英国康沃尔郡的地尽头地标（Land's End Landmark）沿海线的景色
导读：
      1967年，一位数学家发表了一篇文章：英国的海岸线有多长。他发现，我们越是精确地测量英国的海岸线，其长度就会越长。那么，它会是无限长吗？
      不失时机地，从这些小故事出发，法国数学家米卡埃尔·洛奈（Mickaël Launay)引入了分形的概念，并解释到底什么是非常大，什么是无穷大。在下面的数学故事中，你会看到，原来用数学来理解世界是这么有趣、快乐，让人脑洞大开。
米卡埃尔·洛奈 ｜ 撰文
关于边境的长度
“拉拉亚”(La Raya)——西班牙和葡萄牙之间的陆地边境线，是世界上最古老的边境线之一。尽管经历了数百年的冲突、追讨和互不相让，但这条边境目前的路线几乎和 1297 年 9 月 12 日签订的《阿尔卡尼伊塞斯条约》中葡萄牙国王和卡斯蒂利亚国王认可的边境路线一模一样。
这条边境线从半岛的西侧出发，沿着米尼奥河上行数十千米，然后向右转至特隆科索河。从河流到古老的小径，边境线在伊比利亚的乡间蜿蜒穿行，时不时经过几个长满苔藓的古老界标。很快，边境线朝南转去，把偏居一角的葡萄牙框在它那皱巴巴的矩形里。这条数百千米长的边境线左摇右摆，折起又展开，蜷曲缠绕，直到一路与它相伴至加的斯湾的瓜迪亚纳河的河床。这条边境的路线是两国在 1815 年签订《维也纳条约》时正式划定的，双方对此至今都没有争议。
但是，这条边境线引发了一个令人震惊的问题。尽管它年代久远， 而且官方协议对它进行了精确的划定，但地理学家似乎一直无法就其长度达成共识。“拉拉亚”到底有多长？在各种百科全书和参考文献中，我们会看到不同的测量值，短至 914 千米，长至 1292 千米，也就是说，长度差异超过 30%。
差异如此之大，绝对无法让人接受！约两百年前，布给和拉·孔达米纳在秘鲁测得的子午线长度，误差只有 0.02%。在 21 世纪的欧洲，在一片远比安第斯山脉更容易丈量的土地上，人们还手握更现代、更精准的仪器，测量结果的差异怎么会比两位院士的测量结果的误差高了1500 倍呢? 这个问题远非孤例。世界上几乎所有的边境线以及所有沿海地区的海岸线，在丈量长度的时候似乎都遭遇了让人无法理解的疏忽。
收录了地球上海岸线长度的主要来源有两个：第一个是《世界概况》 (World Factbook)，这是一份由美国中央情报局(CIA)出版的资料；第二个是美国的一家环境组织，即世界资源研究所(World Resources Institute, WRI)。这两家机构都拥有精确度很高的技术手段，其测量工作的可靠性毋庸置疑。但是，对于收录的近两百个国家的数据，这两家机构似乎无法通过相同的测量方法得到相同的结果。《世界概况》中测得的加拿大海岸线的长度是202 080 千米，而世界资源研究所测得的长度则是265 523 千米。两个测量值之间相差了 60 000 多千米！长度差异再一次超过了 30%。而地球上几乎所有的海岸线都遇到了类似的情况(图 3.1)。
图 3.1
这样的差异实在让人无法理解。人类是遗失了什么古老的技艺，才会在地理测量上突然变得如此糟糕呢？布给和拉·孔达米纳的幽灵似乎在悄悄地嘲笑我们。
为了洗刷现代地形学家的耻辱，找出造成这些差异的原因，我们需要一个可以解释无法解释之事的人带着创造性和启发性参与进来。那是在英格兰北部的纽卡斯尔，1881 年，一个名叫刘易斯·弗赖伊·理查森(Lewis Fry Richardson)的人出生了，他的头脑冷静而多产。理查森一生都专注于物理学、数学和心理学的研究。此外，他还是研制雷达和预报天气的先驱之一。他也是一名坚定的和平主义者，他的政治理念将对他的职业生涯和研究产生重大的影响。
在第一次世界大战期间，理查森作为“良心拒服兵役者”而被免除了兵役，但这并没有妨碍他在法国为一支救护车队服务了三年。返回英国后，他重新回到英国气象局，但气象局在 1920 年成为英国皇家空军的附属机构，于是他辞职了。他还放弃了自己的好几项研究工作并摧毁了研究成果，因为他担心这些成果被用于军事目的。
奇怪的因果环环相套：理查森决定施展自己的科学才能去研究他想要对抗的东西——战争本身。从 20 世纪 30 年代开始，他发表了大量关于战时心理学、军备竞赛和武装冲突的数学机制的文章。而正是在其中一项研究里，这位英国学者发现自己碰到了一个意想不到的问题，几乎出于偶然，他打开了通往最美数学理论之一的突破口。
这位英国数学家注意到，交战国的共同边境越长，发生战争的倾向就越大。为了精准地研究这一统计学上的关联，他开始收集世界上不同国家边境长度的地理数据，并意识到自己找到的这些测量值大为不同。尤其，他还惊异地发现，西班牙和葡萄牙在两国的共同边境长度上并没有达成一致。西班牙称这一长度是 987 千米，而葡萄牙则说是1214 千米。这引起了理查森的好奇，他开始对此进行调查，并最终明白了导致分歧的原因。理查森在 1951 年撰写了一篇文章，但这篇文章在十年后才得以发表，那时他已去世。他的分析结论绝对称得上让人大开眼界：边境线没有长度。或者说得更确切些，对一条边境线唯一且客观的定义是不存在的。
我们可能已经对这些情况习以为常，但它们却从未真正地在我们的意料之中。加法和乘法的情况我们已经知道了，海拔也不再是个问题。可边境线会有什么非同寻常之处呢?
1967 年，数学家本华·曼德博(Benoît Mandelbrot)在一篇被后人赋予了传奇色彩的文章《英国的海岸线有多长?》(“How Long Is the Coast of Britain?”)中采用、丰富并完善了理查森的结论。曼德博解释，问题的关键在于边境线和海岸线的形状如此不规则，以至于无法弄清应该从哪一头开始测量。这些边境和海岸线弯弯曲曲，绕来绕去，折起、断开又蜷缩。没有哪个部分是呈一条直线的。
为了获得最准确的结果，我们是否应该不辞劳苦地对海岸线每一次几十千米的迂回都进行测量呢？我们是应该严格遵循这些迂回的形状，还是可以把它们切成直线呢？还有，应该如何处理那些长度只有几米的起起伏伏呢？那长度小于 1 米的岩石又该怎么办呢？当然，从绝对的意义上来说，我们应该尽可能准确地去测量，但很有必要在某种程度上就此打住。沿着每一粒沙子的轮廓去测量，是无法做到的。以毫米的精度去测量海岸线的长度，是毫无意义的。但在这种情况下，该如何界定呢?
为了避开这些问题，你可能会希望细节不会对测量产生太大的影响。在谈论数百千米的海岸线时，小于 10 厘米的迂回似乎可以忽略不计，但这就等于忽略了它们的数量。这样的细节比比皆是。假定英国的海岸线上有一百万个10 厘米的小小迂回，那么它们累加起来的长度就是 100 千米！对它们忽略不计会造成测量上的巨大误差。
这就是问题的核心所在：细节越小，其数量就越多，而它们的累计长度值却绝不会小。
曼德博的结论毋庸置疑，我们越是精确地测量英国的海岸线，其长度就会越长。添加越来越小的细节只会令测量值无限度地增加 (图 3.2)。如果我们不想做出任何让步，那么这个问题的唯一答案就是：英国的海岸线无限长。
图 3.2
这个现象在今天被称为理查森效应，或是更常说的海岸线悖论。当一根自然线条沿着大自然划定的路线，比如河流、山脊或悬崖蜿蜒而行的时候，这条线就会产生理查森效应。英国的海岸线、西班牙和葡萄牙的国界线“拉拉亚”，以及世界上大多数的海岸线和边境线都属于这种情况。它们的长度全都无限长。相反，从北极到南极覆盖整个地球的子午线则呈直线，其长度精确无虞。这就是为什么布给和拉·孔达米纳在当时的条件下能够在秘鲁获得如此精准的测量值。
了解到海岸线和边境线的长度是无限长的只是第一步。但是，如果你观察一张地图，你会清楚地看到一些海岸线比另一些更长。断然宣布所有的长度都是无限的，然后就此止步，这不会令人感到满意。这种说法只能告诉我们一件事：我们没有使用正确的数学方法。用测量直线的方法去测量崎岖的海岸线并不恰当。好了，既然我们现在摆脱了一种无效的方法，那么剩下的就是去创造一种新的方法——一种更合适、更符合实际的方法。
在科研生涯中，本华·曼德博的大部分时间专注于研究符合海岸线悖论的形状，也就是那些轮廓尺寸不一且极为零碎的几何形状。你想把这些形状放大多少倍都可以，它们永远不会有光滑、笔直的轮廓线。在理查森指出的奇怪现象之上，曼德博创建了一种全新的理论，而很多年轻的数学家都将追随后者的脚步。
1974 年，也就是在他关于英国海岸线的文章发表七年后，曼德博认为是时候发明一个词语来指称这些既如此美丽又如此神秘的形状了。他把它们称为“分形”。
我们刚刚开启了一段新的旅程。为了揭晓分形的奥秘，并通过这些奥秘揭晓海岸线的奥秘，我们现在需要深入研究一个最让人着迷，也最令人困惑的数学概念之一：无穷大。
巨大和无穷大
2007 年 9 月 14 日，居住在亚拉巴马州的 31 岁美国人杰里米·哈珀(Jeremy Harper)入选《吉尼斯世界纪录大全》，因为他是第一个一次性从 1 数到 100 万的人。他在互联网上直播了自己从2007 年 6 月 18 日开始的数数过程。在 89 天里，哈珀待在家中，在几平方米大的起居室里来回踱步，以一种几乎是唱念的方式不知疲倦地数着连绵不绝的一个个整数。
似乎没有人会在某天决定花时间从 1 数到 1000 万。这么做所需的时间要比哈珀所用的时间大约长 10 倍，相当于在两年半里，白天除了数数什么都不做。想要数到一亿，就需要 25 年；想要数到十亿，就需要两个半世纪。当然，这一切的前提条件是挑战者能够保持与哈珀一样的数数进度，也就是每天用 16 个小时去数数。
这些 1 后面跟着一串 0 的整数按照乘法一级级递增，因而每打破一次纪录都会比上一次难上 10 倍。我们把这些数称为10 的次方。一百万，1 000 000，写成106 (读作十的六次方)，因为它有 6 个零；十亿，1 000 000 000，有 9 个零，写成109 (读作十的九次方)，依此类推。依照 10 的次方这个长长的列表得到的数如此巨大，以至于我们的大脑很快就无法以正确的方式去想象它们了。
杰里米·哈珀在创下纪录的时候年龄约为 10 亿秒，也就是 31 岁。构成人体的细胞约有一百万亿个，也就是 1014 个。世界上所有的海洋里有 30 尧滴水，也就是 3×1025 滴。组成太阳的原子数量是 1 后面跟着 57 个零，也就是1057。而从地球上可以看到的整个宇宙，再加上所有遥远的星星和星系，它们所包含的基本粒子的数量估计约为 1 后面跟着 80 个零，也就是1080 !
只有1080吗？在那些还不习惯 10 的次方式指数增长的人眼中，这个数字似乎并没有那么大。这种印象主要是由我们思维中加法量级和乘法量级之间的差异造成的。尽管 1080的写法很简洁，但这个数非常巨大。
在所有掌握先进数学知识的文明中，古印度人很早就和大数建立了一种特殊的关系。从公元前 3 世纪开始，并在此后的一千年中，几 代学者都参与到“谁的大数更大”的疯狂竞赛中。竞赛不断升级，而参与者的动机不仅仅是科学的，也是诗意的和宗教的。学者们出于游戏和挑战发明出大数，为的是给人一种头晕目眩的感觉，以及尝试接近超越我们认知的事物。
在《普曜经》(Lalitavistara Sutra)——一部讲述佛陀伟业的 3 世纪佛教典籍中，我们会看到一个名叫“paduma”的数，它等于1029， 用来计算山中沙粒的数量。我们还会看到“kâtha”和“asankhya”，前者用来计算星星的数量，后者用来计算全世界一万年间落下的雨滴的数量。有一天，佛陀见到了算术家阿周那(Arjuna)，他向阿周那详细解释了巨大乘法量级的运作方式。从等于一千万的“koti”开始，佛陀展开了一个数字环，环上的每个数都是前一个的 100 倍：100 个“koti” 叫作“ayuta”，100 个“ayuta”叫作“niyuta”，100 个“niyuta”叫作“kankara”，依此类推。连绵不绝的数字持续了数十行，一直达到令人眼花缭乱的10421，佛陀说这个数可以用来计算最细小原子的微粒，这就是 “ paramânus ”。
3 世纪的古印度学者已经在考虑有关宇宙中基本粒子的数量问题了，这实在让人惊讶，而更让人惊讶的是，他们计数的错误之处并不在于数量上不够，而是在于数量上过多。我们今天所知道的 1080，在数量上和佛陀的“paramânus”相比，绝对是小之又小。
古印度人并不是唯一热衷于大数的人。尽管他们或许是最擅长把玩大数的人，但是，我们在中国和古希腊文化中也可以找到不断推高 10 的次方的大数。然而，必须承认，这种对大数的追寻如果和宗教或哲学探索无关的话，那么就没有多少数学家会对它感兴趣。你可以沉醉在这些数的宏大之中，并在面对它们的巨量时假意瑟瑟发抖，但除此之外，这些数几乎没有什么实际用途。从文艺复兴时期开始，欧洲的学者似乎对大数毫不关心，直到 20 世纪，大数的竞赛才真正再次兴起。
1940 年，数学家爱德华·卡斯纳(Edward Kasner)和詹姆斯·纽曼(James Newman)出版了一本名为《数学与想象》(Mathematics and the Imagination)的书，他们在书中讨论了一个巨大无比的数——10100。1 个“一”后面跟着100 个“零”的数。
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
尽管这个数仍然比佛陀的那些数要小，但它已经超出了我们的想象。现在想想十亿个奥运会游泳池里水滴的数量。想象一下，这些游泳池里的每一滴水都是一个完整的宇宙。10100 对应所有这些宇宙加在一起所包含的基本微粒的数量！卡斯纳决定把这个数叫作“古戈尔” (googol)。这个词是他 9 岁的外甥创造出来的，后来成了企业家谢尔盖·布林(Sergey Brin)和拉里·佩奇(Larry Page)的灵感之源。当年，两人创建了一个用于信息搜索的网站，也就是后来的谷歌(Google)。 
在《数学与想象》中，卡斯纳和纽曼又推进了一步，创造出另一个被他们称为“古戈尔普勒克斯”(googolplex)的数，相当于10googol， 也就是 1 后面跟着古戈尔个 0 ！因此，古戈尔普勒克斯表示的数量比宇宙中基本微粒的数量还要多。这一次，佛陀被超越了，这个数的值绝对超出了我们所有的想象。如果有一本巨大无朋的书，书页的大小和可见宇宙一样大，但书中文字并不比你眼前的这些文字更大，那么这本书还是写不下古戈尔普勒克斯的完整位数的。注意：我们在此谈论的不是这个数的值，而只是写下这个数所需的空间。就像十亿(1 000 000 000) 需要写下 10 个数字一样，写完一个古戈尔普勒克斯所需的空间超过了一个宇宙的大小！
在日常用语中，“无穷大”和“非常大”常常会被混为一谈。老实说，当你跟人聊天并听到“无穷大”这个词时，我敢打赌，它是被过度使用了，应该用诸如“巨大”或“超级大”这类更适度的形容词来替代它。在这一点上，古印度的学者们自己就表述得并不十分清楚。他们使用的词语“asamkhyeya”，字面意思是“无法计算的”或“无穷大的”，但在 10 的次方的量级中，这个词相当于......10140 !
卡斯纳和纽曼的古戈尔普勒克斯如此之大，让人忍不住将它称为无穷大。说实话，如果你试着集中精力去想某个无穷大的东西，那么可以肯定，你脑海中所描绘的那个东西要远远小于古戈尔普勒克斯。我们的大脑还没有做好准备去接受如此巨大的数量，这就是为什么我们必须警惕自己的直觉，并把自己的信任交托给推理和数学。
在公元前 3 世纪的西西里岛，一位名叫阿基米德的数学家已经断言，必须对“无穷大”和“非常大”做出区分。他在一部名为《数沙者》(The Sand Reckoner)的论著中解释说，和他的很多同代人所认为的相反，地球上沙粒的数量并不是一个无穷大的数。这位古希腊学者详细地描述了 10 的次方量级的构成，并表明，如果用沙粒将整个地球填满，那么地球所包含沙粒的数量是不会超过1063的。当然了，阿基米德的计算并不精确，因为他对宇宙真实维度的了解是有限的。但是，不管结果够不够精确，最重要的是他的结论：沙粒的数量非常大，但不是无穷大!
即使是在今天，我们周围仍然存在很多可能会被认为是无穷大的事物，但事实并非如此。就以文学为例。我们很容易认为，作家的想象力可以到达一个无穷大的探索领域。但想想，作家能够在一本书中讲述所有故事，但只有其中很小一部分被写了出来。一个面对空白纸页的作家是不受任何限制的，他 / 她可以按照自己的意愿创造出各种各样的世界，故事可以发生在过去、现在、未来，或现实之外的某个时间，这些故事也可以发生在任何国家、任何星球，或在某个纯粹虚构的地方，不受任何限制。可能性似乎完全是无穷大的。
但是，让我们换一个角度去看。任何图书都是由数量有限的字符组成的，这些字符属于某个由数量有限的字母构成的字母表。如果一位作者想要写一本有 600 000 个字符的书，那么每一个字符只可能是从 A 到 Z 的 26 个字母之一或标点符号，因此，这 600 000 个字符中的每个字符只有约五十种可能的选择。有了这两个数据，我们就有可能以数学的方式计算出产生不同图书的数量。我们会得到 101 019 382[注1]。当然了，这一组合的数量非常之大，大到无法想象，但它并不是无穷大。
图 3.3
想象一座神话般的图书馆里收藏了所有这些书(图 3.3)。所有可能存在的图书都任人取用。书中包括所有已经写出来的故事、某天将会写出来的故事，以及永远不会写出来的故事。比如，我们会在其中找到阿加莎·克里斯蒂笔下的《波洛探案集》、弗兰克·本福特关于反常数定律的文章、将在十年后获得龚古尔文学奖的著作，甚至还有“阿基米德”遗失著作的译本——在这座图书馆的书架上，我们还可以看到本书的修订版，里面改正了上述中“阿基米德”的错误写法。
即便是“600 000 个字符”这一任意范围也不一定就给出了限定。超出这个范围的著作不过是分成了若干卷，但在这座图书馆的书架上也可以找得到。比如牛顿的《原理》和夏特莱侯爵夫人翻译的法文版、《指环王》三部曲或倒过来写的七卷本《哈利·波特》。重要的是，这座图书馆不仅收藏了具有含义的书，还有那些充满着一串串毫无意义的字符的书。比如一本只有 600 000 个一连串的 “ZZZ ZZZ ZZZ ZZZ...”的书，或是用其他字符完全以随机方式写成的书，比如“FH WHAWH HVW SDUIDLWHPHQW DOHDWR LUH...”。老实说，这101 019 382 本书中的绝大部分是这样的书。如果从书架上随机抽出一本翻开，你很可能会看到如此这般一连串毫不相干的字符。这座图书馆收藏了具有含义的书，但数量很少。
数学虽然是确切的科学，但要接受一座并非无限的图书馆能够容纳所有可能存在的书，确实是一件非常复杂的事情。这种困难只有一个解释：数字101 019 382 确实非常非常之大，大到我们无法领会它的完整测度。它远远大于佛陀的所有数字，也远远大于卡斯纳和纽曼的古戈尔，因此，也远远大于我们宇宙中基本微粒的数量。而且，这一点表明，这座想象的图书馆在实际中是完全不可能存在的——只因为我们在整个宇宙中没有足够的材料来制作所有这些书籍！但需要注意的是，尽管101 019 382 看起来大得难以置信，但它比古戈尔普勒克斯要小得多！在数学的创造潜能面前，我们之前提到过的无穷大实际上是微不足道的。
这些计算直捣人心，它们就艺术创造的本质向我们发出了声声拷问。撰写书籍究竟是发明还是发现？一个作家能否声称自己创造了什么？因为他 / 她出版的每一本书都不过是数学的抽象巨型图书馆中业已存在的某一本书的有形实现。
这一推理可以应用于所有的领域。想想看，比方说，你的计算机里的所有文件都是数。这些数并非无穷大，因为你的硬盘内存是某个数量的 GB。音乐、图像、电影和很多其他类型的文件，无论它们有多大，都无法被描述为无穷大。收藏了所有书籍的巨型图书馆不过是一个巨大的多媒体库，里面已经包含了人类可能创造的一切。
我们就以图像为例。数码相机就像你的眼睛，无法捕捉到无穷无尽的不同颜色和形状。数码相机受限于像素，人眼受限于视网膜中数量有限的感光细胞。诚然，在正常的一生中，一个人永远无法看到两次完全相同的事物，场景总会发生微小的变化。但如果你获得了永生，情况就会大不相同。你的眼睛可能看到的潜在图像的数量会是巨大的，但仍是有限的，而当你达到了一个非常大的年龄时，你就注定只能看到那些你已经见过的事物。
你听到、尝到、闻到甚至感觉到的所有事物都是如此。更迭不可能是无限的，创意不可能是无限的。哦，当然了，在这种情况发生之前，会经过一段无比漫长的时间，比你所能想象到的任何时间都要长。这段时间如此之长，甚至自宇宙大爆炸之后流逝的 138 亿年和它比起来都像是几分之一秒。这段时间如此漫长，但也不是无穷大。 
注1：由各有 50 种选择的 600 000 个字符组成的文本数，计算结果为 50600 000≈ 101 019 382，相当于 1 后面跟了 1 019 382 个零。
本文摘自《数学的雨伞下》一书，作者【法】米卡埃尔·洛奈（Mickaël Launay）著，《赛先生》获授权在微信公众号发表。
一个彩蛋：因篇幅所限，本文未能揭晓英国的海岸线长度究竟有多长。那么聪明的读者，测量英国的海岸线，你知道要用到哪些数学概念吗？快留言告诉我们，《赛先生》将选出三位幸运读者，赠送由人民邮电出版社提供的新书《数学的雨伞下》一本。
《数学的雨伞下》
【法】米卡埃尔·洛奈 著
【法】克洛伊·布沙伍尔 绘

欧瑜 译
图灵新知/人民邮电出版社
2023年6月出版
本书已在赛先生书店上架，欢迎点击图片购买
在了解这个世界的过程中，现实经常会挑战我们的感官和直觉，让我们震惊不已。这时，数学就像一把雨伞，当撑开这把雨伞时，我们仿佛进入了一个奇特的世界，有了迈向真相、行走在谜团中的勇气；当收起这把雨伞时，我们会发现自己的认知已大不一样，所谓的“理所应当”和“显而易见”将被摒弃，现实背后隐藏的真相将带来巨大的启发。这就是数学的力量。
从代数、几何到相对论，从温度计到黑洞，作者用简洁而生动的笔触阐释了如何更好地思索、观察与理解世界。本书适合对数学、物理感兴趣的读者阅读。
米卡埃尔·洛奈（Mickaël Launay），法国巴黎高等师范学院概率学博士，毕业后参与众多针对公众的数学推广活动，是法国“文化与数学游戏沙龙”的成员。他的网上数学节目“Micmaths”拥有50多万订阅者。荣获法国数学学会“达朗贝尔奖”和法国数学科普杂志《切线》（Tangente）图书大奖。著有畅销数学科普书《万物皆数》。
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