【方程】2. 线性方程

提纲

什么是线性方程
线性方程的早期历史
笛卡尔坐标系的发展
使用线性方程
斜截式
用线性方程描述垂直线和水平线
在科学中使用线性方程
如何计算速率（示例问题1 解1 示例问题2 解2 示例问题3 解3）
如何换算测量单位（示例问题4 解4）
非线性关系

你知道么？

你知道可以使用线性方程根据蟋蟀在一分钟内鸣叫的次数来计算室外温度吗？线性方程还有许多其他实际应用，例如计算射弹的移动速度、将一种测量单位转换为另一种测量单位。因此，它们对于科学研究不可或缺。

关键概念

线性方程描述两个变量之间的关系，可以在笛卡尔坐标系（x轴和y轴系统）上将其绘制为直线。
线性方程在科学中有许多应用，包括转换单位（例如摄氏度到华氏度）和计算速率（例如构造板块移动的速度）。
大多数线性方程可以表示为斜截式：y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线与y轴相交的点。这种形式对于绘制线性方程非常有用。当这种形式的线性方程用于科学时，b通常代表实验或一系列观察的起点。

想象你是一名法医科学家，在JPAC（战俘/失踪人员联合核算司令部）的中央鉴定实验室工作。你的工作是帮助识别在第二次世界大战和其他冲突期间失踪的美国军事人员的遗骸。你的同事从1943年瓦努阿图军用飞机失事现场发现了由骨盆骨、几根肋骨和股骨组成的骨骼遗骸。

遗骸到达实验室后，你对骨头进行拍照和测量。从骨盆的形状，你可以很快看出遗骸很可能属于成年男性。你注意到股骨长18.7英寸。骨骼长度，尤其是股骨等长骨的长度，与个人的整体身高有关。简单来说，个子高的人通常腿长，个子矮的人通常腿短。这种关联非常强，如果你知道腿部一根骨头的长度，就可以预测一个人的身高（图1）。将测量值代入一个方程，用于根据股骨长度估算成年男性的整体高度：

H= 1.880（L）+ 32.010

其中 H = 高度（以英寸为单位），L = 股骨长度（以英寸为单位）。

H =（1.880×18.7）+32.010

H = 67.166 英寸 ≅ 5 英尺 7 英寸

你将估计的身高以及其他分析的结果发送给同事，他会审查失踪军人的记录以查找可能的匹配项。根据坠机地点和飞机类型，他已经将范围缩小到三名可能失踪的飞行员。他们的服役记录显示他们的身高为5英尺4英寸、6英尺、5 英尺7英寸。第三名飞行员似乎最匹配，同事现在将联系该飞行员的家人，索取DNA样本进行确认。

图 1：如图所示，人类股骨长度与整体高度之间的关系是线性关系。可能匹配遗骸的三名飞行员的身高和预期股骨长度显示为线上的点。

虽然这个例子很简单，但这个场景展示了数学（在本例中为线性代数）如何成为科学的基本组成部分。科学家以及在许多其他领域工作的人，每天都会使用线性方程。线性方程可以帮助我们描述两个量或现象之间的关系（例如股骨长度和整体高度）、计算速率（例如物体移动的速度）、从一种测量单位转换为另一种测量单位（例如从英寸到厘米）。

什么是线性方程

上述场景中以股骨长度估算身高，这是线性方程的一个例子。它是一种数学表达式，其中任何变量的最高指数均为1（所有变量均不进行平方、立方、四次方等运算）。它们也被称为“一阶方程”。正如名称所示，当在笛卡尔坐标系（熟悉的x轴和y轴）上绘制时，线性方程会生成一条直线（图2）。线性方程的其他示例包括：

y=1.8(x)+32

该方程将摄氏度 (x) 转换为华氏度 (y)。

y=2(x)

该方程给出了二氧化碳中氧原子 (y) 与碳原子 (x) 的比例。

x=14(y)+40

该方程将雪树蟋蟀每分钟发出的鸣叫次数 (y) 与以华氏度为单位的环境温度 (x) 联系起来。

图 2：科学应用中线性关系的三个示例。

线性方程的早期历史

线性方程等代数基本概念有着悠久的历史，可以追溯到数千年前。古代美索不达米亚人、埃及人、希腊人、中国人、印度人都发展了数学方法，为现代代数奠定了早期基础。但大多数历史学家认为代数之父是阿布·阿卜杜拉·穆罕默德·本·穆萨·花剌子米（Abu Abdullah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi，公元780-850年），他是智慧之家学院（位于现在的巴格达）的一位学者。事实上，代数algebra这个词来自al-jabar，花剌子米用这一词来描述在方程两边添加等量以简化方程的技术。尽管含义随着时间的推移而发生了变化，但al-jabar一词最终产生了拉丁语术语algebrae，并最终产生了现代代数。

图 3：花剌子模最受欢迎的书《Al-Kitab Al-Jabar Wa'al-Muqabelah》中的一页，大致翻译为《恢复与平衡之书》。

然而，花剌子米和他的前辈所做的数学看起来与我们今天所认为的代数非常不同。也许两者最大的区别是花剌子米没有使用数学符号：他没有使用变量来代表未知数或常量，也没有使用符号来表示对它们执行的加法减法等运算。花剌子米的每一次计算都用文字来描述，主要是带有一些技术术语的日常语言，比如al-jabar，而不是使用方程式。他写的通常是一些实际目所需的数学，例如分割遗产或挖掘运河。

今天，符号和方程的使用对于代数来说是如此重要。我们有理由问：为什么花剌子米的文字描述也被认为是代数？因为它的主要特点是：

求解未知量（这将它们与简单算术分开）；
采用数值方法（而不是像许多希腊学者那样采用纯粹的空间或几何方法）；
阐明处理数字的一般规则或技术（例如al-jabar）。

花剌子米也学习算术，尤其是在印度流行的算术。他以早期印度学者为基础，描述了十进制、现在被称为乘法和除法的运算、一个类似零来使用的小圆圈（图3）。这是最早的已知文本之一。

十二世纪，花剌子米的部分著作被翻译成拉丁文，供欧洲学者阅读。这些学者逐渐引入了运算、数字、变量的符号，最终带来了我们今天所认为的方程的发展。

【考考自己】花剌子米被看作“代数之父”，是因为

a. 他创造了我们今天代数用到的符号

b. 他用数值方法来解未知量

b.作为一个科学定律被接受。

笛卡尔坐标系的发展

十七世纪，另一项创新帮助将代数与几何联系起来。法国哲学家和数学家勒内·笛卡尔 (René Descartes) 开发了一种通过将两个变量绘制为直线（线性）或曲线（非线性）来可视化方程的方法。笛卡尔坐标系以笛卡尔的名字命名，是一个由两个垂直轴组成的系统，通常标记为x和y。它是从代数到微积分的现代数学中的重要工具，科学家经常使用它来可视化数据中两个变量之间的关系。（有关科学家如何使用笛卡尔坐标系的更多信息，请参阅模块“在科学中使用图形与可视化数据”。）

笛卡尔1637年出版《几何学》（La géométrie）一书，描述坐标系的基本概念以及我们今天仍在使用的符号和约定集合。从几何学中，我们得到了诸如现代平方根符号等，还有将指数写成紧随其基数后的一个小的凸起数字的惯例。使用字母表开头的小写字母代表给定的数字或常量、使用字母表末尾的小写字母代表变量的做法也来自笛卡尔。今天，我们将方程 ax + by = c 称为线性方程的标准形式（standard form）。

使用线性方程

一个线性方程，你知道其中一个变量（经常为x或y）的值，就能“解”另一个变量的值。举个例子，我们来看图2中关于蟋蟀的方程（Dolbear, 1897）。如果我们晚上站在户外然后计数树蟋蟀每分钟鸣叫80次（y=80），那么我们就能如下解温度(x)：

代入80次后简化为：

因此，我们知道温度约为60°F。第二天晚上，如果我们观察到蟋蟀每分钟鸣叫60次(y = 60)，我们可以将该值代入并计算新的x值(55°F)。在该方程中，x被称为自变量，y是因变量，因为它的值取决于x的值（鸣叫率取决于温度）。使方程成立的x和y值是方程的解集，这些有序对通常写成 (x, y) 。方程的一个解是有序对60°F和每分钟80声鸣叫(60, 80)。理论上，方程有无限多个解，包括(55, 60)、(65, 100)和(43, 12)。每个有序对都是方程描述的直线上的一个点（图4）。

图4：图表显示气温与蟋蟀鸣叫的节奏之间的线性关系。线上标记的每个点代表通过观察收集的数据点。

然而，某些作为给定方程解的有序对在现实世界中可能没有意义。例如，有序对 (37, -12) 和 (200, 640) 都是方程的有效解，但在这种情况下没有意义。蟋蟀不能每分钟鸣叫-12次；而如果温度达到200°F，它们不太可能活着并鸣叫（更不用说每分钟640声鸣叫了）。反思特定的解考虑它是否有意义，这点很重要。

如果我们不知道任一变量的值，我们仍然可以根据其中一个变量求解另一个变量。

利用上面的公式，可以得到

两边都乘以4，得到

简化后并把y放到等号左边

因此我们可以看到，y等于x的四倍减去160。如果我们已经知道现场温度 (x)，则可以使用该方程快速计算每分钟预期鸣叫次数 (y)。

【考考自己】x与y的解被写为

a. 笛卡尔对

b. 有序对

斜截式

如果我们想通过绘制来可视化线性方程，斜截式通常更有用。斜截式遵循格式：

其中x和y是变量，m和b是常数。（m和b可以是正数、负数，也可以为零。）

在这种形式中，m是直线的斜率——这个比率告诉我们直线在给定距离内上升了多少。同时，b是y轴截距——直线与y轴相交的点。在现实世界中变量可能不是x和y。例如，你可能会看到t代表时间或v代表速度。因此，我们将y轴截距视为垂直轴截距。

斜率是关联一条线的两点间的y的变化与x的变化的比率。例如，如果 m= 1/2，则水平 (x) 轴上每向右移动两个单位，线上的每个点在垂直 (y) 轴上就高1个单位。如果m=-3，则直线上的每个点在y轴上每向右降低1个单位，就降低3个单位。正斜率意味着一条线随着向右移动而呈上升趋势；当一条线向右移动时趋势向下时，就会出现负斜率（图 5）。

图5：两个线性方程显示直线的斜率和 y 截距可能为正或为负。正斜率（左）的线与负斜率（右）的线看起来有何不同？

科学中使用的线性方程，b通常代表初始点。例如一项研究中，科学家测量有机体在一个月内生长的长度。如果他发现生长速率是线性的，并以y=mx +b这个方程来描述生物体的长度，则b很可能表示研究开始时生物体的长度。

用线性方程描述垂直线和水平线

垂直线和水平线也可以用线性方程来描述。科学中，水平线或垂直线表示变量是恒定的，无论任何其他变量如何变化。在上面将股骨长度 (L) 与人的整体高度 (H) 联系起来的等式中，人越高，他或她的股骨就越长。但是，如果考虑高度 (H) 和肢体数量 (N) 之间的关系，我们会发现其中之一并不依赖于另一者。无论身高如何，N=4描述了所有情况下的肢体数量。

垂直线具有未定义的斜率，因此不能写成斜截距形式。垂直线的一般方程为x = a，其中 a 是常数。在垂直线上，所有点都具有相同的x值，并且该线永远不会与y轴相交（除非方程x = 0）。水平线的斜率为0，因此斜率截距形式可以简化为 y=b，其中b是y截距，以及满足该方程的每个有序对中的y值（图6）。

图6：垂直线（左）表示x值恒定的线性关系。水平线（右）表示y值恒定的线性关系。

在如下所述的现实世界应用中，每个轴（以及每个变量）代表某些因素的测量值，例如行驶距离、经过的时间、华氏度等。线性方程描述了两个测量值之间的关系。尽管x和y是轴的默认变量，但我们经常会在方程和图形中看到暗示变量代表什么的其他字母。例如，t可以用于时间，d可以用于距离等。（有关如何在科学中使用图形的更多信息，请参阅模块“在科学中使用图形与可视化数据”。）

【考考自己】垂直线上的每个点，有相同的 __值

a. x

b. y

在科学中使用线性方程

线性方程可以用来描述物理世界中的许多关系和过程，因此在科学中发挥着重要作用。通常，线性方程用于计算速率，例如射弹移动的速度或化学反应进行的速度。它们还可用于从一种测量单位转换为另一种测量单位，例如米转换为英里、摄氏度转换为华氏度。

在某些情况下，科学家在研究过程中“发现”线性关系。例如，一位环境科学家在分析她收集的有关湖泊中某种污染物浓度的数据时可能会注意到，该污染物以恒定速率降解。利用这些数据，她可以建立一个线性方程来描述污染物随时间的浓度。然后，该方程可用于计算五年后污染物的含量或污染物完全降解需要多长时间。

如何计算速率

速率是相对于时间的变化的度量。科学家通常需要知道给定过程发生的速度有多快或多慢（“以何种速率”）。例如，地质学家可能想知道地壳碎片移动的速度，以评估潜在的地震危险。化学家可能需要知道两种物质彼此反应的速率，以便了解化学反应的产物。

计算速率 (r)，可以通过确定变化量（例如行驶距离）和经过的时间来。为此，我们需要两个时间值（t1 和 t2）以及两个对应的变化条件值（d1 和 d2）。例如：

其中d2是在时间t2时行驶的距离，d1是在时间t1时行驶的距离。希腊字母 Δ（delta）就是变化的意思，我们经常在速率计算问题中看到它。速率方程用Δ变为：

该速率等于距离 (d) 随时间 (t) 变化的变化。让我们看一个现实世界的例子。

示例问题1

当萨斯奎哈纳河到达马里兰州的科诺温戈水库时，水流减慢，河流携带下游的大部分沉积物沉淀在科诺温戈大坝后面。大坝最初建于1928年时，水库的蓄水量为300000英亩-英尺。1993年，美国地质勘探局 (USGS) 确定，沉积物的堆积已使水库容量减少至189000英亩-英尺（Langland & Hainly，1997）。假设沉积物沉积率在这段时间内保持不变，那么水库的存储容量以什么速率（每年英亩英尺）减少？

解1

在此示例中，变化条件 (c) 是水库的容量（英亩-英尺）。时间 (t) 以年为单位：

水库每年平均损失 1708 英亩英尺的蓄水能力。因此，容量变化速率为负值。

你还可以通过绘制图表来可视化比率（图7）。线的斜率越大，速率越快。通过查看图表，您可以了解水库在一年、10 年或任何其他时间长度后大约损失了多少存储容量。也许更重要的是，您可以预测水库何时会失去所有容量并需要疏浚或拆除。

图7：随着时间的推移，科诺温戈水库的容量以恒定速率减少。绘制以年为单位的时间与蓄水容量的英亩-英尺之间的线性关系，我们能够直观地看到水库失去容量的速率。

示例问题2

2006年，与板块边界观测网络（Plate Boundary Observatory Network）合作的科学家开始密切跟踪加利福尼亚州圣安德烈亚斯断层以西的一个GPS站的位置，它位于太平洋板块上。随着太平洋板块和北美板块相互碰撞，该站正在向西北缓慢移动。2007年5月，研究人员记录到它偏离原始位置西北32.95毫米。2012年5月，他们记录到它偏离原始位置西北195.30毫米（UNAVCO，2012）。2007年至2012年期间该站（以及太平洋板块）移动的平均速率有多快？

解2

为了求解该站的平均移动速度，我们需要知道它在2007年至2012年间移动了多远 (Δx)。

由于感兴趣的时间段是2007年到2012年之间，我们知道Δt=5年。所以：

2007年至2012年间，板块平均每年向西北移动约32.5毫米。

示例问题3

如果板块以相同速率在相同方向继续移动，到2050年5月，会偏离原始位置（2006年5月）多远？

解3

现在已经计算了板块的移动速率，可以使用通用方程计算它将移动多远：

其中 d 代表距离，r 代表移动速率，t 代表经过的时间。

到2050年5月，该站将移动约1430毫米。

如何转换测量单位

在科学（或日常生活）中进行计算时，重要的是要确保使用统一的测量单位，并在需要时准确地从一种单位转换为另一种单位。世界各地和大多数国家的科学家都使用公制（也称为 SI，Système Internationale）。但如果你居住在美国或少数加勒比国家或前往该国旅行，则可能需要在国际单位制和英制单位之间进行转换。无论住在哪里，在单位之间进行换算就可以方便了解市场上每单位重量最优惠的产品、换算货币、在科学上不同类型的SI单位之间进行转换。有关更多信息，请参阅“公制系统：公制和科学记数法”。

示例问题 4

你朋友在一家美国报纸工作，想要报道上述示例问题2中科学家的发现。他知道该报的读者更熟悉英寸（比起毫米），因此希望将板块移动的速率从毫米每年转换为英寸每年，并请你帮助。你应该告诉他速率是多少？

解4

要进行此转换，需要知道一英寸有多少毫米。查找以下换算系数：

25.4毫米 =1 英寸

现在可以将板的移动速率转换为“英寸每年”：

你的朋友应该报道，该板以大约每年1.28 英寸的平均速度移动。

有关转换单位的更多信息，包括对因子标签法求解方程的说明，请参阅模块“单位换算”。

非线性关系

科学中有许多关系无法用线性方程描述。例如，在生物学中，某些物种的组织生长在生物体的整个生命周期中以不同的速率发生，并且不能用单个方程来描述。（想想与青少年或成年人相比，婴儿的成长速度有多快。）在地球科学中，当火山经历活跃期和安静期时，熔岩流经常会喷发。在这些情况下，用单个方程描述增长率或流量或计算平均年增长率不一定有意义。其他现象，例如种群增长、细胞分裂或某些化学反应的速率，可能以指数速率发生。这些关系用指数方程表示，生成带有曲线而不是直线的笛卡尔图。

线性方程是科学和许多日常应用中的重要工具。科学家用它们描述物理世界中两个变量之间的关系、做出预测、计算速率、进行换算等。绘制线性方程图有助于使趋势可视化。深入理解线性方程既有助于解决科学问题，又为探索科学中其他数学上更复杂的关系奠定了基础。

资料来源：

https://www.visionlearning.com/en/library/math-in-science/62/linear-equations/194

References

Baki, A. (1992). Al Khwarizmi's Contributions to the Science of Mathematics: Al Kitab Al Jabr Wa'l Muqabalah. Journal of Islamic Academy of Sciences, 5(3), 225-228.
Berenbaum, M. (2008, Winter). Entomological Bandwidth. American Entomologist, 54(4), 196-197.
Cooke, R. (1997). The History of Mathematics: A Brief Course. New York, NY: John Wiley and Sons.
Dahan-Dalmedico, A. & Peiffer, J. (2010). History of Mathematics: Highways and Byways (S. Segal, Trans.). Washington, DC: Mathematical Society of America. (Original work published 1986)
Derbyshire, J. (2006). Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra. Washington, DC: Joseph Henry Press.
Dolbear, A. E. (1897). The Cricket as a Thermometer. The American Naturalist, 31, 970-971.
Joint POW/MIA Accounting Command. (n.d.). JPAC Central Identification Laboratory (CIL). Retrieved September 9, 2012, from http://www.jpac.pacom.mil/index.php?page=cil&size=100&ind=3
Joint POW/MIA Accounting Command. (2012). JPAC Central Identification Laboratory Fact Sheet (JPAC FS-2). Retrieved September 9, 2012, from
http://www.jpac.pacom.mil/Downloads/Fact_Sheets/FS2_CIL.pdf
Kvasz, L. (2006). The History of Algebra and the Development of the Form of its Language. Philosophia Mathematica, 14, 287-317.
Langland, M. J., & Hainly, R. A. (1997). Changes in bottom surface-elevations in three reservoirs on the Lower Susquehanna River, Pennsylvania and Maryland, following the January 1996 flood — Implications for nutrient and sediment loads to Chesapeake Bay (US Geological Survey Water-Resources Investigations Report 97-4138). Retrieved October 15, 2012, from http://pa.water.usgs.gov/reports/wrir97-4138.pdf
National Space Biomedical Research Institute. (n.d.). Predicting Height from the Length of Limb Bones. In Student Investigation 6.1: Examining Effects Of Space Flight On The Skeletal System. Retrieved September 24, 2012, from http://www.nsbri.org/humanphysspace/focus6/student1.html
UNAVCO Plate Boundary Observatory. (2012). Time Series GPS Data for Position of Station P538 (SNARF1 Framework). Retrieved December 17, 2012, from
http://pbo.unavco.org/station/overview/P538/

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