几何在物理学中的妙用
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物理学发展到20世纪,数学中的几何被引入到物理理论中。爱因斯坦借助黎曼几何构建了广义相对论,杨振宁发现规范场与纤维丛的对应关系,而到1980年代后拓扑量子场论的诞生,又将物理学推向了新的高峰。几何理论和相关概念在物理理论中大显身手,以至于有很多人说“物理就是几何”。如今这些由几何诞生的物理概念,已经深入到大气科学、信息科学等许多领域,也为几何学带来新的生命力。
。类似的,可以猜测弯曲平面上的局部坐标系里,哪怕坐标轴不正交,反正总可以把距离写成状如
的样子,这个α、β、γ组合,就叫作“度规”(metric),它回答了流形上每点与临近的点之间该如何计算距离的问题。如果流形上每一点都有了自己的度规,那么整个流形也就被“石化”了,此时才可以计算曲率。
,意思是说这个同伦群可以用所有整数来表示,每个整数代表绕数为该整数的同伦路径,因为绕行有分顺时针和逆时针,可以两相抵消,所以天然存在负整数的绕数。
,原因是圆环面在橙色方向和蓝色方向各有独立的绕数。
。欧拉示性数与流形身上孔洞的数量有个简单的换算关系,
,这个g就是孔洞数。
,其中
是拉氏量密度。而且这不是普通的积分,而是生成整个物理场一切动力学属性的核心,从最小作用量原理出发推导出运动方程的套路相信许多读者都已经烂熟于胸了。
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4 纤维丛:万物之理
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