各位同学大家好!我是李永乐老师。之前我们讲了三期关于博弈论的话题,分别是:
今天我们继续讲博弈论与纳什均衡。
之前我们说的一直是双方博弈的例子。纳什定理告诉我们,即使是多人博弈,也一定存在纳什均衡,这里最典型的例子是海盗分金币问题。
5个海盗抢得100金币,他们按照抽签的顺序依次提方案:首先由1号提出分配方案,然后5人表决,投票要超过半数(不包括半数)同意方案才能被通过,否则他将被扔入大海喂鲨鱼。那么,最终金币会如何分配呢?
前几年有一部动画片《天行九歌》,里面有一集《三姬分金》,就是海盗分金币问题的简化版。在这个桥段中,韩非子去找大将军姬无夜筹措军饷。发现大帐之中除了将军外还有三名美女在玩抢金币的游戏。
韩非子对三位美女说,咱们不妨玩的更有趣一些。规则是:
抽签决定三个人的顺序,按照顺序进行分金币的提议。如果提议未能获得全体人员半数以上(不包括半数)通过,提议人被处死。
在这个游戏规则下,抽到第一名提议的美女非常恐慌,因为她觉得后面两个人为了拿更多的金币,必然会否定自己的提议,然后杀死自己。但是结果真的是这样吗?
为了使用博弈论分析这个问题,首先我们必须做出几点假设:

第一,美女都是聪明的,知道自己的决策会导致什么结果。
第二,美女都是理性的,以自己的利益最大化为目标。
第三,美女都是邪恶的,在利益最大化的前提下,尽量多杀人。
在这样的假定下,我们就可以讨论这个问题了。假设抽签之后,按照顺序,三个美女分别是A、B、C。
我们假设A的提议没有被通过,那么A就会被杀,只剩下BC两个人,此时无论B提出什么建议,C都可以反对,这样提案没有获得半数以上支持,B将会被杀死。C不光可以拿到全部金币,还杀掉了两个人,C获得利益最大。
美女B知道以上结果,所以B的策略是绝对不能让A死掉,转而会支持A的一切建议。
美女A当然会预判出B的预判,有B的支持,再加上A自己,A的任何提议都会被通过,所以,美女A可以肆无忌惮的提出分配方案:自己拿100枚金币,B和C什么都没有。
虽然看起来,这个分配方案对B很不友好,但是B为了活命,还是会支持A,此时C反对已经没有任何意义了。最终A拿到了全部的金币,B和C什么都拿不到。
我们不妨设想,如果四个人玩这个游戏,结果又是如何呢?如果大将军姬无夜也要玩这个游戏,并且将军第一个提议,他会预判出三个美女的预判,他知道:如果自己的提议未被通过,那么美女A会分走全部的金币,而美女B和美女C什么都拿不到。
他还知道:要想让自己的提案通过,除了自己之外,还需要拉拢两个人。显然,拉拢B和C更好。因为如果自己死掉,B和C什么都拿不到,只要自己提议给B和C每人一个金币,B和C就一定支持自己。
所以大将军的提议会是自己拿98枚金币,美女B和C各1枚,而美女A什么都没有。大将军的提议一定会获得B和C的支持,A反对已经没有任何意义了。
有人可能会想:三个美女为什么不联合起来,否定大将军的提案,相约处死大将军后,每人拿33个金币呢?

的确,按照规则,他们可以这样做,但是当大将军的提案被否定,大将军被处死之后,就轮到美女A提案了,这时就面临一个问题:美女A会不会反悔呢?
假如将军死了,美女A反悔了,提议自己拿100个,B和C还是什么也拿不到。
当然,美女B和美女C此时也可以联合起来把反悔的美女A干掉,然后约定每人拿50个金币。但是如果A死掉了,C又会不会反悔呢?如果C反悔了,B一定会死。
因为每个人都是理性的,又是邪恶的,他们不会相信其他人的承诺,不敢冒这个风险,所以大将军最初提议的分配关系才会通过,这就是纳什均衡。
现在,你应该知道5个海盗的分金币问题,应该会有什么样的结果了吧?我们把这个问题留给同学们自己思考。
在现实生活中,这样的例子比比皆是。大将军就像是一个大公司的老板,他具有先手优势,因此可以为自己谋取最大的利益。美女B和美女C属于底层员工,他们比较安全,但是收益很少。不过,大将军特别喜欢拉拢美女B和美女C,就好像很多公司老板都对底层员工特别照顾,总是施以小恩小惠一样,因为他们是最好拉拢的。
但是美女A的位置很尴尬,她既没有先手优势,也不属于大老板拉拢的对象。他要获得最大利益,就必须干掉大将军,自己成为先手。所以历史上臣弑君,君杀臣的现象屡见不鲜。例如汉朝初期,刘邦封了8个异姓王,后来他和吕后杀了7个。朱元璋靠兄弟打天下,开国之后大肆杀戮权臣,包括胡惟庸、李善长、蓝玉等人,总共诛杀的高官达数万人。
刘邦
朱元璋
国家之间的关系也是一样。美国二战后全力扶持日本对抗苏联,现在又全力支持乌克兰对抗俄罗斯,都是这个道理。美国人忘了二战时日本偷袭珍珠港了吗?北约忘了华沙公约组织给自己造成的阴影了吗?其实,这些都不重要,国际关系,本质上就是利益博弈而已。俄罗斯明知道自己实力不行,还是非要对乌克兰动武和北约撕破脸,其实也是他所处的地位决定的。
国际关系太复杂,再说下去恐怕节目就不能播出了。我们还是说回到数学吧。通过海盗分金币问题,我们能看出:无论博弈的有多少人,只要规则是固定的,策略是有限的,那么大家最终会走向一种平衡解,结局是可以预料的。只要每个人都足够聪明和理性,就没有人会破坏这种平衡,否则就会让自己的利益受损,这就是多人博弈的纳什均衡。
关注我,听我继续漫谈博弈论。
继续阅读
阅读原文