陶哲轩:从复杂系统中,抓住奇妙的普适性
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哲学园鸣谢
原标题为《众里寻一:从复杂性中探索普适规律》
译者| 米凯
审校| 王至宏、苑明理
编辑| 梁金
论文题目: E pluribus unum: From Complexity, Universality 论文链接: https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/157/Papers/tao_universality.pdf
—— Ralph Waldo Emerson,《历史》(1841年)
复杂系统与简单法则
译注: 聚合属性(aggregate properties)指的是复杂系统的整体性质或总体特征。当一个系统由许多相互作用的组件组成时,这些组件的集合会表现出一些共同的特征,这些特征可以被称为“aggregate properties”。这些特征可能是系统的平均值、总和、分布或其他统计量,它们描述了系统作为一个整体的行为或性质。这些特征不仅取决于系统中各个组件的性质,还受到它们之间相互作用的影响。通过研究和理解这些“aggregate properties”,我们可以更好地了解和预测复杂系统的行为。
大数定律
译注: 大数定律(Law of large numbers):在数学与统计学中,大数定律又称为大数法则、大数律,是描述相当多次数重复实验后的结果的定律。根据这个定律,随着样本数量的增加,其算术平均值越来越有高的几率接近期望值。 大数定律非常重要,因为它“说明”了一些随机事件均值的长期稳定性。人们发现,在重复试验中,随着试验次数的增加,事件发生的频率趋向于一个稳定值;人们同时也发现,在对物理量的测量实践中,测定值的算术平均也具备稳定性。比如,我们向上抛掷一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上是偶然的,但当我们抛硬币的次数足够多后,达到上万次甚至几十万、几百万次之后,我们会发现硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一,亦即偶然中包含着必然。参见维基百科: https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%A4%A7%E6%95%B8%E6%B3%95%E5%89%87
中心极限定理
译注: 中心极限定理(Central Limit Theorem,CLT)是概率论中的一组定理。在概率论中,中心极限定理表明,在许多情况下,对于独立且同分布的随机变量,即使原始变量本身不是正态分布,标准化样本均值的抽样分布也趋向于标准正态分布。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础,它指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。参见维基百科: https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%9E%81%E9%99%90%E5%AE%9A%E7%90%86
译注(来源于维基百科): 本图表使用世界各国的人口为例,说明本福德定律(Benford's law)。图表显示了各国人口第1位数字所占的百分比(灰色柱状图)。例如,237个国家中有64个(占27%)的人口以1为首位数字。黑色点表示本福德定律的预测结果。数据来自CIA世界手册 https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/rankorder/2119rank.html,访问时间为2010年8月7日。
译注: Zipf定律是一种经验规律,当一个测量值列表按降序排序时,它通常大致成立。它指出,第n个条目的值与n成反比。Zipf定律最著名的实例适用于自然语言文本或语料库中单词的频率表。通常情况下,最常见的词出现的频率大约是次常见词的两倍,是第三常见词的三倍,依此类推。 来源于维基百科:https://en.wikipedia.org/wiki/Zipf%27s_law
相变与重整化群
译注: 分形(英语:fractal,有“零碎”、“破裂”之意),又称碎形、残形,通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状,可以分成数个部分,且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状”,即具有自相似的性质。分形在数学中是一种抽象的物体,用于描述自然界中存在的事物。人工分形通常在放大后能展现出相似的形状。分形也被称为扩展对称或展开对称。如果在每次放大后,形状的重复是完全相同的,这被称为自相似。 参考链接:https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%88%86%E5%BD%A2
图2 临界阈值下的六边形晶格点渗流模型。图源:Michael Kozdron,http://stat.math.uregina.ca/~kozdron/Simulations/Percolation/percolation.htm
图3 方格渗流模型在临界阈值下的键渗流模型。注意这里既有非常小的簇,也有极大的簇。图源:维基百科,
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Bondpercolationp_51.png
译注1: 重整化群方法:在理论物理中,重整化群(renormalization group,简称RG)是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。标度上的变化称为“标度变换”。重整化群与“标度不变性”和“共形不变性”的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换,它们都与自相似有关。在重整化理论中,系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度,但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子、基本粒子、自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。 资料来源: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E6%95%B4%E5%8C%96%E7%BE%A4
译注2: 三角晶格上的渗流模型(percolation models on a triangular lattice):三角格点上的点渗流是少数几个精确解的统计系统之一。从随机放置的临界渗流集群的黑色或白色位点开始,我们随机重新分配每个渗流集群的颜色,并通过合并相同颜色的集群获得粗粒化构型。研究表明,在热力学极限下,这个过程可以无限迭代,从而得到一个迭代渗流模型。此外,根据自匹配论证,猜想渗流集群在任何有限的代数中仍然是分形的,甚至可以通过广义过程取任意实数。进行了大量的模拟,并从代数相关的分形维度中揭示了一个连续的以前未知的普适性。最后,通过类似的过程,定义了临界键渗流集群的迭代渗流。参见: Iterative Percolation on Triangular Lattice - arXiv.org. https://arxiv.org/pdf/2305.14021.pdf.
离散谱、随机矩阵模型、黎曼猜想
译注: 光谱线是当原子中的电子吸收或发射能量时形成的,导致它们在不同能级或轨道之间移动。原子的能级是量子化的,意味着只有特定的离散能级是允许的。这导致在与允许能级之间的能量差对应的特定波长处形成光谱线。例如,在氢的情况下,当一束白光(由所有可见波长的光子组成)通过氢原子的气体时,只有具有特定能量的光子可以被氢原子吸收。这些光子对应于氢原子的允许能级之间的能量差。因此,氢原子只在特定波长处吸收光,并在光谱中产生相应的暗线。类似地,当氢原子中的电子从较高能级向较低能级移动时,它们会发射能量与两个能级之间的能量差相对应的光子。这导致在特定波长处形成明亮的发射线。光谱线中观察到的规律模式是由于原子能级的量子化。能级遵循一种规律模式,因此由这些能级之间的跃迁形成的光谱线也遵循一种规律模式。这种规律模式可以用于识别元素并确定它们的性质。例如,天文学家使用光谱线来确定恒星和其他天体的组成。 参考来源: (1)Formation of Spectral Lines https://openstax.org/books/astronomy-2e/pages/5-5-formation-of-spectral-lines (2)Absorption spectrum (emission spectrum lines) https://www.khanacademy.org/science/physical-chemistry-essentials/x98cdf762ed888601:structure-of-atom/x98cdf762ed888601:bohr-s-model-of-hydrogen-atom/a/absorptionemission-lines
译注: 随机矩阵理论(RMT)利用统计力学的原理来模拟多个数学领域中复杂系统的交互作用。它最初被用于模拟重原子的核,后来被用于估计大量统计样本中的协方差,并预测著名的黎曼ζ函数零点的分布。更现代的应用包括理论神经科学和最优控制。 随机矩阵,顾名思义,随机矩阵是任意具有随机元素的矩阵,其元素为非负实数,且行和或列和为1。如果行和为1,则称为行随机矩阵;如果列和为1,则称为列随机矩阵;如果行和和列和都为1,则称为双随机矩阵。创建随机矩阵的一个简单方法是创建一个N × N矩阵,其中元素来自N(0,1)分布。然而,这个矩阵会有复数和重复的特征值。一般而言,实特征值才会有意义,特别是如果恰好有N个特征值。因此,如果研究限制在对称矩阵的情况,将产生N个实特征值。这些矩阵称为高斯正交(GOE)中的样本,也称为GOE矩阵。
译注: 黎曼ζ函数是一个数学函数,由德国数学家伯恩哈德·黎曼在1859年首次研究。它是一个复变函数,定义在复平面上的所有复数(除了1以外的正整数)。黎曼ζ函数在数论中具有重要的作用,它与质数的分布和素数定理之间有密切的关联。黎曼猜想是关于黎曼ζ函数零点分布的一个重要假设,它认为这些零点都位于复平面上的一条直线上。尽管黎曼猜想尚未被证明,但它对于理解质数的分布和数论的许多重要结果具有重要影响。
译注: 在随机矩阵理论中,已知黎曼ζ函数的零点具有一种被称为蒙哥马利的对相关猜想的特定性质。这个猜想表明,这些零点在相邻级别之间倾向于相互排斥。也就是说,这些零点的分布方式使得相邻的两个零点之间很不可能太靠近。这一现象已经被观察到与随机矩阵理论的预测惊人地吻合。 来源:https://www.ias.edu/ideas/2013/primes-random-matrices
译注: 休·蒙哥马利(Hugh Montgomery)是一位数学家,他研究了黎曼函数的零点分布,特别是与该分布相关的一项统计量,即被称为对相关函数的统计量。弗里曼·戴森是一位著名的物理学家和数学家,以他在量子场论、天体物理学、随机矩阵、量子力学的数学形式化、凝聚态物理学、核物理学和工程学方面的工作而闻名。 The History-Maker: Remembering Ambassador Montgomery - CIA. https://www.cia.gov/stories/story/the-history-maker-remembering-ambassador-montgomery/. Hugh Montgomery, 1st Viscount Montgomery - Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/HughMontgomery,1stViscountMontgomery. 对关联函数:分布函数的一个重要推广是径向分布函数 (radial distribution function; RDF),也称作成对关联函数 (pair correlationfunction),是统计力学中的一个重要概念,用Q(r)表示,其反映粒子密度在空间随与参考粒子距离的变化而变化的情况,通常可以用来研究物质的有序性或者电子的相关性。通俗来讲,径向分布函数指在某给定参考粒子周围距离r处找到另一个粒子的概率除以此处粒子的密度。 中国百科全书: https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=228773
图4 . 黎曼ζ函数的十亿个零点的间距分布,以及来自随机矩阵理论的相应预测。图源:Andrew M. Odlyzko,《黎曼ζ函数的第1022个零点》,收录于《动力学、谱和算术ζ函数》,当代数学系列,第290册,编辑Machiel van Frankenhuysen和Michel L. Lapidus(美国数学学会,2001年),139-144页,http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/zeta.10to22.pdf;在此获得Andrew Odlyzko的许可使用。
普适性的失效与复杂性的出现
译注: 古德哈特定律(Goodhart's law)表明,当一个度量指标成为目标时,它就不再是一个好的度量指标。它以英国经济学家查尔斯·古德哈特(Charles Goodhart)的名字命名,他在1975年的一篇关于英国货币政策的文章中表达了这个格言的核心思想。该定律反映了这样一个观点,即当一个指标被用作政策制定的目标时,它很可能失去作为度量指标的有效性。这是因为人们会开始操纵或“操弄”系统以达到目标,即使这意味着牺牲了其他重要方面的情况。 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%A4%E5%BE%B7%E5%93%88%E7%89%B9%E5%AE%9A%E5%BE%8B
[1] This essay benefited from the feedback of many readers of my blog. They commented on a draft version that (together with additional figures and links) can be read at http://terrytao.wordpress.com/2010/09/14/a-second-draft-of-a-non-technical-article-on-universality/ .
关键词
函数
定律
大数定律
数学
统计量
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