橘子：这周，推出了咱们新专栏“你问我答”，已经出了2期内容：
也非常欢迎大家写下你希望我们“去寻找新思路、新方法”的具体问题，我们会通过做研究、找专家、搜集成功经验的方式努力解答。但愿小花生每天推出的内容，都能帮你解决带孩子学习和成长中的一个实际问题。
今天，“你问我答”栏目又来了。这次请到了一位数学大牛，来回答问题：为啥很多孩子小学数学成绩很好，到了初高中却会落下？
这位大牛就是咱们的花友@昍爸（读音：xuān），中国科学院计算机博士、前南京师范大学计算机教授，可谓“根正苗红”的数学教育专业人士。
他自己数学也特别好：在初中和高中时曾获得全国数学奥林匹克联赛一等奖，江苏赛区第一名，高考数学考了满分。
现在家有两位小朋友，对怎么教孩子数学，也有不少实践心得。还曾利用业余时间撰写文章，普及奥数与数学教育，著有《给孩子的数学思维课》等书。
《给孩子的数学思维课》这本书获得了科技部2020年全国优秀科普作品奖，得到了院士、长江学者、杰青等多位科学家的推荐。公众号：昍爸说数学与计算思维
前段时间，小花生直播间也邀请到了昍爸，和大家聊“小学数学学习中的误区“这个主题，反响很热烈。（进入小花生Kiddo 视频号- 直播回放，可以看到完整内容）
这两天，我们继续跟进采访了这位数学教育专家，请他就“小学学习误区”这个主题做进一步的阐述：
  • 误区在哪里？
  • 问题如何解决？
  • 进而，小学数学该做什么、不做什么...
“听君一席话，胜读十年书”。非常建议大家仔细读读这篇文章，花10分钟的时间，搞明白一些数学学习的道理，无论是孩子或是家长，也许都会少走不少弯路。
访谈涉及校内数学的考试分析，校内各阶段数学学习重点，小学数学该学什么等一系列经验和建议。非常货真价实，今天，咱们一起来看！
01
为什么有些小学数学成绩好的孩子，到了初高中数学会跟不上进度呢？能不能举例分析下？
昍爸：其实回答这问题特简单：因为小学数学成绩所谓的“好”是假象。
小学阶段的考试是过关考试而不是选拔性考试，区分度低。特别是期末考试，讲究皆大欢喜，因此遍地高分是常态。这是两年多前一次期末考试后六年级家长们在群里报告的信息。
坐标：长沙
  • 英语：54人：100分38人，90-99.5分15人，86.5分1人，均分99.1分；
  • 数学：54人：34个100分，均分97.7分；
  • 语文：54人：7个100分，均分96.3分。
坐标：南京
  • 数学：39人：14个100分，7个99分。
坐标：海淀
  • 数学：全班最低94分。
坐标：杭州
  • 自家娃：数学100，英语100，科学99，语文91（作文写砸了）；
  • 班级情况：数学100分很多，平时考七十几分的也接近满分了。
放眼望去，大片的100分和99分，这虚假的繁荣确实容易让人痴迷其中无法自拔。但如果你真因此相信自己的孩子数学好，那就输了。
小学数学知识点有限，这类考试通常考的都是做过的题型，常常只是简单换个数字或场景，因此记住一些结论、口诀或公式就特别有用。
在这一阶段，就对分数的贡献来说，孩子的记忆力足以弥补甚至超越对数学原理的理解。
我举两个小例子：
第一个是植树问题。
一条小路长36米，在这条小路的一侧每隔6米种一棵数，那么从头到尾一共可以种多少棵树？
第一次孩子答36÷6=6，错了。后来老师反复强调，要在除法结果的基础上再加1。这样几次下来，即便孩子不理解这加的1到底是啥，他也能正确回答类似的问题。
第二个是正方体不同构的展开图问题。
第一次，孩子可能花好长时间勉强枚举了8种，其中还有两种是同构的。好一点的老师可能会费九牛二虎之力讲解整个枚举过程，但最后发现依旧有不少同学没法不重复不遗漏地枚举所有情况，于是干脆教了个口诀。
正方体展有规律，十一种类看仔细；
中间四个成一行，两边各一无规矩；
二三紧连错一个，三一相连一随意；
两两相连各错一，三个两排一对齐。
一条线上不过四，田七和凹要放弃；
相间之端是对面，间二拐角面相邻。
正方体不同构的展开图
这样一来，许多原来枚举不全的孩子都会了，老师也不用再费口舌解释。仅从提升分数的角度而言，后面这种方法胜出。
但最重要的是什么呢？记住这11种展开图对我们的认知有什么额外的帮助吗？
答案是没有。
怎么有序地去列出这11种展开图，为什么只有这11种展开图，什么样的展开图算同构？这些问题才是最重要的。如果只背个口诀，那就完全掩盖了学习的本质。
这也是为什么一大批名校在录取后，还要重新组织摸底考试的原因。小学的这种考试成绩，实在说明不了什么。
考试本来就应该有点考试的样，让人人都满分的考试危害有二：一是蒙蔽了家长和孩子，让大家不能及早清楚地认识自我、摆平心态；二是它助长了不正确的数学学习方式。
这么一路考下去，到了初高中，就开始有问题了。
因为初高中的数学，特别是高中数学，知识点更多，更抽象。
就拿数来说，引入了虚数的概念，虚数在英文里是imaginary number的意思，就是想象中的数。这个时候，如果我们学虚数只在数的范畴里机械地学它的运算法则，那很多问题是没法解决的。我们需要把虚数的几何意义搞清楚，建立知识点之间的联系，做好数形结合，这样往往能起到四两拨千斤的作用。
虚数计算例子
仅依靠记忆，很多知识在头脑中只是一个个的点，这对于应付小学的过关型考试问题不大，但如果不能通过理解把这些点连成线，再把线织成知识网，那是很难应对高考这种选拔性考试的。
02
那能不能拓展讲讲，在学习数学这门学科时，小学、初中、高中，不同阶段的重点是什么？
昍爸：好的，那我分阶段来说说：
1、小学数学，以数、形、计算和应用为主
小学阶段的东西基本都是我们日常能碰得到和用得上的。
这个阶段，我们可以在学习的数学知识和生活场景之间建立密切的联系，用形象和生动的案例来加深孩子对数学知识的理解。
同时，除了要把计算基础打牢，把基本概念理解清楚，更要把学到的东西应用于解决现实中的问题，这也就是小学阶段有很多应用题的缘故。
当然，除了知识本身，类比和归纳是小学阶段需要重点培养的元能力。比如，买水果的时候，我们都会先试吃一下，吃了觉得好才会购买，这就是一种归纳思维。
新版小学数学课本中关于计算的部分
2、初中数学，更注重是逻辑思维和抽象思维
比如，代数方面从具体的数的运算过渡到了用符号表示的多项式运算，几何方面从计算周长和面积等具体的应用过渡到了纯粹的演绎推理证明。特别是几何证明，它对学生建立公理化体系、形成逻辑思维、提升思维严密性很重要。
不过就知识点而言，初中阶段的数学相对于高中来说还是比较少的。在这个阶段，课上学的数学知识点距离我们的日常生活就远了一点，我们要稍微站得高一点，理解整个初中数学的体系。
比如，在数的方面，要理解从自然数到实数的数系扩充过程；在几何方面，要了解平面几何的公理化系统。
初中数学，常见一些几何证明
3、高中数学，高度抽象是其代名词
整个高中阶段数学的体系性和抽象性明显加强，体现在概念的抽象、体系的完备、思维的高度。比如数，从实数进一步扩充到了人造的复数域，虚数的英文叫imaginary number，意思是存在于想象中的数。
高中开始出现的虚数i
引入虚数仅仅是为了解决运算的完备性，它在我们的生活中本来是不存在的！类似于集合、映射、函数等概念也都是抽象的知识，在平时生活中基本上用不到，因此理解的难度一下子就上升了。
比如，初中阶段也学习函数，但无论是一次还是二次函数，都可以直观地表示在坐标系中，还是可以看得见摸得着的；但高中一下子就从集合和映射的角度抽象概括出函数的本质，有解析式的函数类型也是五花八门，更有对于无解析式的抽象函数性质的研究。
集合与映射
相比于初中数学，高中数学的节奏也明显加快。初中数学，往往在某一个知识点上停留较长时间，相同题型可以给较多的时间反复训练，而高中数学内容多，一个主干众多枝丫，例如，高一讲了集合之后，接着讲函数，函数的定义域、值域、函数关系、函数的单调性、奇偶性……接踵而来，没有时间作过多的停留。
与初中数学相比，高中数学的灵活性和难度也明显加大。如果说初中数学还能靠总结知识点和反复训练相同题型拿高分的话，高中数学重复刷题的效果会大打折扣。
要想学好高中数学，一定要注重理解和分析，理解清楚概念的本质内涵，搞透概念与概念之间的联系，遇到问题基于逻辑分析而不是套用题型。很多人初中数学能考个不错的分数，到了高中就直线下滑，就是学习方法不当和分析问题能力欠缺所致。
03
那么，从中高考的数学要求倒推，小学数学该怎么“学”、要学些什么呢？
昍爸：小学数学以数、形、计算和应用为主，与生活密切相关，知识点本身并不是很多。如今，面对社会的焦虑，小学数学学习最重要的已经不是做了什么，而是不做什么。
首先，不要囫囵吞枣似地超前学。现在市面上有一种说法，说是甭管懂不懂，先吞下去再说，后面回过来再慢慢消化。我个人不支持这种做法，正所谓基础不牢地动山摇，特别是不能超越思维能力去学习高阶的东西。
其次，不要习惯于投喂解题技巧的教学，这种教法不适合学生锻炼思维；最后，不要沉溺于偏题、怪题。
与之相对的，就是我们该干什么。
首先，要等思维发展到一定的程度才去学相应的内容，特别要注意形象思维到抽象思维的发展分界线；
其次，要学习思考和解决问题的方法，感受数学结论形成的过程，体会思考的威力、成就和乐趣；
最后，相比于偏题怪题，了解整个数学的体系、数学的用途以及数学的发展史，对孩子更有益处。
如果非要从中高考来倒推的话，小学阶段可以在下面几个方面下功夫：
1、利用所学的数学知识解决现实生活的问题，激发对数学的兴趣。
这种兴趣不是简单地认为数学好玩，而是切实地感受到数学有用，体会到思考的威力，享受思考的乐趣。建立在深度思考之上的兴趣才能更长久。
数学源于生活，高于生活，又回归生活。生活中的数学孩子看得到摸得着，解决生活中的数学问题也能培养孩子的数学兴趣，提升孩子的成就感。
其实，我在《给孩子的数学思维课》里面讲了很多这方面的例子，比如：坐飞机时，为什么飞机的往返飞行时间不一样？小学门口接孩子的标牌为什么要那么设计？抽五张牌，抽到顺子和同花的可能性哪个更高？
这些问题能激发孩子的好奇心，一旦好奇心起来了，去搞清楚背后的原因是顺理成章的事。
2、从小加强对孩子的数感、量感、空间感的培养，对数学的感觉和敏锐性很多时候会影响到数学的解题。
可以不夸张地说，数感和量感是决定大部分孩子日后数学高度的最重要因素。数感和量感强，学数学会轻松许多，反之，则会困难得多，考试也会感到异常吃力。
数感，顾名思义，就是一个人对数的感觉（常常会与直觉关联），是对数字含义的感知，进行心算、估算、观察世界和进行比较的能力。
学术界普遍认为，数感是一个人理解、关联、连接和使用数的能力，包括：
  • 知道它们的相对值，能够比较两个数的大小；
  • 如何使用它们做出正确判断；
  • 在加减乘除时如何灵活地使用它们；
  • 如何在计数、测量或估算时制定有用的策略。
早年发展起来的强烈数感是学好小学数学的关键，因为它将数数与数量联系起来，巩固和完善对多和少的理解，帮助孩子估计数量和测量值，并为更高阶的学习奠定基础。
相反，缺乏良好数感的学生，数学通常学不好。数感在数学学习中所扮演的角色就好比是自然拼读里的音素意识在阅读中的角色。
游戏对于加强和发展儿童的早期数感非常有用。在玩中学，孩子会兴趣满满。现在市面上有很多好玩的游戏教具，就是一种思路。
在数学新课标修订中，小学阶段的数学量感培养，被赋予与数感培养同等重要的地位：符号意识、数感、量感、空间意识、几何直观、推理意识、运算能力、模型意识、数据意识，再加应用意识、创新意识。
量感的培养，有助于学生理解量的概念，体会量的大小，加强对数量的感知，提高估算能力。
这话说起来很简单，比如100米、100千克、10米/秒等，都可以进行直观认知。然而，即便是大家所熟知的单位，有些量之间的关系也让人惊讶。比如大家都能直观感受1立方米和1毫升。可1立方米是1毫升的1百万倍啊！
怎么才能培养孩子的量感呢？

一方面，在课堂教学和日常生活中要学会用合理的量来描述所观测到的物体的长度、大小、重量、速度、温度等。
比如看到一只兔子跑步，我们要知道大概可以用米或分米来表示兔子的体长，用多少千克来表示兔子的重量，用米/秒或千米/小时来描述它奔跑的速度。而当兔子跳进一个装满水的盆子洗澡时，要知道用立方分米来描述溢出的水的体积。
另一方面，对于我们难以直观感知的量，我们要善于类比，通过数量关系的转化，将它们转变成我们可以直观感知的量，从而间接地感知这些陌生的量。
比如，地球到太阳的距离1.49×1011米，这是什么概念呢？我们大概模糊地知道很长，但到底有多长呢？
网上有这样的太阳系示意图，地球和太阳之间的距离好像就是地球直径的几倍。但这不是真实情况。
地球的直径为12742公里=1.27×107米，所以地日距离就相当于11700个地球直径的长度。地球的直径差不多是中国到美国的飞行距离，也就是说，如果我们坐飞机，那差不多12个小时就能从中国飞抵美国，按照这个速度，从地球飞到太阳需要整整16年！
3、加强基本概念和基本原理的理解，比如位值的概念，基本运算律，面积的概念和基本求法，让孩子自小懂得掌握本质和原理比学会一些雕虫小技更重要。
学好数学，搞清楚基本概念非常重要。其实，基本概念的重要性不仅仅是在数学领域，在整个科学领域都一样重要。
已故的南大计算机系泰斗级人物徐家福先生就非常强调基本概念。他每次给学生做讲座，都要强调“基本概念、基本概念、基本概念！” 没错，每次他都会重复三遍。
欧几里得的平面几何奠定了西方公理化方法的基础。公理化方法是“从某些基本概念和基本命题出发，根据特定的演绎规则，推导一系列的定理，从而构成一个演绎系统”的方法。欧氏几何的数学大厦就是由基本概念（包括基本概念、基本关系）、公理、演绎规则和定理构成。其中，基本概念居于重要的位置。
很多数学问题，其实最终考察的是对基本概念的理解程度。但有些人却在基本概念和定义都还没有搞清楚的情况下，就去追求公式记忆和快速解题，这就有点本末倒置了。
这里列举几个例子。
比如，提到圆，很多人都会立刻想到圆的周长和面积公式，而往往忽略了一个最重要的性质，即圆上的任何一点到圆心的距离都相等。
再如，高中时学的椭圆和双曲线，很多人都侧重于去记住椭圆和双曲线的代数方程。但是除了方程之外，这些曲线还有它们的几何意义。许多时候，这些几何含义往往可以成为解决问题的利器。
重视结论背后的原理
我自己学数学，很少刻意去背公式和记结论。自己不理解的结论，很难记住，即便一时记住，也容易忘记或记错。
比如小学低年级的植树问题、乘法分配律，我肯定会通过数形结合的方法去加深理解。
我记得某个培训机构为了让孩子记住乘法分配律，用了个警察抓小偷的故事来辅助记忆。但如果用下面数形结合的方式来辅助理解乘法分配律，是不是想忘记都难？
8X(6+4)=8X6+8X4
4、提升计算能力，以应对初高中几何级数增长的运算量。
计算肯定枯燥是肯定的，但计算关必须要过。初中、高中的计算量会很大，不过计算关会吃大亏。
小学阶段可以通过玩一些游戏来提升计算能力，另外，现在的数学游戏有许多，可以带娃在玩中学。比如计算类的24点，多点妙算，心算大师、美国跳棋等；几何类的七巧板，数学折纸，磁力方块等；逻辑类的数独、汉诺塔、九连环等。
通过美国跳棋里的两个骰子，自然就能把20以内的加法练好了
5、重视过程而不是一味追求结果，注重解决问题能力的培养，特别是从简单到复杂、从特殊到一般、从错误到正确的探索过程。
需要拷问自己：所采用的方法是否可以扩展？比如当问题规模n=10的时候方法可以用，当问题规模n=1000的时候方法还能不能用？
永远要问自己，是否有其它解决方法？努力做到一题多解，并学会分析每种方法的好坏和适用条件。一般而言，效率和普适性往往是一对矛盾体。
变换角色，把自己当成出题人。想一想如果自己来出题，可以怎么改变出题条件，真正做到举一反三。
如果能够做到这些，那我相信数学解题能力想不提升都难。
最后
昍爸写的这几本数学课外读物，
也许能给孩子的数学学习带来新的启发 ...
昍爸目前一共出了四本书，给大家推荐的是《写给孩子的数学之美》、《给孩子的数学思维课》和《给孩子的数学解题思维课》。
这几本书的适合人群：小学中高年级和初中的孩子；具有小学数学水平且希望以正确方法辅导孩子数学的家长；所有希望能重新认识数学并欣赏数学之美的人。
这三本书各有侧重。
第一本《给孩子的数学思维课》主要围绕“思维自疑问和惊奇开始”这一核心理念铺开。 
数学源于生活、高于生活、又回归生活。小学数学与生活紧密相关。书中通过众多现实生活中的案例，比如“飞机的往返飞行时间为什么不同，科幻电影里导演为什么选用质数作为不同文明间交流的信号，学校门口接孩子的标牌设计有什么学问”等，为家长、教师和孩子诠释了如何在生活中践行新课标所提倡的“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”这一核心素养。
《给孩子的数学思维课》
第二本《给孩子的数学解题思维课》可以算是对波利亚的名著《怎样解题》的拙劣模仿。
《怎样解题》使用中学数学知识作为载体去阐述数学思维，而我这本书则尝试用小学数学知识作为载体，讲清楚从读题开始到分析评价的整个解题思考过程。美国教育家布鲁姆总结出了认知的6个层次：记忆、理解、应用、分析、评价和创造。大部分人也就能到理解和应用的层次，这本书则希望能把认知的层次提升到分析和评价层次。
《给孩子的数学解题思维课》
（注：这本书和第一本封面长得很像，但其实是侧重点完全不同）
写第三本《写给孩子的数学之美》的一个动机是来源于20多年前大学数学老师宋方敏教授的一句话：人来到这个世界，就是为了欣赏它的美。
世界的美有很多种，其中有一种叫数学之美。这种美和艺术之美或自然之美没有那么相似，但它深深地感染着人类的心灵。数学之美，是很自然地、明白地摆着的，但遗憾的是许多人终其一生都未能欣赏这种美。
这本书是希望仅具备小学数学知识的人也能欣赏数学内在的思维之美、感觉之美、证明之美、统一之美。如果我们不从事数学及相关行业，很多中学和大学所学的数学知识终究会被忘掉。当一个人把在学校学到的数学知识忘掉后，剩下的就是数学教育所赋予我们的。这也正是在人工智能时代我们需要重视的能力，也是我这本书重点阐述的内容：类比、归纳、举一反三、深度思考的能力，以及对数学内在美的敬畏与欣赏。
《写给孩子的数学之美》
-THE END-
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