转自：FudanLogic
如涉版权请加编辑微信iwish89联系
哲学园鸣
编者按：大基数与选择公理深邃而美妙，越向其中了解，就会越来越步入无穷深处。上一期文章是不是意犹未尽？不用担心，本期将继续为大家带来大基数与选择公理的相关介绍，让我们跟随作者的步伐，逐渐走向无穷深处。
TO THE  INFINITY  
集合论的基本概念告诉我们，基数指的是一些特别的序数，满足。例如，是基数，但不是基数，因为我们能找到一个到的一一对应。同时，我们能证明，对任意的基数，总能找到比它更大的基数。据此，我们将第一个无穷基数称为，紧随其后的那个无穷基数称为，并以此类推，将极限步的那些无穷基数称为极限基数。大基数的故事正是从这里开始。
大基数的层级
1
无穷有多大
大基数，顾名思义，它是很大的基数。它有多大呢？比那些物理学中的天文数字还要大得多！从集合论的角度看，所谓天文数字，都很小很小。这是因为，这些天文数字都只是有穷的。而ZFC的一条公理：无穷公理，它保证了无穷集合的存在。

观察最自然的无穷基数：自然数集的基数，它有两个特点。第一，任何自然数，指数运算也永远只是一个自然数，不能达到；第二，如果我们用一组小于的逼近，无论怎么逼近，这一组数即便加起来也还是到不了。我们将第一个性质总结为“强极限的”，第二个性质总结为“正则的”。数学家豪斯道夫问：除了之外，是否存在强极限的、正则的极限基数？
令人感到惊奇的是，我们竟然不能在ZFC中证明存在这样的基数。不仅如此，假设真存在这样的基数，那么它将非常大：若，则。
故事到这里并未戛然而止，还有许多问题等待回答。比如，不可达基数为什么有这么奇怪的现象？为什么满足两个不起眼的小小性质，就让它变得如此巨大？为什么它居然比ZFC还“强”？也许，不可达基数只是一个仿造生搬硬套而“造出”的对象；也许，它压根就不存在；也许，它只存在于我们的想象中？
但紧接着出现的多种大基数或大基数性质就不再那么好糊弄了。组合学中，Ramsey定理说的是成立。即，将自然数按前大后小做两两排列，得到
这样一个集合，再给这个集合之中的元素涂上红色或者蓝色，则我们定能找到一个无穷自然数集，上的两两排列必在上述操作中被染成了同一种颜色。此时，我们可以对Ramsey定理做出两个自然的推广：
  1. 是否存在基数，使得小于那些数的两排列、三排列、四排列……全放在一起，再做二染色，依然能得到一个“大小”为的集合，上任意排列全都被染成一个颜色？即是否存在，使得？
  2. 是否有其他无穷基数满足？
此两种情况下，竟然都必为不可达基数，且都比不可达基数更强。例如，第二种情况时，等价于是不可达基数且具有树性质，这样的需要满足的必要条件是：它必须是第个不可达基数。但这个条件并不充分，即第个不可达基数并不一定满足。此外，它还等价于其它一些数学现象的自然推广，例如等价于无穷语言上的弱紧致性。如果说不可达基数是一种假象，那么为什么数学中处处是这样相互勾连的假象呢？
其它数学分支中一些问题的自然推广也引向大基数。例如，我们发现集合上的测度自然对应着一个完全的非主超滤，即上余有穷集测度为，有穷集测度为，将这个测度扩展到自然数的所有子集，则这些测度为的集合相交可数多次后依然测度为。对此做一个自然的推广：不可数的上存在完全的非主超滤，则发现是比弱紧基数更强的大基数；可测基数。
ZFC不能证明存在这些大基数，并且，不仅它们来源于各个数学分支，而且它们之间的“大小”、“强弱”关系竟是能相互比较的。这到底该如何解释呢？
2
寻找秩序
现在我们转向另一个看似毫不相干的故事。哥德尔引入了可构成集的类，它从空集出发，沿着序数逐层向上定义每一层，其每层的元素都是利用下面一层中的元素定义出来的。由于可以清楚地知道之中每个元素的来龙去脉，因此以作为数学问题发生的宇宙，其中的数学问题总是容易知道确定的答案。例如，之中有一个全体元素的良序，之中连续统假设成立。并且，认为，自己就是完整的集合宇宙，即。
 结构清晰，并且并不会产生新的矛盾，这是否意味着的确就是？哥德尔认为，要成为真正的集合宇宙，必须与大基数相容。Woodin认为，是错的，PD比它更好，不过这又是另外的故事了。总而言之，一些数学家，特别是持有实在论观点的数学家认为，结构清晰，这很好，但它需要容纳大基数。
但是，人们很快就发现，只包含很小一部分大基数。这让大基数和看似毫不相干的可构成集发生了联系。例如：
定理2.1. (Scott) 若存在可测基数，则。
因此，一部分数学家开启了内模型计划，即寻找既有大基数、又类似的模型。
如何寻找这样的模型？一种方法是令为上完全的非主超滤，从出发，构造相对可定义集合的类。这样一来，就是中的可测基数。但这种方法每次只能加进一个可测基数，这种方法实在是吃力不讨好。幸运的是，Woodin观察到，若能有一个满足某些性质的“超紧基数的弱扩张子模型”，则容纳现有已知的所有大基数。
到哪里去找这个弱扩张子模型呢？也许哥德尔曾经设想的HOD是一个可能选项。HOD类似，但不像只允许使用上一层的对象作为参数，HOD允许我们定义集合的时候使用序数作为参数，并且只需要定义每个集合时所使用的那些“基本的元素”是使用序数可定义出的即可。更重要的是，Woodin发现，HOD有一个非常类似的性质：二歧性。
HOD定义（Woodin HOD二歧性讲义，2017）
二歧性的故事要从不在中的大基数说起。前面我们说到，可测基数不在中。事实上，比其更弱的一些大基数也不在中。从Ramsey基数出发，Silver发现，若存在Ramsey基数，那么则存在一个包含所有不可数基数的序数集，使得对任意不可数基数，我们无法从辨别中的那些元素，即它是一个不可辨元集。利用这个，可以证明一个特殊的良基集存在，且其若存在，则其中的元素解码出的公式必满足。因此，Ramsey基数存在，则必有非空且满足两个特殊性质(良基性与remarkableness)。这个集合可以被转换成一个可数结构，使得的所有信息都可以被编码进去。我们将这个集合称为。Kunen证明了，若存在，则。
由于存在蕴涵着这个包含所有不可数基数的不可辨元集的存在，因此中的不可数基数对来说全都不可分辨，这就意味着中任意一个不可数基数在看来既像正则基数，又像极限基数。因此中所有不可数基数在看来都既是正则的，又是极限基数，即中所有的不可数基数都突然变成了不可达的，也就是全都变成了大基数！这说明，不仅使得不可能是，而且还使得和的差别非常大。
进一步，Jensen发现，通过还可以观察到的一些非常特殊的性质，即覆盖定理：
定理2.2. (Jensen覆盖定理) 若不存在，则每一不可数的序数集都能被一个可构成集覆盖。即存在可构成集使得且。
这条定理的推论是，若不存在，那么每个奇异基数在中也是奇异的；并且，这些奇异基数的后继也正是中奇异基数的后继。这表明，不存在时，中的很多事实就是中的事实。
Woodin将上述现象总结为具有的二歧性，即：或者和差别非常大(存在)，或者和差别非常小(不存在)。如果我们相信中应该有大基数，那么和将天差地别。Woodin证明了，HOD具有类似的二歧性：
定理2.3. (HOD二歧性定理) 设是可扩张基数，则以下两种情况必有一种成立：
  1. 若在中是奇异的，则在HOD中也是奇异的。并且；
  2. 所有大于的正则基数在HOD中都是强的。
这与的情况何其相似！也就是说，或者HOD离很近，或者HOD离很远。
在那里，我们能以大基数为媒介，断言一定离很远，那在HOD这里呢？它到底非常接近，还是离非常远？
3
路在何方
前面讲到，我们在寻找包含超紧基数的内模型，使其是满足一些特别性质的“弱扩张子模型”。如果HOD很接近真实的，那么它应该包含所有我们期待的大基数，因此很可能是我们渴望的那个弱扩张子模型。Woodin猜想，HOD一定不可能离很远，这就是HOD猜想。果不其然，他证明了HOD猜想与“HOD是是超紧基数的弱扩张子模型”等价。Woodin坚信，HOD离很近，因此提出了终极猜想，这个猜想需要构造一个满足一定条件的弱扩张子模型，一旦这个猜想成立，那么就是HOD。
那么，是否有可能HOD离很远呢？这就是本次暑期课程：选择公理之上的大基数，所涉及的内容了。
继续阅读
阅读原文
关键词
数学
哥德尔
就是
元素
大基数