对应的瞬时速度。
三四郎：确定了这样的值后，当y=f(t) 时，我们把t时刻的瞬时速度叫作f(t) 的微分系数，记作f'(t)。此时
f'(t)=2t
f'(t) 又是t的函数，所以将其命名为导函数。因为它是“由f(t)推导出的函数”。
另外，把由f(t)到微分系数f'(t)的计算过程叫作函数(t)的微分。
博：原来如此，这样的话我们初中生也能理解了。
三四郎: 让我们用其他的符号来表示[f(t+h)-f(t)]/h吧。h是t的变化量，可以用△t来表示，因为(t+h)-f(t)是y=f(t)的变化量，所以可以用 △y或 △f(t)来表示。
博：△t并不是 △*t的意思吧?
三四郎：当然不是。它表示“t的微小变化量”的意思。△是一个符号，△与t不可拆开使用。
笑：△y也是如此吧?
三四郎：是的。△是英语 difference (差)的首字母d被腊字母△替换了。
博：如此一来，这个分数便可写成
[f(t+h)-f(t)]/h=△y/△t=△f(t)/△t
博：从y=f(t) 这个函数的角度来看，△t 为输人或自变量的变化量，△y为输出或因变量的变化量。所以这个分数的意思为：
输出的变化量/输入的变化量
x笑：当△t逐渐接近0时，如果这个分数近似于某个确定值的话，那么它就是t时刻的瞬时速度。
dy/dt
三四郎：让我们用箭头来表示这个分数逐渐接近某一确定值l吧.
△y/△t→l
在前面的例子中，若y=t²，则
△y/△t=2t+h→2t
当△y/△t接近某个值时，用来表示该值，即
△y/△t→dy/dt
博：△变成了d。
三四郎：d这个符号是莱布尼茨想出来的，这是一个很实用的符号，所以历经 300 年至今仍在被我们广泛使用。然而，正因为这个符号使用起来巧妙便捷，如果稍不留神就会出错。
第一，dy并非 d*y，dt并非 d*t。因此，不能把dy/dt看作d*y/d*t而把 d约掉变成y/t
第二，尽管dy/dt这个符号本身为分数的形式，但是它的意思不是dy除以dt，它只是一个由多个字母集成的符号.
博：我有点明白了。
汽车的中控台排列着各种各样的仪表，其中包括时钟、里程表和车速这三个仪表。如果用时间t来表示时钟，用距离y来表示行驶里程，那么车速则用dy/dt来表示瞬时速度。
三四郎：你发现了很重要的一点。确实如此，
博：那么，如果我们完全了解函数 y=f(t)，就能计算出dy/dt。
笑：也就是说，汽车即使没有速度计也行。
三四郎: 理论上是可以的。但是，dy/dt 的计算并不简单......
博：即使速度计出现故障，只要时钟和里程表能正常工作也应该可以利用微分算出速度计应该显示的瞬时速度
三四郎：你们对微分的作用已经非常清楚了吧?
继续阅读
阅读原文
关键词
微分
牛顿
时间
符号
y=f