傅里叶变换用于神经网络

作者：Lorenzo Castagno 仅做学术分享，侵删

机器学习和深度学习中的模型都是遵循数学函数的方式创建的。从数据分析到预测建模，一般情况下都会有数学原理的支撑，比如：欧几里得距离用于检测聚类中的聚类。

傅里叶变换是一种众所周知的将函数从一个域转换到另一个域的数学方法，它也可以应用于深度学习。

本文将讨论傅里叶变换，以及如何将其用于深度学习领域。

什么是傅里叶变换？

在数学中，变换技术用于将函数映射到与其原始函数空间不同的函数空间。傅里叶变换时也是一种变换技术，它可以将函数从时域空间转换到频域空间。例如以音频波为例，傅里叶变换可以根据其音符的音量和频率来表示它。

我们可以说，任何函数的傅里叶变换所执行的变换都是频率的函数。其中结果函数的大小是原始函数所包含的频率的表示。

我们举一个信号的例子，它的时域函数如下所示：

在同一时间范围内获取另一个信号的一部分：

将这两个信号的称为和，其中 n 是时域。因此，如果我们添加这些信号，信号的结构将如下所示：

可以看到，函数的信号相加是将两个信号进行了加的操作，如果我们试图从这个相加信号 C 中提取信号 A 或 B，我们会遇到一个问题，因为这些信号只是功率相加，和时间没有关系。也就是说相加的操作是同一时间上的功率的相加。

可以在上图中看到，频域可以很容易地突出信号之间的差异。如果希望将这些信号转换回时域，我们可以使用傅里叶逆变换。

傅立叶变数学原理

正弦序列可用于表示时域中的信号，这是傅立叶变换的基础。所以如果函数是一个连续信号，函数f可以用来表示为：

可以看到该函数是由无限正弦曲线相加组成的，我们可以将其视为函数信号的表示，并且该函数具有定义输出信号结构所需的两个系数。

求解傅里叶变换积分（本质上是频率的函数）会产生这些系数。傅里叶变换的结果可以被认为是一组系数。它可以用数学表示如下：

而这个函数的倒数可以看作是我们用来将频域函数转换为时域函数的时间函数，也就是傅里叶逆变换。

求解上面的这些积分可以得到a和b的值，这里讨论的是信号是连续信号的情况。但是在现实生活中，大多数问题都是从离散采样的信号中产生的，为了找出这种信号变换的系数，我们需要执行离散傅里叶变换 (DFT)。

使用DFT我们可以得到一个相同长度等间隔的样本序列，这个函数是由一组等间隔的样本序列组成的。上面给出的函数的系数可以由下面的函数得到。

和的值将是:

在函数中使用项和，就可以找到频域中的信号。

使用 Python 进行傅里叶变换

Python 的 scipy 模块提供了数学中所需的所有转换技术，所以可以直接使用它

import numpy as np 

import matplotlib.pyplot as plt 

from scipy.fft import fft, fftfreq

制作正弦波

# sample points 

N = 1200 


# sample spacing 

T = 1.0 / 1600.0 


x = np.linspace(0.0, N*T, N, endpoint=False) 

sum = np.sin(50.0 * 2.0*np.pi*x) + 0.5*np.sin(80.0 * 2.0*np.pi*x) 


plt.plot(sum) 

plt.title('Sine wave') 

plt.xlabel('Time') 

plt.ylabel('Amplitude') 

plt.grid(True, which='both') 

plt.show()

上面的输出中，可以看到使用 NumPy 生成的正弦波，现在可以使用 scipy 库的 FFT 模块对其进行转换。

sumf = fft(sum) 

xf = fftfreq(N, T)[:N//2] 

plt.ylabel('frequency') 

plt.xlabel('sample') 

plt.title("FFT of sum of two sines") 

plt.plot(xf, 2.0/N * np.abs(sumf[0:N//2])) 

plt.show()