在中学时候,我们学习过幂函数和指数函数,比如y=x2y=2x,都是大家比较熟悉的。
幂函数和指数函数
可是,你知道 y=xx图像长什么样吗?
这并不是一个简单的问题,我们需要使用复数对“乘方”的概念进行拓展。这可能会有点难,但是如果你能花点时间看完这篇文章,并且稍作思考,那你一定能被数学之美所折服。
01
实数乘方的含义
我们先来讨论一下:在实数范围内,乘方的含义:
在底数c大于0的时候,乘方一定有意义,例如:
按照这样的方法,计算y=xx在x>0的范围内是很容易的,利用软件可以画出:
如果底数c小于0,有时cx依然有意义,例如:
但也有时候,cx在实数范围内无意义,例如:
因为负数在实数范围内不能开平方,所以这个乘方就没有意义。中学时候老师教给我们一个判断方法:负数不能开偶次方根
可是,利用这个规则我们依然不能判断所有的情况,比如
π是一个无理数,根本不能写成两个整数的比,所以也不知道它到底是在开奇数次方根,还是在开偶次方根,我们甚至不知道它在实数范围内有没有意义。
使用中学阶段的乘方知识,我们就只能理解到这里了,所以没办法画出y=xx在x<0时的图像。要继续深入下去,必须先来了解一下复数的各种形式。
02
复数的三角形式
我们知道:一个复数a+bi对应了复平面上的一个点:
复数和复平面
如果我们把这个点和原点连起来,形成一个向量,那么向量的长度ρ叫做复数的模,向量与实轴正半轴的夹角θ叫做辐角。这样,复数还可以写成这样的形式:
其中
这叫做复数的三角形式。
紧跟着,我们又要引用一个数学上的重要公式——欧拉公式,它告诉我们:对于自然对数的底e,虚数单位i和一个实数θ,有关系:
所以,刚才的复数又可以表示成
这就是复数的指数形式。
大家注意:θ角具有周期性,因为一个向量每转动360度,方向都是相同的。所以向量的辐角有无穷多个,彼此相差2π。比如
为了方便起见,有时候我们会省略2kπ,把1+i的辐角说成π/4,实际上这只是无穷多个辐角之一,称为主辐角。但在我们后面讨论的问题中,必须考虑所有的辐角,这是问题的关键。
利用指数形式,计算复数的乘方会非常容易,规则是:
举个例子:要计算1+i的三次方,我们可以使用下面的方法:
利用指数形式
在复平面上画出这个向量,注意:无论k取什么整数,向量的方向都是固定的,与实轴正方向夹角为135度。显然,这个结果等于-2+2i。
03
乘方概念的拓展
利用复数的指数形式,我们可以对乘方的概念进行拓展。注意:拓展之后的乘方概念,将会变成一个多值函数。即计算一个乘方,会有好几个甚至无穷多个答案。
这其实不难理解,比如“4的平方根”就是一个多值函数,结果是2和-2,其中2叫做算术平方根。
我们首先对正数的乘方进行拓展,即
虽然c是一个实数,但是我们依然可以把它看作是虚部为零的复数,那么它的模就等于c,而辐角就是0,2π,4π,…
然后,我们利用复数乘方法则,得到:
在k取不同值的时候,cx就会产生不同的结果,这些结果有些是实数,有些不是实数。
举个例子:计算2的1/3次方。
这个结果的模都是三次根号2,但是在k取不同整数时,辐角并不相同。
在复平面上画出这三个点,你会发现三个数中一个是实数,另外两个是非实数的复数,当k继续取4、5、6…等值的时候,结果会重复落在这三个点上。
2的1/3次方有三个取值
那么,c<0时情况又如何呢?我们来对负数的乘方进行拓展,即
负数c的模等于-c,而辐角就是π,3π,5π,…
我们利用复数乘方法则,得到:
同样,在k取不同值的时候,cx就会产生不同的结果,这些结果有些是实数,有些不是实数。
举个例子:计算-2的1/3次方。
结果的模是三次根号2,但是在k取不同整数时,辐角并不相同。
在复平面上画出这三个点,你会发现只有一个(k=1)是实数,另外两个是非实数的复数。
-2的1/3次方有三个取值
甚至有时候,复数的乘方结果都不是实数,例如按照刚才的方法计算(-2)1/4,你会发现它的结果是
画在复平面上,会发现一共有4各结果,而且全都不是实数。这就是为什么复数的偶次方根在实数范围内无意义。
-2的1/4有4个取值
那么,能不能总结一下,什么时候乘方在实数范围内有意义?什么时候没意义?
其实,进行了复数拓展后,正数和负数的区别只在于主辐角不同,正数的主辐角是0,而负数是π,这样按照复数的乘方规则,我们有:
其中
对于正数c而言,cx的辐角是2kπx,只要k=0,无论x取多少,辐角都一定是0,对应一个正实数。所以,正数的任何实数次方在实数范围内都有意义。
但对于负数c而言,cx的辐角是(2kπ+π)x,除非这个结果是π的整数倍,才能获得实数。因此,负数的乘方不能获得实数,除非满足(2k+1)x是整数。用数学表达式写成:
这时,我们就可以对x进行讨论了。
1. 如果x是一个无理数:无论k取哪个整数,(2k+1)x都不可能是有理数,自然也不会等于整数了,因此cx不是实数。
2. 如果x是一个有理数,那么可以把x写作:
于是有:
它是否能成为整数?我们又要分两种情况:
  • 若q为偶数:因为2k+1是奇数,若q是偶数,那么2k+1和q不可能完全约分,因此(2k+1)x不可能是整数,cx不是实数。这就是以前说的:负数不能开偶次方根。
  • 若q为奇数:因为2k+1是奇数,只要2k+1=q,3q,5q…等值,就能把q完全约分掉,所以(2k+1)x完全可以是整数,cx是实数。这就是为什么负数可以开奇次方根。
总结成一句话:在实数范围内,正数的任意次方都有意义,负数的乘方要有意义,除非指数是有理数,且写成最简分数时,分母是奇数。
04
函数图像
利用刚才讨论的结果,我们来一起研究一些有趣的函数图像吧。
首先,我们来讨论一个简的函数:y=(-1)x,按照刚才的讨论,我们有:
它的模是1,辐角会发生变化。而且,当k取0、1、2…时,辐角随x的变化速度不一样,你可以通过一张动图观察在k不同时,辐角随x的变化情况:
k取不同取值时,-1的x次方的辐角变化情况
我们还可以画得漂亮些:在三维空间中取三个坐标轴,描绘出cx的实部(向左的轴)、虚部(向上的轴)随着x(向右的轴)的变化情况,你会发现:当k取不同值时,cx的取值构成了一系列的螺旋:
k取不同取值时,-1的x次方构成了一系列螺旋
什么时候(-1)x能获得实数呢?只需要把这些螺旋和实平面相交,交点就是实数。实际上,这些点并不是连续的,根据我们刚才的讨论,此时的x必须是有理数,并且当x写成最简分数时,分母一定是奇数,例如x=1/3,2/5,3/7等。
-1的x次方的图像
讲了这么多,终于可以讲讲最初的问题了:y=xx函数图像到底长啥样?
根据之前的讨论,我们令ρ=|x|,则:
首先讨论结果的模,利用软件很容易算出函数值的模的变化规律,它在x=1/e和-1/e的位置,取到两个极值点:
|x|x的图像
然后我们研究函数的辐角:当k分别取0、1、2、3…时,函数值都螺旋线(除了x>0且k=0时,函数会是一条连续的平面曲线外),这无数条螺旋线组合在一起,图像有点像一个宝葫芦。
k取不同值时xx的函数图像
让这个宝葫芦和实平面相交,就会得到函数在实数范围内的图像:它在第一象限中是一条实线,在其他三个象限都是虚线。
y=xx在实数范围内的图像
我们来具体解释一下。我们已经知道:如果函数值是实数,那么它的辐角必须是π的整数倍,而且,如果辐角是π的偶数倍,函数值就是正实数;如果辐角是π的奇数倍,函数值就是负实数。
1. 在x>0时,xx的辐角是2kπx。
  • 若k=0,无论x取何实,辐角都是0,此时xx是一个正的实数,对应第一象限里连续的线;
  • 若k≠0,如果2kx是一个奇数,那么xx是一个负的实数,对应着第四象限的断续的线。
2. 在x<0时,xx的辐角是(2kπ+π)x。
  • 若(2k+1)x是偶数,那么xx是一个正的实数,对应第二象限的断续线;
  • 若(2k+1)x是奇数,那么xx是一个负的实数,对应第三象限的断续线。
这就是y=xx这个奇怪的函数图像了,
你感受到数学之美了吗?
y=xx在复数域内的图像
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