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马立平对石小川评论的回应
作者:马立平2022年7月所有发表于本公众号的马立平的文章均经作者授权)
石小川评论:影响了乘法算理?我觉得以前对于乘法算理的理解太偏于算法了,就会导致作者想要强调“乘数”和“被乘数”。
马立平回应:本文讨论的“被乘数×乘数=积” 或其亲民版“每份数×份数=总数”,是小学数学算理体系里乘法的概念或含义,不是算法。这一概念从加法概念里导出来,又可以支持体系里除法、分数乘法和分数除法概念。这些互相关联的概念都是学生进一步分析数量关系的重要思维工具。而您下面提到的例子,才恰恰是乘法算法。算法的多样性当然很有趣,但是它们对于进一步帮助学生掌握分析数量关系的工具,作用很有限。下面我们可稍稍展开一下“多样性”算法的例子。当然,讨论乘法算法时,“被乘数”、“乘数” 这两个术语也是很有用的。
石小川评论:实际上现在强调算法的多样性,乘法算理可以通过“数形结合”的方式来阐明,比如25×13,用点子图、格子图、长方形面积 都可以表示出20×13+5×13或者10×25+3×25,甚至还可以表示成20×10+20×3+5×10+5×3。这在各国乘法发展历史,包括我国古代算筹计算里都有提及。
马立平回应:看,您这里说的是算法,并不是本文讨论的乘法概念。乘法算法确有多样性,但是万变不离其宗,都必须遵循算理体系中的以下三条原则:1)乘法对加法的分配律;2)只有相同单位(或同位值)的数字才能相加,即同单位律;3)任何数位上的单位数不能超过9(逢十进一),即阿拉伯数字计数法则。以下列出您提到的例子类别:
例一 面积模式或区域模式 (Area model,用点子取代方格,即为“点子图”)
15×15 ,每行15格,15行。排列后,学生可以看到各数位相乘的积,数出各有多少方格,然后显示每个区域所含方格数,相加。
这样演示的优点是“看得清”,缺点是无法处理大数,而且产生四个部分积,和标准运算法则的两个部分积不吻合。
例二 方格模式(Grid model
方格模式从区域模式演化而来,也有人认为可以归入区域模式:

这个模式可处理大数,缺点是不得不忽略数和线段及形的比例,如上图中
703的长度比例显然是不对的,460也是不对的,所以,区域面积和数字也是不成比例的,称之为区域模式略显牵强。好处是更加简洁,且可以得出两个和标准法则中相应的两个部分积。以上两例,“在各国乘法发展历史,包括我国古代算筹计算里”并无提及。您如有相关资料,还望不吝赐教,笔者当感激不尽。以下两例和古代算法有关。
例三 斜格模式(Lattice multiplication, 中国古代称“写算”或“铺地锦”)
画出若干方格,并在格子中间划出对角线,把被乘数和乘数分别写在方框上方和右边,每个数位上的数占一个方格的一条边。然后各个数位相乘,得数写在斜线两边。乘完成后,每条斜线一侧的数字相加,如果超过9,进1到上一条斜线左侧。把框外数字从上到下再从左到右写出,便是积。
据说历史上不少民族都有这种算法,对位方便,不容易出错。这种方法可以开阔学生的眼界,注意到对位的重要性,缺点是不容易看出部分积。
以上三种算法都很有意思,对标准法则的学习和理解都可能起锦上添花的作用。但是,都决不能取代标准法则。
例四 算筹乘法运算
您所提到中国古代算筹的乘法运算,同样离不开之前提到的三个原则,可算是万变之一吧。古代算学书里介绍算筹乘法,强调数位对齐就是遵循同单位律。我们可以看一下4936相乘的算筹运算,运算过程是从网上截的图,红色的算筹代表最近一步运算产生的变化,红色箭头代表下一步。我在旁边加了一些说明,希望能方便读者。读者如果不知道算筹如何表现数字,可以上网查一下。

算筹的乘法运算方法很巧妙,有条件的情况下让学生了解一下当然会有裨益。
从以上四类乘法算法多样性的例子可以看出,它们都和逆运算除法、整数乘法含义在分数里的扩展,以及分数除法的含义毫无关系。
石小川评论:这样的算理理解和算法丰富性,要远胜于作者所说的 “被乘数”“乘数”,更利于学生去探究理解,而不是通过 “被乘数”“乘数”这样需要文字逻辑推理,更适合小学生的认知水平。
马立平回应:您说的和本文讨论的显然不是一回事。您说的是乘法算法的多样性,本文讨论的是乘法概念的准确性。
石小川评论:ps.标题越耸人听闻,往往越偏激。
马立平回应:此条恕不予回应。
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