简单实用!3个德国人创造的线性迭代法,超越了一个时代
加星标,才能不错过每日推送!方法见文末动图
,称为∞-范数。不难证明,n维向量x的∞-范数为
。谱半径是矩阵固有的内蕴性质,而范数却是“强加于”矩阵身上的一个外在标尺,通过极限之桥梁,本质透过外观而表达。更神的是,这个关系式与维数无关,对无穷维巴拿赫空间上的有界线性算子同样正确。
,∞-范数等于
。因此我们获得雅可比方法收敛的一个充分条件:
都成立。由此可见,如果线性方程组Ax = b中的矩阵A是严格对角占优的,那么雅可比迭代法收敛。这时,A的非奇异性自动由严格对角占优的假设保证,因为A = D[I - (I - D-1A)]是两个非奇异矩阵的乘积,后一因子矩阵I - (I - D-1A)的非奇异性是由于,从不等式ρ(I - D-1A) ≤ ||I - D-1A||∞ < 1可以推出:1非I - D-1A的特征值,故而I - (I - D-1A)没有特征值0。此外还可证明,若严格对角占优矩阵A是实对称(即AT = A)的并且对角元素均为正数,那么A必定是正定矩阵,即对所有的n维非零列向量x,严格不等式xTAx > 0都成立。
。
可得
)xHDx + (1 - |λ|2) λxH(L + D)x
)xHDx + λ(1 + ) xHDx
+ λ + |λ|2) xHDx = |1 + λ|2 xHDx。
本文受科普中国·星空计划项目扶持出品:中国科协科普部监制:中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司
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