有一个很古老的数学问题，不知为何最近又突然火了：
四只鸭子在一个圆形的水池里，每只鸭子的位置都是随机的。请问这四只鸭子在同一个半圆里的概率有多大？
我看了网上不少人的做法，都太复杂了。其实，这个问题难度并不大，我们可以用下面的方法：
首先，把每只鸭子和圆心连线，你会发现：连线的长度并不重要，我们关心的是连线的角度——只要夹角最大的两条线夹角小于180度，就能满足要求。既然如此，我们可以让鸭子分布在一个圆环上。这样我们就把问题从一个二维平面问题，变成了一个一维圆环问题了。
然后，我们假设所有的鸭子心中都有一个正方向，比如顺时针为正。如果鸭子的分布满足要求，那么一定能找到一只“鸭王”，鸭王的条件是：
  • 鸭王处于所有鸭子的最前头。
  • 鸭王身后跟了3只鸭子，并且3只鸭子与鸭王的夹角都小于180度。
如果能找到鸭王，四只鸭子就一定在一个半圆里。反之，如果鸭子不在同一个半圆里，那么你不可能找到一只鸭王，让其余的三只鸭子都在它身后，并且与它的夹角小于180度。这样，“鸭子在同一个半圆里”的问题，就等价于“存在鸭王”的问题。
我们继续思考：存在鸭王的概率有多大？如果这四只鸭子分别是A、B、C、D，那么每只鸭子都可以当“鸭王”，而且鸭王最多只有1只！所以“存在鸭王“的概率等于A、B、C、D分别称王的概率之和。
P(鸭王存在)=P(A王)+P(B王)+P(C王)+P(D王)
那么，A当鸭王的概率有多大呢？如果A当鸭王，就以A为界限，前后各有180度的范围。B、C、D三只鸭子都需要分布在A后方的180度范围里。由于每只鸭子都随机分布，B、C、D都在A身后180度的范围里的概率是(1/2)3, 这就是A当鸭王的概率。同理，B、C、D当鸭王，概率也是这么大。
所以，四只鸭子在同一个半圆里，概率为
即50%。
我们不妨再做一点引申：假如有n只鸭子，在同一个圆形水池中，分布在同一个半圆里的概率有多大？
显然，这n只鸭子都可以当鸭王，每只鸭王身后要跟着n-1个鸭子，每只鸭子在鸭王身后的概率都是1/2，所以鸭王存在的概率是：
还能再给力一点吗？
如果你觉得上面的问题太简单，不妨思考下面的问题：假如有n只鸭子，随机分布在一个圆形水池中，所有鸭子都在一个角度小于θ的扇形里的概率有多大？
对这个问题，许多朋友给出了答案：只需要用θ/360o替代1/2即可，也就是：
但是，只有在θ<180o的时候，上面的结果才是成立的。如果θ>180o,很容易验证上面结果是不正确的。其原因在于：θ>180o时，满足条件的鸭王不止1只！
此时问题将会变得非常复杂。目前我还没有计算出来，如果有朋友能计算出来，欢迎留言指教。
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只鸭子
鸭子都