3月份，我和小伙伴啃起来数学思维这个话题：
上个月，发文浅说了一下👉过来人回头看，3-9岁提升数学思维，这三步操作不能少，一石激起千层浪，留言大家提出了更多问题：
滑动查看留言↓↓
看来天下“苦”数学久矣！面对更深层次的问题，我和小伙伴都不敢轻易回答，又抱着数学书狂啃一个月，才有了今天这篇干货。
现在，我们就“数学思维”这个话题往下聊，希望能帮大家更清楚地理解它、把握它，从而给孩子找到合适的方式方法。
01
数学思维成长路径
拥有过硬的数学思维，对学习数学是多么重要，这个相信大家都明白。
数学思维，本是指用数学思考问题和解决问题的思维活动形式，不过，在实际使用里，它又往往指向数学能力。
所以，在本文里，我们把数学思维综合为：用数学去思考问题、解决问题的思维活动形式和能力。
数学是一门抽象的学科，孩子学习、运用它所需的能力，几乎都是抽象思维。但抽象思维不是天生就有，几乎每个人，都得经历从具体到抽象的发展过程。
6-7岁是个分水岭，对于此前的孩子来说，要达到数学上的理解的完备，同样要经历体验-语言-图画-符号这4个步骤。
6-7岁之后，抽象思维渐渐形成，于是进入真正的计算阶段。
关于这个发展历程，著名的儿童心理学家皮亚杰有很重要的研究，他认为儿童学习有四个阶段：
感知运算阶段
(0-2岁)
前运算阶段
(2-7岁)
具体运算阶段
(7-12岁)
形式运算阶段
(12岁左右以后)
从整体上来看：
体验-语言的过程👉对应感知运算阶段；
图画-符号的过程👉对应前运算阶段。
6-7岁前的数学启蒙，主要由家庭教育完成。
而6-7岁后的具体运算阶段、形式运算阶段，则主要由学校接手过去。
也就是说，我们心中得明确意识到，数学思维的培养和锻炼，从孩子牙牙学语起就开始了，家长是孩子的第一任数学老师。
顺应发展规律，尽量每一步都踏在思维特点的节奏上，数学想不好都难。反过来说，如果一再错过思维发展阶段，到了小学甚至初中以后，才突然要求孩子学好数学，那时确实有点难了。
接下来，我努力把常见的数学思维和相关锻炼方法罗列出来，供大家参考。

02
数学思维，具体是指什么？
1
众说纷纭的数学思维
Mathematical thinking
数学思维究竟有哪些呢？这细说起来，可太多了，不同的专家从不同的角度、用不同的方法，给出的分类各不相同。
就拿我手上的三本数学著作来说，就有三种不同的说法。
在《让孩子受益一生的数学思维训练》中，作者列出了9大思维能力。
在《儿童怎样学习数学》中，拆分更为细致，如求同、分类、配对等。
在《给孩子的数学思维课》中，作者挑选了自己比较关注的几点来展开。
一开始，眼花瞭乱，不知道以哪个说法为准。
但细读、分析、归纳之后，会发现，其实它们的内容是高度一致的，只是用了不同的名词概念、归类方法。
在此基础上，我们结合自己的实际经验，总结出如下更符合普通孩子情况的分类。
2
我们总结出的8大数学思维
Mathematical thinking
总结归纳下来，我们认为最重要的是这8大数学思维。
1
计数思维
所谓计数思维，重点在于理解数字所代表的含义。这是数学的基点，贯穿2-6岁。
 2-3岁的孩子 ，是教他把最具体的事物，和数字产生联系。
比如：走路时数步子、在公园里数鸭子、数盘子里的苹果……
 4-5岁的孩子 ，如果能手、口一致地数出10以内物体，就可以尝试引导他用“数数”这个技能，回答生活中的实际问题。
比如：这里有3个小朋友，每个小朋友1颗糖的话，一共要买几颗糖？
 5-6岁的孩子 ，计数能力比较熟练了，不仅可以顺着数，还能倒着数。这时可以引导他去解决更多的生活问题。
比如：你有2本书，现在再买3本，你有多少本书？
计数思维的发展主要依靠家庭教育，但又很容易被忽略过去。在我看来，一步一步做好这些练习，才是真正的幼小衔接，远比临时抱佛脚的灌输式课程要有效。
数学思维不是某一天凭空出现，而是在孩子学习数学之前，就日复一日地接触、巩固。这样，当一年级、三年级、初中来临，水到渠成。
2
计算思维
在孩子刚接触计算时，我们依靠经验，很容易陷落在一个区域中，那就是特别喜欢问“1+1等于几？”“2+3等于几？”的问题。
不能说这样不对，而是，这种问题问得多了，会僵化，会把关注点悍死在“答案”这个东西上，忽略了更重要的思维成长，如多元思维、有序思维、互补思维等。
那这些思维怎么去启蒙呢？我借用《让孩子受益一生的数学思维训练》一书中的案例来说明。
多元思维
3+4=7这道题，可以用开放式的方式去问：几+几=7？答案有可能是2+5=7、3+4=7、1+6=7……
有序思维
前面的例题，还可以这么问：怎么能回答得快一点，还不漏掉答案呢？
引导孩子挨着顺序说，比如1=6、2+5、3+4、4+3……
互补思维
前面的例题还可以继续延伸，比如进一步问孩子：为什么第一个是1+6、第二个是2+5呀？
引导孩子理解：因为2比1多了一个，所以后面的那个5就要比6少一个。
上面的例子比较简单，只要我们多花点心思，就能操作起来，这时建议别让孩子进入动口不动脑的模式，不然答案再漂亮，也粉饰不了日后思维的苍白。
事实上，我们能介入的、最有效的时期，也就是启蒙时期，一定要珍惜。
3
图形思维
这里的图形思维，主要指几何和空间的内容。
一个坏消息：从数字转入图形，是一个思维大跳跃，孩子很容易发懵。
一个好消息：小学阶段的图形思维不算复杂。
这方面的练习，可以从平面图形、长度测量、认识空间三个方面来做。
平面图形
在认识平面图形上，我们有一个绝佳的益智玩具——七巧板。怎么玩呢？我觉得《给孩子的数学思维课》里的方法很值得借鉴。
作者分了两步，第一步是做七巧板。
第二步才是玩七巧板。
这里的玩法，有些“高端”，涉及到面积、倍数等概念。也有很简单的，如比大小。我觉得不用太拘泥，都可以让孩子尝试，不断打破思维的疆域，本就是思维活动的意义嘛。
长度测量
我们可以通过各种实物，让孩子理解长度的概念。
比较
如把车头和车厢摆在一行小棒的两侧，看车厢比车头长多少。
减法
剪下一张纸条，长度和6根小棒一样长，如果我们从中剪下4根小棒长的一段，那么剩下的有多长呢？
认识空间
如果想要一个简单又有效的法子，来打开空间思维，那我会推荐和孩子一起尝试正方体的展开图。
正方体有多少个不同构的展开图呢？让孩子自己探索最有意义。
4
推理思维
推理的基础是观察和发现规律，这个可以从求同、分类、配对、排列这四个方面去练习。下面的示例均来自《儿童怎样学习数学》这本书。
求同
指孩子们在自己的体验范围内，发现并选择一些共同属性，自发地形成概念。
比如，让孩子在一堆物品中，找出圆形的那几个。
或者在一堆物品中，找出能平放的、不会滚走的那几个。
分类
指孩子们把一组事物分成新的几组，每组分别具有共同属性。
比如，把一堆小木棒，按长、中、短的要求分成三组。
配对
指让孩子们给两个人或物搭建起“一一对应”的关系，它有三种情况：“和……一样多”“比……多”“比……少”
下面这个例子，是“泰迪熊的糖”和“玩具兵的糖”一样多的对应关系。
排列
指让孩子们把一组物体不按照特定规则来排列，涉及到首先、下一个、最后、中间这样的概念。相对来说，逻辑思考的成分加重了。
如用AB或AAB的规律来串珠子。
5
可逆思维
在数学中，可逆思维很重要，不管是题目中的应用，还是做完题后的验证，都有它大展身手。
这个经典的报数游戏，充分体现了可逆思维的用处，它是这样的：
甲、乙两人从1开始轮流报数，甲先乙后，每人可报1个或2个数，谁先报到18就算赢。试问，谁有必胜的策略？
这个问题，《给孩子的数学思维课》有详细的论述，适合学过除法的孩子来玩。
还可以试着带孩子玩加密游戏，它综合了多个思维训练，在加密、解密的过程中，孩子能收获不一样的成就感。
6
逻辑思维
它是个“大家伙”，几乎包括了前面提到的所有思维方式，是综合运用各种思维方式的过程和方法。
如果前面各种思维是士兵，它就是调兵的将军。
那么，该怎么给这位将军大人做训练呢？除了做数学题本身，最有效的方法，肯定是阅读了。因为大脑在处理文字信息时，会充分调动推理、预测、判断等方法，自然而然地让逻辑思维上场指挥。
其次，编程也可以试试。因为编程是以问题和目的为导向的，写程序的过程，就是逻辑思维调兵遣将的过程。
而且它的逻辑层级很多样，有大有小、有里有外、有长有短，简直是丰俭由人，适合不同年龄的孩子。
7
创新思维
乍一看，创新思维和数学思维好像没什么关系，数学有很多的条条框框，并不允许天马行空。
但如果我们把创新思维再拆分，会发现，它的基础是发散思维、求异思维和批判性思维。这三个东西，刚好也是数学思维的重要部分。
只是，与其说培养创新思维，不如说保护、引导更合适，因为孩子的创新能力远超大人想象。
比如，给孩子一个面团，让他自由发挥，不做限制；比如，给孩子读绘本时，让他改编结局；比如，对着云朵编故事……
8
阅读思维
这个比较特别，在各种数学理论书中，基本上没有看到这个说法。但是，在实际的学习中，已经有无数实例证明：
阅读能力强的孩子，更容易看懂题目，从而解出难题。
而阅读思维的养成，大概有下面这几个方向。
 框架思维 ：明确读书的目的，从序言、目录等方面了解书的大概内容，读的过程中梳理出内容脉络。
 预判思维 ：阅读前文时，能对后文的发展进行预测和判断，一边读一边进行印证和调整。
 联想思维 ：对前、后文的信息进行联接想象，找出伏笔和互应，品味出作者的言外之意。
当然，阅读思维不止这些，且不是一时之间就能养成的，它是另一个大话题。在这里我们只能稍微一提，知道它和数学思维的关系。
3
校内课程解读
Course Interpretation
因为篇幅有限，前面提到的数学思维没办法说得太详细，主要是把它们整理到一处，让大家知道有这么些东西。
等于是做一个引子或一个提纲，给到后续拓展的可能性。
至少，下次再看到“数学思维”时，不会觉得它像风又像雾，而是能清晰地列举出它都包含哪些项目。
同时，我有一颗定心丸奉上：小学校内数学课程，正是基于这些思维训练需求进行设计的。照着走，就能满足基本的数学思维和能力养成。
也就是说，6岁以后的具体运算阶段、形式运算阶段，由学校接管了。我以深圳北师大版的数学教材为例，说明一下这个情况。
计数思维训练
一年级上册
多元思维训练
三年级上册
图形思维训练
六年级上册
觉得不够怎么办？前面提到的各种实例和方法，都可以有效补充，可以找相关教辅。如果找线上线下机构上课，则一定要注意老师的授课方式是否善于引导孩子思考，不怕学得少，最怕思维僵化，得不偿失。
03
好书推荐
上面的内容，我们参考了很多本数学著作，其中有4本写得好懂又实用，在此推荐给大家。
《让孩子受益一生的数学思维训练》
作者张梅玲教授是著名教育心理学家、儿童数学认知研究专家，专注孩子的思维研究长达50年。
这本书理论结合实际案例，介绍了6大数学能力+4大数学思维，让我很受启发，比较适合6岁前的孩子。
《儿童怎样学习数学》
干货满满的数学基础理论著作，具体到100以内的运算、体积面积运算等细分知识点，对小学3年级前的孩子比较有指导意义。
其中有关于皮亚杰理论的详细介绍和挑战，兼顾了宏观和细节。
《给孩子的数学思维课》
从生活、游戏出发，介绍了有序思维、抽象思维、几何与空间思维、逆向和递归思维、整体思维等内容。
理论性的东西比较少，对思维练习的拆解和细节介绍比较多，比较适合小学2-3年级以上的孩子。
《吴老师的趣味数学课》
很有“个性”的一本数学思维书，读下来有一股锐意进取的少年气。内容比较有深度，如果说前面三本书是基础，那这本书就是“加深”和“拔高”。
一方面是涉及的知识点变多变杂了，另一方面是拆解变得跳跃，所以更适合本身对数学有浓厚兴趣的孩子读。
丹妈碎碎念
费了好大的篇幅，数学思维这个话题，我感觉其实只说了点皮毛。
幸好，我们并不要求自己成为数学专家，希望这篇文章，能帮大家梳理一下思路，进而更了解自己孩子所处的境地、前往的目标。
养娃路上，没有放之四海而皆准的方法，只有磕磕碰碰的摸索。了解多一点，焦虑就少一点，哪怕什么都不做，也有了不做的原因和底气。学海无涯，共勉！
点击 阅读原文加入好书福利群
继续阅读
阅读原文
关键词
数学
数学思维
问题
让孩子
方法