统计学是物理学、生物学和社会科学等许多学科的融合产物。粗略来讲,统计学是使用概率模型和随机变量的方法分析数据的理论和实践的科学。统计学史上有名的人物包括 Bernoulli, Laplace, Gauss, Boltzman, Mendel, Quetelet 等。现代数理统计理论的基础主要是在二十世纪由 R. A. Fisher , J. Neyman 和 A. Wald 奠定的。这些创始人和其他奠基者的思想产生了一幅稍显混沌但振奋人心的画面,如 H. Jeffreys 和 L. J. Savage 以各种方式复兴的贝叶斯方法。如何将这些想法系统化,从而使研究者可以快速接受?这是下一代人的责任了,这种系统化正是 Erich L. Lehmann 的伟大成就。他于1959年首次出版的两本书 Testing Statistical Hypoth­eses (TSH) 和1983年首次出版的 Theory of Point Estimation (TPE) 是世界上大部分地区几代学生统计学基本研究生教材。后来随着 Lehmann 自己的进一步研究,也随着统计学在稳健性和半参数统计等新领域的发展,这两本书的内容更加丰富。除了 Lehmann 自己的成就,他的学生也对此在统计学界卓有贡献,这方面内容我们将在后面讨论。Lehmann 吸引了更年轻的合作者丰富他的著作的后期版本,如 G. Casella 对 TPE1 的改进和 J. Romano 对 TSH2 的完善。这些书与时俱进,而基本的结构和风格仍然是 Lehmann 独有的。
我们现在来谈谈他的生活。他在他的回忆录 Reminiscences of a Statis­tician: The Company I Kept 中,通过与统计学创始人,开创性人物以及其他同事的互动,展示了他一生中统计学的发展。这本回忆录发表于2008年,就在他去世前一年3
Lehmann 于1917年11月20日出生在阿尔萨斯-洛林的斯特拉斯堡。他的父亲在第一次世界大战期间是德国军队的一名军官。他的家族是犹太人后裔,自中世纪以来一直住在法兰克福。1933年希特勒在德国掌权时,他们从法兰克福逃到瑞士苏黎世。Lehmann 在苏黎世完成了高中学业。就像当时乃至当今很多其他学者一样,他以一种迂回的方式来到了统计领域。Lehmann 的第一个爱好是德语,他希望在苏黎世大学学习。他的父亲向他指出,在希特勒掌权的情况下,他成为德语学者的机会渺茫;Lehmann 对数学也很感兴趣,而且数学能够提供更好的就业机会,虽然数学只是他的第二个爱好,但他很有天赋,例如他在高中就发现了(但不是证明)费马小定理。是运气,也是深思熟虑后的决定,他逃离了这个欧洲第二次世界大战初期的大熔炉,最终来到了美国。一开始,Lehmann 在英国剑桥大学的学习本科数学,但他并不喜欢数学物理。他出生在斯特拉斯堡,这对他来说是非常幸运的事,因为他可以用希滕斯坦(Lichtenstein)签发的护照进入美国,后来很快法国就没了这种护照配额。1941年时,尽管没有本科学位,他还是在加州大学伯克利分校(University of California, Berkeley)攻读数学专业的研究生。在那里,他又一次在“初恋”纯数学,尤其是数理逻辑和以统计形式出现的应用数学之间左右为难。而实际上他并没有很喜欢后者,正如他在接受 M. H. DeGroot 采访时所说:1
当我想摆脱统计学时,我不喜欢的是统计学的应用风格。统计学是一种与现实世界的联系,而不是一种理想的抽象东西。我总是觉得我所拥有的能力更多在抽象方面。但奇怪的是,这些年来,我开始喜欢统计的应用方面。我喜欢考虑与实际情况相关的统计数据,而不是完全抽象的。因此,我在统计学方生涯的工作实际上比我期望的要好。我想你会发现,在我们这一代人中,每个人都以一种特殊的方式接触统计,因为这个学科并不真实存在。
在第二次世界大战开始时,考虑到一些现实因素,Lehmann 成为了 Jerzy Neyman 的学生。Jerzy Neyman 不仅是现代统计学的创始人之一,也是数学系中统计学组的创始人,后来又是统计系的创始人。在关岛当了一段时间航空摄影分析员后,Lehmann 于1945年回到伯克利,1947年获得数学博士学位后加入数学系。当他还是一名学生时,他就介绍了一个后来在 1947 年出现的基本思想5,这是决策过程中最小完备类的概念,这后来成为 Abraham Wald 研究理论的核心。与此同时,他开始了标志其职业生涯的合作研究之一,这次是与时任来访的古根海姆研究员的 Henry Scheffé 合作。早在1947年他们就在 Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS) 上发表了一篇论文,但他们后来在1950年发表的论文中更充分地展现了他们的工作。他们用充分统计量的完备性,将先前观察到的不同现象统一了起来。这些作品已经表明,Lehmann 把他的抽象天赋带到了统计学中。与 Scheffé 的合作也体现出 Lehmann 非常热爱与他人合作。这种对合作的热爱表现在许多重要文章以及他指导的优秀博士论文中(43篇)。进一步讨论他的主要研究贡献之后,我们还会谈回这个话题。1947年到1959年,Lehmann 专注于建立他对 Wald 决策理论以及更为经典的 Neyman(或者在某种程度上,Fisher)检验及置信域的综合观点。
除了我们提到的与 Scheffé 的合作外,Lehmann 在1948年至1953年期间,Lehmann 自己的研究以及和 Charles Stein 合作研究中都发展了复合假设的检验技术8。他们提出一种非常普遍的方法进行检验,这样的检验在很多广为接受的准则下都是最优的。他们后来将该方法应用于许多重要的场景,一些结果符合预期,而另一些结果令人吃惊。他们在接下来的一项主要研究中9第一次开始使用一个强大的概念,即统计问题变换下的不变性。他们还开发了一个框架,在该框架下他们首次建立了 Fisher 置换检验(permutation tests)与 Neyman 和 Wald 的最优性原则之间的联系。此外,他还了解到 Stein 与 G. Hunt 在极小极大性(minimaxity)和不变性(invariance)方面未发表的著作。Lehmann 在1959年和1983年出版的书中,都展示了这个框架如何统一理解检验与估计这两大统计问题。
J. L. Hodges Jr. 是 Lehmann 一生中的主要合作者。在1944年,也就是二战期间,Hodges 和 Lehmann 在关岛的一个操作分析小组共事。1947年,也就是 Lehmann 获得教职的同一年,Hodges 作为学生来到伯克利大学数学系,并于1949年获得博士学位。Lehmann 将他们的合作关系描述为一对互补的思考者。Lehmann 把 Hodges 描述为一位“问题解决者”,而他认为自己是一位“系统建设者”。他们首先专注于当时统计的另一个主要领域,即点估计,并很快做出了卓越的贡献。他们通过一个微分不等式意外发现正态样本的均值是总体均值的可容许估计。此处的可容许性意味着总体均值的任意估计值的均方误差都大于样本均值,并且对于一些数值,这个不等关系是严格的。这是意料之中的,但在 Lehmann 和 Hodges 发现这种方法和 Lehmann 的博士生 Colin Blyth 提出与此平行但完全不同的论点之前,没有证据可以证明这一结果。这些论点后来间接地启发了 Stein 著名的结果,即可容许性性仅对1维或2维正态样本有效,而对3维以上的正态样本失效。反过来,这就产生了过程规范化的思想,它在当今高维统计问题中仍然发挥着关键性作用。另一篇文章通过构造例子说明了 Wald 极小极大观点的不足12,还有一个看似纯技术性的结果在概念上对当前的基本随机梯度下降算法起到了重要作用13。他们在另一个合作研究中,开始从概念上探索贝叶斯学派观点和频率学派观点之间的折衷14。除此之外,两篇关于检验和多重比较方向的论文标志着他们完成了最初阶段的合作15, 16。在新的阶段,他们的合作和 Lehmann 学术兴趣都转向对非参数方法的深入分析17
“非参数”一词在20世纪50年代开始广泛使用。它指的是与我们从分布完全未知的总体中观察到一个或多个样本的情况使用到的模型。Fisher 和其他统计学家曾在不经意间讨论过这些模型。非参数统计模型的早期工作由 Kolmogorov, Smirnov, Pitman, Wilcoxon, Mann, Whitney 和 Hoeffding 等人完成。
其中最令人感兴趣的是两个样本是否来自同一总体的假设检验问题。可以构造检验,使得I型错误,即在原假设为真的情况下拒绝原假设的概率不依赖于抽取样本的未知的总体分布。这种检验被称为非参数检验。
到了20世纪50年代中期,Hodges 和 Lehmann 开始专注于研究非参数检验的势。事实上,Hodges 和 Lehmann 研究的正是现在所谓的“半参数模型”。我们下面以双样本模型为例,双样本模型规定一个总体中的样本分布是通过另一个总体的样本分布通过未知但恒定的变换得到的。Hodges 和 Lehmann 对此的研究重点是统计检验,检验两组样本对应两个总体的偏移量为零的原假设是否正确,换句话说,检验两组样本是否来自同一总体。他们要解决的问题是,当给定不符合原假设的模型和一个非参数检验方法,拒绝原假设的概率有多大?Hodges 和 Lehmann 就是用我们提到的双样本模型研究的。例如,当比较两种治疗(其中一种可能是安慰剂)时,这种模型可能是合适的。对于来自两个总体的样本,可以使用来自两组样本响应变量的联合秩进行非参数检验。其中一种是 Wilcoxon 检验,该检验用的是一组样本的秩和。在1956年的论文中17,Hodges 和 Lehmann 用 Pitman 效率(达到相同势所需的样本量之比)的概念研究了该 Wilcoxon 检验渐近势的性质,借此还比较了 Wilcoxon 检验和被广泛使用的 检验的势,当两个总体都为正态分布时, 检验是最优的。令人惊讶的是,他们发现,对于大样本量,尽管秩本身无法表现出每个样本的全部信息,但当总体为正态分布时,秩检验效率高达 0.955。此外,若去除正态性假设,对于任意总体,秩检验效率下限为 0.864,真实效率可以更高。这一结果表明秩检验有很多优点,信息损失与此相比微乎其微。在文章中 Hodges 和 Lehmann 推测,如果在原假设下将秩通过变换近似为正态分布(称为正态分数),则检验的效率的下界将为1,并且对于除正态分布以外的所有分布,检验效率的下界都将大于1。1958年,Chernoff 和 Savage 证实了这一推测。秩检验的高效性一经发现,引燃了持续了几十年的研究热潮,一开始是 Hodges 和 Lehmann 主导,很多的研究者相继而至。Hodges 和 Lehmann 后来在1956年的实验结果被证明适用于许多双样本问题和相应的秩检验,甚至可以扩展到双样本之外的许多其他场景。
Hodges 和 Lehmann 对估计和置信域的构建过程也做了很多重要的拓展。1963年,他们提出了一种非常新颖的方法,基于两样本问题中针对偏移参数秩检验统计量,构造了置信区间的估计方程18。他们发现,秩检验的 Pitman 效率在估计中可通过渐近均方误差的比进行测量。特别地,常规的得分(score)统计量估计的效率下界为1。基于 Wilcoxon 统计量的估计,也就是Hodges-Lehmann 估计,具有简单直观的形式。1963年,Lehmann 将这些结果推广到置信度检验,并在一系列论文中系统地将其推广到线性模型19-22。包括 Lehmann 的学生在内,许多研究者已经将这些基本思想和结果扩展到更一般的框架中。Hettmansperger 和 McKean 在2010年出版的书 Robust Nonparametric Statistical Methods23 涵盖了 Hodges-Lehmann 基本思想的许多扩展内容,其中包括 Jureckova 的文章24、25
Hodges 和 Lehmann 的研究仍然继续。1970年,他们在一些案例中注意到了一个惊人的现象,对于两总体方差相同且已知情况下的 检验和 检验,在 检验假设条件下,不仅 Pitman 效率为1,而且达到相同势所需的样本量之也是有界的。26 Hodges 和 Lehmann 建议结合秩检验和相关估计来研究这种现象。这项研究是在19781年由 Bickel 和 van Zwet 完成的27
1966年, Lehmann 发表了一篇非常有影响力的论文,文章论述了独立性以及随机变量分布之间的两两顺序关系28。从1974年开始,这个想法逐渐成为了非参数统计框架中刻画总体基本特征的一般理论的基本元素。例如,在 Lehmann 和 Bickel 的合作研究中,他将均值和中位数所共有的属性抽象为总体中心的度量29。一个惊人的结果是,当边浪有界且给定概率时,对应的置信区间能够包含 Lehmann 提取的总体中心的所有度量取值30。Lehmann 曾评价自己为一名“系统建设者”,他也确实是这么做的。在1975年,他出版了一本很棒的书, Nonparametrics: Statistical Methods Based on Ranks31概括了他和 Hodegs 的研究以及其他人在非参数统计蓬勃发展中做出的工作。在20世纪70年代末,他又开始研究多重比较,这是他早年间曾与 Hodegs 短暂合作过的领域。Lehmann 和他的妻子 Julie Shaffer (也是一位统计学家)共同进行这项研究32。在某种程度上,Lehmann 研究方向的回归反应出了大数据时代统计学的发展方向,在这个时代,我们需要根据数据同时做出多个决策。

著作

Lehmann 的 Testing Statistical Hypotheses (TSH) 于1959年首次出版,1986年出版第二版,2005年与 Joe Romano 共同出版第三版;他的 Theory of Point Estimation (TPE) 于1983年首次出版,而早在20世纪50年代末就有这本书的笔记,在1998年则与 George Casella 共同出版了第二版。这两本书为两代研究生的数理统计提供了统一的理论基础。两本书都基于 Wald 决策理论观点,概括了 Neyman 和 Pearson 检验的原则。随着新类型数据和问题的出现,处理这些问题的新旧方法领域也不断扩大,统计模型的丰富性和规模也在增长。例如:非参数方法和模型、大样本近似、Bayes 和经验 Bayes 方法、解决方案的稳健性以及多重比较,随着数据量、数据复杂性的增加,之前的简单假设已不再适用新情景,这些方法逐渐脱颖而出。非参数和稳健的方法反映出我们对生成过程仍然缺乏了解,只能通过渐进近似进行分析。Bayes 方法和经验 Bayes 方法隐式地降低了数据和概率模型的维数,由此我们就不用使用最大似然之类的方法,这类方法在高维数据和参数空间中常会失效。Lehmann 的研究虽然只涉及了其中一部分,但他意识到这些想法的重要性,故将其写入他的经典著作中。书的涵盖范围越广字数就越多。TSH 从1959年的350页增长到2006年的近800页,TPE 从500页增长到600页。Lehmann 的令一本书 Nonparametrics: Statistical Methods Based on Ranks 也非常重要,我们也在前文提及过。

Lehmann 的统计哲学

Lehmann 的统计学观点在一生中有很大的变化。正如他在回忆录中写的那样,“……当 Neyman 的学生时我接受了统计学启蒙教育,这些知识后来在 Fisher 思想的影响下得到完善。”他的才智与 Wald 在统计学领域坚实严格数学表达产生了共鸣,与频率学派相对的主观概率观点并不吸引他,但他对 Bayes 其他和方法研究生成过程的方式感到十分满意。随着时间的推移,他越来越意识到,Fisher 对统计领域的基础建设起到了深远(虽然这么说不完全严谨)的影响。

Lehmann 的学生

Lehmann 喜欢与人交往。这一点不仅可以从他大量的合作出版物和一长串博士生名单中得到证实,还可以从一篇文章33和一本书34中得到佐证。这些文字记述了对他产生影响的人,这些人深深渗透到他漫长的学术生涯中。Lehmann 指导了43名博士生,其中一些人继续进行学术研究,拥有了自己的博士生。他的学术后代数以千计。Lehmann 的学生来自世界各地。他在回忆录中这样写道,“这些学生大多数人是美国人,也有亚洲来的,其中印度、台湾地区和韩国人居多,还有来自欧洲的:挪威、法国和德国;当然还有一些来自以色列。” Lehmann 在他的回忆录中还详细介绍了他与学生合作的个人收获。他写道,“我发现与博士生一起工作很有益。他们极大地丰富了我的研究,其中一些人是我一辈子的朋友。”他接着详细描述了他的第一个学生 Colin Blyth “如何深刻地影响了我的事业和生活。” Blyth 把 Lehmann 在“统计假设检验”这门课上的讲稿转化成为书面材料,Lehmann 后来将这些书面材料整理成他的著作 TSH。在回忆录中,他接着写道,“我的一些学生是我的终身益友,有时我们也会一起合作。我和 Wei-Yin Loh 和 Fritz Scholz 一起写文章,和 Peter Bickel 也合作了很多年。Javier Rojo 是我最后一个学生,我们走的也很近。”为了纪念他的才华、对他人的支持和友谊,Lehmann 的学生和同事们为他出版了纪念文集35,并组织了四次研讨会36–39
Erich Lehmann 和 Ritov, Bickel 在莱斯大学 (Rice University) 的聚会上,摄于休斯顿,2007年 (照片来自 Lehmann 的家人)
Lehmann 在事业上取得了很多荣誉,比如1975年被评为美国艺术与科学院院士,1978成为美国国家科学院院士。这两项荣誉可以称得上是对整个统计学界的荣誉。他还有两个荣誉博士学位,其中1985年他获得莱顿大学博士学位,1991年获得芝加哥大学博士学位。Lehmann 珍视这些荣誉,但他依旧沉默而谦逊。他的学术贡献和个人品行都将永垂不朽。
Lehmann 的 65岁生日宴会,摄于1982年 (照片来自 Lehmann 的家人)
(P. J. Bickel 记)遗憾的是,我的合著者 K. A. Doksum 在写这篇回忆录期间染疾去世了。合著期间我们虽然距离遥远,但是我们对论文指导老师的共同喜爱和尊重使我们在这项工作上相得益彰。永远怀念 Lehmann。

原文链接

http://www.nasonline.org/publications/biographical-memoirs/memoir-pdfs/lehmann-erich.pdf(点击文末“阅读原文”获取)

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参考书目

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2007 Reminiscences of a Statistician: The Company I Kept. Berlin/Heidelberg: Springer Science & Business Media.
译者:宋文轩
编辑:任    焱
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