*本文为「三联生活周刊」原创内容

作为普通数学的升级训练，奥林匹克数学竞赛（奥数）有着竞赛的光环加成，从海淀黄庄的培训班到国际奥数竞赛中的华人面孔，这一学科在近些年来从不缺少大众关注。由于难度相对高，奥数一直被认作是精英的学科，有不低的门槛，需要一定的天赋才能学好。

但是，这是否意味着奥数就将普通人拒之门外了？它与普通数学教育之间是什么关系？锻炼着人的哪些能力？海南师范大学教授张国强曾是一名奥数竞赛的省级冠军，获得过初高中全国数学联赛一等奖、江苏赛区第一名，并拿到高考数学满分。
成为人父后，他注重培养孩子的数学思维，并利用业余时间撰写文章，普及奥数与数学教育，著有《给孩子的数学思维课》等作品。对于这些问题，他有自己的一些体会和观察。
口述 | 张国强
采访 | 黄子懿
没有葫芦怎么画瓢？
我对奥数竞赛的兴趣来得很偶然，也很突然。
我小时候生活在鱼米之乡常州武进，在上世纪90年代读的是正儿八经的一个村小。整个幼儿园和小学时光，我基本都是在泥地里摸爬滚打度过，平时除了做家庭作业，就是疯玩。那会儿的寒暑假是真正意义上的假期，除了学校发的一本薄薄的寒暑假作业之外，没有任何附加任务。
学习可以没有，玩耍、劳动和家务却必不可少，这几项对健身健脑都极有作用。田园时代的村里生机盎然，有一次我在稻田里钓田鸡，听到田里嗖嗖地响，我快速拉起钓竿，结果出来的是一条长长的蛇，我急忙连竿带袋扔得远远的，撒丫子就跑。
《纯真年代》剧照
这样的生活一直持续到六年级下半学期。我所在的村小突然得到教育部门通知，武进县最好的重点中学将在全县范围内第一次特招一个班的学生，学校为该班取名“早慧班”，性质约等于如今的小升初“掐尖”选拔。我当时在校内学习成绩还不错，老师就极力动员我去参加选拔，我也想试试。不过在当时，仅靠村小课内教的那点儿课本知识，想通过选拔无异于痴人说梦。武进是一个人口大县，那时候全县共150多万人，60多个乡，每个乡都有8所至10所小学，而招生名额只有50个。现在想起来，其实竞争的强度和难度都相当大。
当时我年纪小，压根没想过难度这事，只是思量着得找点题来练手，这些题目一定要超出于村小的课本之外。我骑车去离家4公里的乡镇书店逛，书店只有两间门面，卖一些武侠小说，也有少量教辅书。最后，我找到了一本数学书，蓝封面，上面有一男一女两个卡通形象，书名叫《华罗庚数学学校试题解析》，是人大附中编的，由中国大百科全书出版社出版。
作为一个村小学生，当时我并没有听说过高斯、欧拉和牛顿这些大数学家，但华罗庚我还是知道的——他是我们常州人的骄傲，来自常州金坛县。所以我一看到这本书，就下定决心买它了。这本书成为我的奥数启蒙书，可问题也随之而来。拿回家后，我稍微翻了一下这本书就傻眼了，整本书的题目我几乎都不会做。
2015年12月19日，第十六届“中环杯”中小学数学竞赛杭州赛区初赛在青蓝小学举行（董旭明 摄 / 视觉中国 供图）
很多人可能会说：不会做？可以看解答学嘛。但问题在于，这本书只是一本习题册，选择题、填空题、大题等等依次排列，连一道例题都没有。书后的习题解答非常简洁，选择题、填空题的解答都只有干巴巴的一个选项或答数。即便是大题，解答也非常言简意赅。这样的解答，对于当时的我来说简直是天书。
那时候，距离考试只有3个月时间了，我下定决心要苦攻这本书。本来，小学时我每天晚上和父母看会儿电视就早早睡下。买了这本书后，我就让父亲在楼上支了张竹床。这样，每天晚饭后我就可以一个人对着这本习题册钻研三四个小时。
一开始做这种题，慢得跟蜗牛无异。不会做，我只能慢慢去尝试，从简单到复杂，从特殊到一般。有时一个晚上，我也只能琢磨出三四道题。但慢慢地，大概过了一个多月，随着琢磨时间的积累，我的能力逐渐提上去了，做题速度在加快，信心在增强，遇到问题也不再发蒙，一个晚上差不多能搞定半套卷子，大概十几道题。3个月后，到了县里中学特招考试前，我差不多把那本习题册刷了一大半，虽然有些问题仍没搞明白。
《X+Y》剧照
现在回看，这3个月的经历，对我后续的学习乃至工作方式都产生了深远影响。我将之称为“没有葫芦就画瓢”的奥数启蒙，就像一个小孩子不会游泳就被直接扔进湖里，没有救生员，没有游泳圈，唯有求生的本能，迫使他去不断挣扎着冒出水面扑腾。这种扑腾可能没有优美的泳姿，却更加实用。
由于我做那本书里的题没有任何例题可循，这种纯粹靠尝试和在错误中总结纠正的做法，实实在在地提升了自己解决未知问题的能力——如果不会，就从简单开始、从特殊开始、从错误开始，不断地归纳总结，螺旋式上升，这是我自那时起总结出的解决未知问题最行之有效的方法。
同时，习惯了解决没有见过的题型，给我带来了一个意想不到的效应：碰到没见过的题型，我不会慌，也不会害怕。在1996年的那场小升初入学选拔考试中，出现了许多我从没见过的题型，但好在当时经过3个月训练，我练出了一定能力。对我来说，题型没见过已是常态。我清晰地记得，当时考卷中的等差数列求和问题，我是从来没见过的——田园时代的奥数就是这么质朴。我硬是依靠尝试和总结，在考场上解决了这个问题。
最终，在那场入学选拔考试中，我考了全县第一名。
“想”的过程
直到拿到了武进县的第一名，我才发现自己在数学方面还是有一点擅长的。进入县重点中学后，我就读于初高中直升班（一共5年），开始参加老师组织的数学兴趣小组。
我们那个年代学奥数纯粹是兴趣使然，老师组织兴趣班，数学成绩不错且对数学感兴趣的同学可自愿加入，大家都带着兴趣，不喜欢的同学也不会加入。最早接触奥数时，我虽然觉得有一点难，但还是很享受。我喜欢挑战，很享受那种苦苦思索后攻克一道题目带来的成就感和愉悦感。周围的同学大部分也是这种态度。也有家长要求让小孩参加兴趣班的，但当时还比较少。
插图：朱麒
学校配备了两名数学老师给兴趣小组。一名教代数，一名教几何，都是专业过硬同时又非常有耐心的老教师。平面几何老师是退休返聘的特级教师，治学严谨。我印象最深的是，他所有的几何图都是严格地在黑板上一步步做出来，这一点对我的几何解题影响比较深远，后来不管遇上什么几何题，我第一步就是要把图先自己做一遍。初一暑假，我第一次参加了在黄山举办的数学夏令营活动，在那里聆听了包括李尚志、严镇军等名师的讲学。
学奥数，名师点拨固然重要，但更重要的还是自己的钻研学习，要能静得下心、耐得住性子，去想，去思考。如果一道难题不愿思考上半个小时乃至一个小时，那是学不好奥数的。这一点上，我非常赞同美国奥数竞赛队总教练罗博深教授所说的，数学课不是教解题方法，而是要让学生通过思考，去学会思考，学会想，了解到“想”的力量。重要的不是记住那些数学公式和做题快慢，重要的是“想”的过程。
《为人师表》剧照
奥数只是更难一点的数学题，和普通课堂上的数学并没有特别的明确界限。奥数这类题其实非常考察大家的阅读理解能力、解决问题的能力、创造能力，特别是能训练我们“观察、发现、猜想、论证”这一理性思维的解决问题范式。事实上，这才是数学教育本身应该承担的职责，现在的某些数学教学和考试把数学变成记忆力和准确度的大比拼，是有悖于数学教育初衷的。
就这样，我在奥数竞赛的兴趣小组中一直待了下来，逐渐对奥数和持续地“想”有了浓厚兴趣。我开始参加奥数竞赛，当时主要钻研的是单墫老师写的三本蓝色封皮的初中数学竞赛书，我基本把里面的题目都吃透了。整个初中时期，我先后参加过希望杯、县数学竞赛等数学比赛，希望杯拿到二等奖，县数学竞赛是第一名，后来全国初中数学联赛参加过两次，第一次二等奖，第二次一等奖。拿到这些奖项后，我升入高中，继续学习奥数。
《叫我第一名》剧照
从初中到高中，本质的方法和思维没有太多差别，只是高中奥数更抽象一点，这也是高中数学内容所决定的。到了高中后，我把奥数作为一项主业来抓，它与高考并不矛盾，至少对数学和物理学科的高考是有帮助的。当然，数学竞赛是件花时间的事，势必会压缩其他学科的时间，因此要学会利用时间、善于分配时间，提升单位时间的效率，每天花多少时间做数学题，花多少时间在其他学科的作业上，都得有所规划。长远来看，时间规划能力和效率观念的提升对日后的学习和工作帮助非常大。
去参加全国联赛之前，我参加过希望杯和江苏省数学竞赛，都拿到一等奖，希望杯高二组还拿了满分。我们当时的高中数学老师也是一名数学特级教师和奥数优秀教练，他最大的特点是上课时常会即兴讲一道题，从头开始尝试，把整个解题的过程完整地呈现给我们，这期间“走弯路”是常有的事，但正是这种抽丝剥茧的教学方法对我的影响最大，切切实实地提升了我的思维能力。我现在认为，一名优秀的数学老师并不是要教给学生最巧妙的解法，而是要给学生完整地展现整个思考过程。前者会让学生对数学产生畏惧感，觉得那些巧妙的解法遥不可及，后者才会让学生觉得，原来这些优美的解法自己通过努力也是可以触摸得到的。
2005年6月22日，香港喇沙书院的部分4～6年级孩子，这些孩子尤为擅长数学
高三那年，我拿到江苏赛区第一名，也有些偶然。我记得当时的最后一题我思考了20多分钟都没有太好的思路，我还看了下表，离考试结束只剩下7分钟，最后一题我还一字未写。但长期的奥数训练让我养成了一种不轻言放弃的品格，在持续的思考中，我在最后一刻找到了解题方法，在5分钟内以最快速度把整个过程的主要思路和答案写了下来。从这点来讲，奥数比赛与任何比赛都很相似，不到最后一刻永不言弃。如果没有那份执念，别说第一名，连一等奖也是够不着的。
拿到了江苏赛区第一名后，接着就是全国奥数竞赛冬令营的选拔考试。全国一共只有120名学生代表各个省份参加最后的角逐，我记得拍集体照的时候，站在我身边的是一名重庆石室中学的初三学生，个子比我还要矮上一大截。最后，他入围了全国前20名，我没有。那时候，我真正明白了一个道理：天外有天，人外有人。
“套路”的背后
高考时，我拿到了数学满分。这个成绩是在自己意料之中的，因为平时学校的模拟测试中，我的分数基本都在148分以上。参加奥数竞赛对高考数学的帮助肯定是巨大的。经过了奥数的思维训练，应付高考数学的大题会比较轻松一点。当然，要获得满分并不容易，还有一些其他因素的影响，特别是细致和答题的规范性。
大学时我选择了计算机专业，一方面是因为当时正值互联网第一次热潮，计算机学科很火，另一方面也因为计算机本身与数学密切相关。大学期间基本就不接触奥数了，但奥数的经历对计算机领域的数学学习是有帮助的。从知识点的角度，奥数里学的计数、数论、图论等都是计算机“离散数学”这门专业课的核心内容。从思维的角度，在奥数学习过程中形成的“观察、发现、猜想、论证”这一理性思维的范式，对学习和研究的帮助更大。
《美丽心灵》剧照
博士毕业后，我成为一名211高校的计算机专业教师（后调入海南师范大学），也有了自己的家庭和孩子。这个过程中，我发现市面上有关数学和奥数竞赛的培训与宣传多了起来。大概6年前，课外培训很是疯狂，我的一位高中同学在朋友圈晒出了自家孩子学等差数列的照片，他家孩子上二年级，他发文说“就不信孩子记不住等差数列的公式”，后来还有一个朋友晒和差问题的口诀。那会儿，我开始意识到，我们的课外数学培训可能出了问题——在我看来，那不是正确的数学学习之路。
我希望能给大众普及我认为正确的数学学习方法，所以就开设公号“昍爸说数学与计算思维”，做一些数学教育和数理思维的普及，昍是我儿子的名字。数学公号很难做，没几个人愿意看数学题。有一句话是这么说的：多一个公式，就会少一半读者。即便如此，我还是坚持做了下来，也吸引了不少家长过来，大部分是小学家长。一些家长会上来就问我，“我的孩子课内数学95分以上，适合学奥数吗”“现在有哪些比赛可以参加”“学奥数需要提前学吗”这类问题。
一名中国教师在网上教数学
我发现，其实很多家长让孩子学奥数还是抱着比较功利的心态，对待奥数竞赛的态度大致有两种：一是希望通过奥数比赛，让孩子获得升学资格或为孩子的简历添砖加瓦；二是抱着“别人学了，我们也得学，否则就会落后”的心态。真正是孩子有兴趣学奥数的，家长反而不用过多地介入和参与。
我感觉，现在家长的很多看法，是被社会上一些不了解奥数的自媒体或怀有某种目的的机构宣传所左右了。他们会强调奥数是天才的学科、奥数学好了才是天才，很大程度上造成了家长的焦虑。确实，并非所有人都适合学奥数，但奥数并非高不可攀。奥数本身并非一门单独学科，它和我们的课内数学并没有明确界限，只是课内数学的衍生和思维层面的拔高。在奥数解题中所用到的思维和推理方式，比如类比推理、归纳推理、对称思维、整体思维、极限思维等，都与我们的生活密切相关。奥数里训练的这些思维方式，能让我们在生活中更有条理、更理性、更具思辨能力。虽说现在很多学科都可以培养孩子的思维能力，但无疑，数学依然是最好的思维体操。
我举个计数的例子，有这么个题目：比特串是指由数字0和1组成的字符串。请问，在长度为10的所有比特串中，不包含连续两个1的比特串有多少个？（见上表。）
这道题很多人一开始会觉得没有思路，但如果我们按照长度从小到大尝试一下，就会发现符合要求的比特串数量满足斐波那契数列的特征，自然就有了解题思路。这就是归纳推理遵循的“观察、发现、猜想、论证”范式。事实上，归纳并非什么高大上的东西，在我们的日常生活中都会使用。比如，买水果的时候，我们都会先试吃一下，吃了觉得好才会购买，这就是一种归纳思维。
所以我想强调的是，在某种程度上，奥数之前是被市场给妖魔化了，一些培训和宣传会把奥数竞赛带偏。有时候我讲的一些东西，家长甚至会称之为“浅奥”，觉得不够难。但我认为，有一些题目是不能算作奥数的：（1）知识的下移不能算，比如把高中的排列组合公式下放到小学；（2）脑筋急转弯式的题目不能算，比如这样的找规律题：6，2，8，2，10，_；（3）套用各种模型和公式去解决一些定制化的问题；（4）非要用复杂的逆向思考去解决用中学知识易于解决的应用题，也大可不必。
《美丽心灵》剧照
现在还有一些培训机构和教材，特别讲究套路。一个曾在培训机构学数学的孩子跟我说，虽然例题听得懵懵懂懂，但不妨碍她“依葫芦画瓢”，把老师布置的作业做出来。不少孩子解题的列式和答案对了，却讲不出所以然。这是因为按照教材所给的例题模式去套，就能把题目给解了，但例题背后的东西，孩子其实没有真的理解。
这或许是某些家长乐于见到的：没听懂也能做题，这不“香”吗？但这却是真正让我害怕的地方。孩子会做了，就算掌握了，但他们做题时已经先入为主用了例题的思路。在这个过程中，思路或多或少会被固化，创造性被剥夺了。现在很多知识点和模式只是为了解决量身定做的问题而提出。比如小学奥数里的很多模型，鸟头模型、共角模型、蝴蝶模型等。课堂教这些模型，可以用于解决一些定制的问题，但这些模型本身的证明，孩子并未掌握。而恰恰是这些模型背后的原理，才是精髓所在。
《心灵捕手》剧照
这一点可能是我们当下的数学教育中所欠缺的，讲究套路，而不重视探索和“想”，最后纯粹变成了比谁见过的套路多。这种快餐式教学法还有一个不良的后果：孩子遇到见过的题型做得飞快，但一旦碰到没见过的题型，就会本能地心生畏惧，提前放弃。其实，学好数学必须要有一股挑战难题的韧劲。如果不经常花一两个小时或更长的时间去持续思考，去“啃”一道难题、消化难题，那数学是很难学好的，即便一段时间考了高分，往往也是昙花一现。这就是“慢即是快”的道理。
《原本》的作者欧几里得曾说过，“几何无王者之道”，这点我非常赞同。包括几何在内，所有数学学习都没有捷径可循，需要长久地钻研与思考，去“想”。数学问题是千变万化的，只有修炼好内功，才能以不变应万变。
（本文源自三联数字刊2022年第32期）
排版：雨筠/ 审核：小风
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