【方程】1. 单位换算

提纲

量纲分析
多个单位换算

你知道么？

你知道吗，因为科学家没用相同的测量单位，损失了一颗价值1.25亿美元的卫星。这颗卫星本应为我们提供火星的天气预报。如果沟通更好且他们通过量纲分析进行单位转算，这场灾难本来是可以避免的。“量纲分析”听起来复杂，却是我们在日常换算就会使用的方法，例如计算30“美元”可以得到多少“加仑”汽油，或者两“打”甜甜圈有多少“个”。

关键概念

大多数单位转算可以通过量纲分析（也称为因子标签法）来解决。
量纲分析用到三个基本事实：（1）转换因子表达了两个单位之间的相等关系；(2) 乘以（比率形式的）转换因子就是乘以 1，因为比率的两部分相等；(3) 一个单位除以自身时，单位会“消除”。
换算过程包括这几个步骤：(a) 确定所需的转换因子；(b) 设置一个数学问题，使用一个或多个转换因子来获得所需的单位； (c) 解决数学问题，消除单位。

1999年9月23日，火星气候轨道器（Mars Climate Orbiter）在喷气推进实验室飞行控制小组的指导下接近一颗红色星球——火星。美国宇航局为这个探测器耗资1.25 亿美元，它是计划用于火星探索的几个探测器之一，将作为第一颗外星气象卫星留在绕地球的轨道上。此时，它已经飞行了九个多月，在飞往火星的途中经历的距离超过4.15亿英里。当轨道飞行器到达最终目的地时，飞行控制人员开始意识到出了问题。他们计划让探测器到达距火星表面约180公里的轨道——远远高于火星稀薄的大气层。但基于当前飞行轨迹的新计算显示，轨道飞行器距离火星表面约60公里。探测器将进入行星的稀薄大气层，这不是设计制定的目标。后果是灾难性的：指挥探测器的科学家和工程师失去通讯信号。他们只能猜想，航天器被本不应该进入的大气层的摩擦力所焚毁。

图 1：火星气候轨道飞行器的艺术绘图

什么原因造成了这场灾难？一部分原因是由于一个简单的错误。从地球出发的旅程中，太阳风不断推动探测器的太阳能电池板，航天器会因此微微偏离轨道。设计者考虑到这点，计划让飞行控制器打开喷气推进器来加个力，通过多次小修正调整航向。不幸的是，美国宇航局工程师以磅（非公制单位）来测量需要施加的力，而喷气推进实验室团队以牛顿（公制单位）为单位来计算“推进器应该发射多长时间”的软件没有进行正确的换算。由于“1磅=4.45牛顿”，因此每次使用推进器时施加的推力是正常的4.45倍。虽然每次调整的错误都很小，但经过多次调整，这个错误变得越来越大，飞船最终在火星大气层中过早消亡。

轨道器的损失说明使用统一单位是多么必要。然而，大多数人工作时都习惯用他们从小使用的单位。因此，世界各地的团队内部或团队之间可能无法实现单位统一。理想情况下，人们应该熟悉各种单位之间的换算，以便来自不同背景的个人之间能进行协作。

虽然大多数人并不控制NASA太空探测器，但单位换算是各行各业里每天都会发生的事情。即使是像算出“两打鸡蛋等于24个鸡蛋”这样简单的问题，其核心也是一个单位转算问题。无论你是否意识到，当你在脑海中解决这个问题时，你都会像这样解决它：

【考考自己】由于缺乏通用的计算单位，火星气候轨道器

a.提前几个月返回地球。

b.在火星大气层中被摧毁。

量纲分析

一般来说，使用称为量纲分析（也称为因子标签方法）最容易进行单位换算。值得注意有一个例外是温度单位之间的转换（有关详细信息，请参阅“温度”模块）。量纲分析使用三个基本事实来进行这些转换，从而导致转换过程中的步骤：

1. 换算系数表述两个单位之间的相等关系。因此，量纲分析的第一步是确定进行转换所需的转换因子。在鸡蛋问题中，“1打鸡蛋=12个鸡蛋”是一个转换因子。

2. 如果乘以（比率形式的）转换因子，实际上只是乘以1，因为比率的两部分彼此相等：

因此，量纲分析的第二步是建立一个数学问题，使用一个或多个转换因子来获得你需要的单位。在鸡蛋问题中，如果你有2“打”鸡蛋，并且想知道有多少“个鸡‘蛋，你会这样设置问题：

3. 单位和数字或变量一样，当你用一个单位除以一个单位时，单位就会“消除”。因此，量纲分析的最后一步是解设置的数学问题，并在此过程中消除单位。在鸡蛋示例中，比率底部的“打鸡蛋”消除原始数字中的“打鸡蛋”，留下“个鸡蛋”作为问题中唯一剩下的单位。最终答案是，24 个鸡蛋。

让我们将这些步骤应用到一个比鸡蛋稍微复杂的问题上。如果汽油价格为每加仑2.87美元，那么给一辆卡车23加仑的油箱加满需要多少钱？

首先，创建转换因子。考虑到价格可以认为“1加仑 = 2.87美元”。然后检查并建立方程：

现在你已经加满油，是时候出发去墨西哥一日游了。当你从美国越过边境进入墨西哥时，会注意到限速标志上写着100。哇！可以踩油门吗？有什么问题吗？除了美国之外，很少有国家的速度以“英里/小时”为单位——几乎在其他任何地方，速度都以“千米/小时”为单位。因此，进行换算是为了了解更熟悉的单位的速度限制。

首先，我们需要定义“每小时100千米”的数学含义。“每”意味着这个数字是一个比率：每1小时的时间里100千米的距离。除此之外，你还需要知道千米和英里之间的换算系数，即“1英里=1.61千米”。换算非常简单。

【考考自己】量纲分析是一种可用于将 km/h 转换为 mph 的方法。

a. 正确

b.错误

多单位换算

至此我们已经看到只有一个转换因子的例子。但此方法可用于更复杂的情况。当你结束墨西哥的一日游回家时，发现自己的汽油刚好够穿越边境返回美国，然后才需要加满油。你注意到在回家之前你可以以每升6.50比索的价格购买汽油。乍一看，这似乎比美国每加仑2.87美元贵，但真的是这样吗？你需要进行转换才能确定。幸运的是，你早有准备，并在出发前的早上查询了货币汇率（1 比索 = 8.95 美分）和体积换算（1 加仑 = 3.79 升）。

此转换比前面的示例更复杂，基于以下两个原因。首先，假设你没有用于货币转换（比索到美元）的单一直接转换因子。你知道“1 比索 = 8.95 美分”，也知道“100 美分 = 1 美元”。这两个事实可以用来换算货币。第二点，你不仅要更改货币单位，还需要换算数量单位。这两种转换可以在一次换算中完成。顺序并不重要，但两者都必须做。查看下面的公式来得到答案：

请注意，如果设置正确，“升”必须放置在换算因子中分度栏上方，以便抵消原始数据中分度栏下方的“升”。另请注意，即使“升”项被两个转换因子分隔开，它们仍然会相互抵消。现在，你可以更轻松地决定是否应该在返回美国之前或之后加油。

可以看到，即便你不是宇航工程师，也需要量纲分析。日常生活（例如，用于天然气价格上涨的预算）、科学应用（化学中的化学计量和地质学中计算过去的板块运动）都需要换算单位。如果你知道必须使用哪些单位以及答案应采用哪些单位，则无需记忆公式。如果当年火星气候轨道飞行器的工作团队意识到他们需要执行这些步骤，今天我们就能收到火星的天气预报。

参考资料：

几只青椒

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