19 世纪产生了5次几何学的变革，庞斯列的射影几何、罗巴切夫斯基和鲍耶的非欧几里得几何、希尔伯特的零点定理、伯恩哈德·黎曼的黎曼曲面和流形，以及最纯粹的代数变革——索菲斯·李，李几何。半个实际之后，外内尔完善成李群。
来源 | 《代数的历史：人类对未知量的不舍追踪（修订版）》
作者 | [美] 约翰·德比希尔（John Derbyshire）
译者 | 张浩 
挪威数学家西罗和 1862 年他在奥斯陆大学开设的关于群论的课程。参加该课程的人中有一位年轻的挪威人，他名叫索菲斯·李（1842—1899），当时只有 19 岁。他那时像一个海盗：高高的个子，满头金发，身材强壮，英俊而勇敢。李热衷于徒步旅行，据说他一天能走 50 英里（约 80 千米）。无论是在什么地形上跋涉，这样的水平都是非常厉害的，更何况是在挪威这种山地、冰川地形上呢？数学界有一个传说：如果李在徒步时赶上下雨，那么他会脱下衣服，把它们塞到包里。但阿里尔·斯图海于格（1948— ）为李所写的那本详尽并且充满敬佩之情的传记中却没有提到这个说法。
尽管今天李被看作一名代数学家，事实上他总是认为自己是几何学家。他的所有工作都充满了几何的奇思妙想。1869 年，他自费发表了一篇射影几何论文，凭借这篇论文，李向大学申请了访问欧洲各数学中心的资助（易卜生就是在 5 年前依靠这样的资助离开挪威的）。1869 年，李离开挪威，在国外待了 15 个月。他去了德国柏林，他在那里与当时也在柏林访问的菲利克斯·克莱因建立了深厚的友谊。克莱因在普吕克去世后帮助出版了普吕克关于直线几何的著作。李在挪威看过这本著作，并深受普吕克思想的影响。李又去了哥廷根，然后去了法国巴黎。他在巴黎再次遇到了克莱因，当时李 27 岁，克莱因刚满 21 岁，这两个年轻人都参加了卡米尔·若尔当开设的课程。
若尔当稍微年长一点，他当时 32 岁，但是他与李和克莱因是同一代学者。若尔当接受的是工程师的训练，最后却成为出色的数学全才。在 1870 年的春天，他刚刚出版了群论的第一本著作《论置换》。若尔当的著作没有达到凯莱 1854 年的论文的那种一般性。他把群写成置换群和变换群。然而，这本著作涵盖的范围很广，被认为是现代群论的奠基性著作。至于李对西罗 1862 年的讲座记住多少，我们不得而知，但是似乎可以肯定的是，正是有了与若尔当在巴黎相处的这几周，群的概念才深深地印入了他和克莱因的脑中。
这份幸福且格外多产的数学友谊到 1870 年 7 月 19 日被迫中止，当时法兰西帝国宣布同普鲁士王国开战。普鲁士人克莱因不得不匆匆离开巴黎。8 月中旬，李也离开了巴黎，往南徒步到瑞士，只带了一个背包。在距离巴黎 30 英里的地方，他被当作德国间谍抓了起来，似乎是因为有人听到他用听起来像德语的语言自言自语。
宪兵检查李的背包，发现了印有德国邮戳的几封信和笔记本，写满了神秘的符号。李抗议说他是一名数学家。宪兵命令他解释笔记中的内容来证明自己的清白。斯图海于格写的李的传记中是这样记载的：
李应该是怒吼着说：“你们永远也不可能理解这些！”（学习李理论的我们经常发出这样的声音……——原注）但是当他意识到他的处境是多么危险时，据说他还是做了些努力，他的开场白是这样的：“先生们，请考虑三个轴，
 轴、
 轴和 
 轴，它们互相垂直……”当他用手指在空中比画时，宪兵们哈哈大笑，不再需要他提供更多的证据了。
在被允许继续前往日内瓦之前，李还是不得不在监狱里待了一个月，这段时间他读了瓦尔特·司各特爵士的小说的法译本。当他于 12 月回到奥斯陆的时候，发现自己已成为引起 19 世纪挪威媒体轰动的人物——一位曾被当作间谍抓起来的学者。1863 年 1 月，他得到了奥斯陆大学的讲师职位，成为一名研究人员。不久之后，克莱因也得到了哥廷根大学的讲师职位。克莱因在普法战争中短暂地做过医务员工作，后来因病而离开。各地的数学家都在阅读若尔当的著作。19 世纪 70 年代是群论的第一个伟大的十年。几何学的第五次变革也在这个令人惊异的世纪开始了：几何的“群化”。
群可以是有限的，也可以是无限的。整数集 
 以普通加法作为合成法则形成一个无限群。
几何学中包含丰富的无限群的例子。第 11 章中展示了二面体群 
，这是一个包含八个元素的群，我们可以通过保持一个正方形所占据的二维空间不变的旋转和翻转该正方形的变换来描述这个群。这是一个有限群，但是，如果去掉上面的限制会发生什么呢？如果允许这个正方形以任意方式移动到平面上的某个新位置：可以以任意角度旋转，可以任意翻转，将会发生什么呢（图 13-8）？这些移动可以得到什么呢？
图 13-8　一个等距变换
结论是这些移动构成群！“把这个正方形移动到一个新位置和新定向”的操作满足群运算的所有要求。如果你用一种方式移动它，再用另一种方式移动它，其合成结果就如同你用第三种方式移动它一样：
。结合律 
 显然成立（“进行这个移动，然后再进行两个移动的合成移动……”）；不动的“移动”将作为单位元，每一个移动都可以倒过来进行（“有逆元”），所以它是一个群。（问题：它是交换群吗？）
显然，这是一个包含无限多个元素的群。而且，如果你想象一下把这个正方形画在一个无限大的投影片上，它在“原来”的平面上移动和转动，你会看到这是一个全平面的变换群。事实上，它称为欧几里得平面的等距变换群。“等距”一词在这里非常重要。它源于表示“等度量”的希腊文词根，指的是“保持距离”的变换。如果两点相距 
，那么它们在任何等距变换下总是相距 
，既没有伸长，也没有缩短。任意两点之间的距离是这个变换群下的一个不变量。
克莱因受到他与李及若尔当之间的交流的启发，有了一个绝妙的想法，19 世纪前 70 年，大量出现的几何学正是通过这个想法统一到了一个巨大的组织原则之下。这个组织原则就是，几何可以由保持其命题仍然成立的变换群来加以区分。二维欧几里得几何在刚才我描述的平面等距变换群下，其命题仍然成立。那个群的特征是某个不变量，在该情况下这个不变量是任意两点之间的距离。
我们能够从射影几何提取某个类似的群和特征不变量吗？我们能从罗巴切夫斯基和鲍耶的“双曲几何”中提取某个类似的群和特征不变量吗？我们能从黎曼的更一般的几何中提取某个类似的群和特征不变量吗？是的，我们能够做到这一点。这里的群不太容易描述，但是我至少可以给出射影几何的一个不变量。显然，在射影几何中，两点之间的距离并不会保持不变。三个点之间的两个距离的比也并不会保持不变，这个结论不那么明显，但我们可以用图 13-9 对这一点加以说明：比值 
 是 2，而其投影的比值是 3。但是，如果像图 13-10 那样取四个点，并计算两个比值的比 
，我们就会发现这个比值在投影之下保持不变（在图 13-10 中，这个比值等于 5/4），只是当一个点被投射到无穷远时，会出现稍稍复杂但也可以处理的情况。这个“交比”是一个射影不变量。
图 13-9　
 不是射影不变量
图 13-10　
 是一个射影不变量
1872 年秋天，克莱因离开哥廷根大学去埃尔朗根大学担任教授。按照惯例，新教授都要发表就职演讲，也是为其教授职位做的主题报告，展示出他要致力研究的领域。10 月初，李与克莱因一起在埃尔朗根大学度过了两三周，帮助克莱因准备这份演讲稿。尽管最终克莱因没有在就职演讲上使用这份演讲稿，但他将它作为一篇论文发表了，其题目是《新几何研究的比较评述》。
这是不朽的伟大数学文献，它被誉为埃尔朗根纲领。如果从论文需要给出报告结果或解决问题的通常角度来看，它不是一篇数学论文。它保有就职演讲的某些激昂的论调，只是克莱因在他的就职仪式上没有传达这些论调。在这份纲领中，克莱因给出了我上面提到的在群论和不变量理论之下统一几何学的思想。现在看来，这份纲领是战斗的号角，号召数学家们积极行动起来去“群化”几何学。
上一节中提到的像平面上的等距变换群这类的几何变换群不仅仅是无限群，它们还是连续群，具有不可数无穷的性质。你可以将这个正方形移动 1 厘米，也可以移动 1 厘米的千分之一，或者 1 厘米的一万亿分之一。你可以把它旋转 90°，也可以把它旋转 90°的千分之一或 90°的一万亿分之一。你可以不受任何限制地“分割”这些等距变换。它们甚至可以“无限小”。也就是说，如果允许把这些类型的变换引入类似于群的模式之中，我们就会开启让微积分和分析学进入群论，以及让群论进入微积分和分析学的大门。
克莱因本人并没有就此止步。在埃尔朗根纲领的结尾，他倡议研究连续变换群理论，认为它与有限群论一样严格而且丰富。（他实际上说的是“置换”群。读者一定要记住，群论还远未成熟。）
尽管李在促成这份埃尔朗根纲领形成的过程中起着重要作用，但他还是认为这个想法太过于“雄心勃勃”了。1872 年末，李已经是一位全职教授，这是挪威政府专门为他设立的数学职位。因为他几乎不用承担教学任务，所以他全力投入到一个引起他注意的问题中。这是一个关于求解微分方程的问题。在微分方程中，要求的未知量不是一个数而是一个函数，例如
我们可以用 
 的三角函数和幂函数来求得 
。李有处理这些方程的想法，这个想法与伽罗瓦处理通常的代数方程的方法相似，但他使用这些新的连续群取代伽罗瓦理论中的有限置换群。
在克莱因起草埃尔朗根纲领的时候，李对这方面的资料已经有了深入的理解，他认为变换群这个主题太宽泛而且太混乱，无法按克莱因的建议进行严格的分类。在此一年之后，他改变了想法。人们有可能构造出完全一般化的连续群理论，它们不局限于作用在平面之内，而且可以作用于最一般的流形之上，可以得到连续群在高等微积分中的一些结论。李着手创建这个理论，如今，这个理论就是以他的名字命名的。
简言之，李群就是具有重要的“光滑”性质的某个一般 
 维流形的连续变换群。李代数是我在“数学基础知识：向量空间和代数”中定义的一种代数，它是一种具有向量乘法运算的向量空间。李代数中的向量乘法相当特殊，但事实证明，它在某些高等微积分的应用中非常有用，而且很自然地产生李群。
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