译作|老师柯尔莫戈洛夫的生平和工作（上）

在通过Borel-Cantelli引理推导（8）式时，选择一种特定的子序列${n_k}满足下式（10）便足矣：

直接应用柯尔莫戈洛夫不等式（1）不能得出（10），作者采用了另一种方法：i）他获得了不等式

ii）他的第二个主要步骤是推得了大偏差概率的指数界：

选择序列   使得对给定 有

；在该条件下，从(12)式我们可以得到对任意  

当   足够小，  ,则有

。

结合(11)式，我们就可以导出不等式(10)。

为了证明 时函数 是的下界，我们需要借助Borel-Cantelli第二引理：如果事件 是独立的，且  ,则  柯尔莫戈 i.o. 洛夫首先证明对任意    ，可以找到子序列  使得对 有

他然后证明了对 可以得到

最后一项可以根据(13)式估计，于是只需为第一项   寻找一个好的下界。这可以用如下方法得到：若 且 ，则对任意 和足够大的 有

这样我们就得到了

现在我们选择充分小的  和足够大的  ，就可以得到如下的界 (对充分大的  )

其中 . 该式结合(13), (14)式以及Borel-Cantelli第二引理，我们得到对任意  有

至此，我们证明了  时，函数  是  的下界。

1937年，Marcinkiewicz 和Zygmund [121] 证明了柯尔莫戈洛夫重对数定律条件

中的小”o“不能替换为大”O“。

1941年，Hartman 和 Wintner [77] 证明了独立同分布随机变量  的重对数定律，只需假 设  。

1966年，Strassen [189] 得到了同分布随机变量  的重对数定律的"逆定理"：他证明了有 限二阶矩假设的必要性。即，若 , 且

a.s.

则  。Strassen [188] 也得到了重对数定律的泛函形式。

费勒（Feller）关于重对数定律的结果 [53, 54] 是在随机变量无限二阶矩的情况下得到的。函数    在极限  （全局形式）和 （局部形式）时，均是标准维纳过程（布朗过程）的上函数（upper function），辛钦在他1933年的专著中叙述这一结果。相似的，  是下函数（lower function)。上函数和下函数的概念是由辛钦引入的，他致力于研究如何表征它们的问题。Petrovskii [147] 于 1935 年发表的论文是这个方向的突破，作者应用了微分方程理论的方法，而不是辛钦和柯尔莫戈洛夫使用的概率技术。

Petrovskii 证明了非降函数  在满足  和  是维纳过程  的上函数，当且仅当

应用维纳过程的的时间反演性质 (若  是维纳过程，则

也是维纳过程），非降函数  在大  时，是  的上函数，当且仅当

（柯尔莫哥洛夫在1930年代初得到了该结果，但在论文中省略了证明。）

用现代语言，Petrovskii的方法可以总结如下：考虑定义域

上的过程   ,

如果 , 其中  则过程  的点  被称作正则的 (regular)。显然，如果x 是正则的，则  是一个下函数 (lower function) ; 而如果  不规则，则  是一个上函数 (upper function)。点  的正则性决定于算子

势垒（“过程X的上调和函数”）的构建。在Bingham [19]发表的一篇详尽细致的论文中，我们可以找到“近年来（尤其自文献Stout[187]第5章调研以来的约十年间）有关经典重对数定律的结果的调研“。

1929年5月，安德烈·尼古拉耶维奇完成了四年的研究生学习，1923-1928年间他已经写了18篇数学论文。接下来是他未来去哪里工作的问题。安德烈·尼古拉耶维奇对当时的情形回忆道（{K470]，第227页）：“莫斯科大学数学与力学系的有一个高级研究员的空缺。和我竞争的是一位早一代的数学家，而主任Dmitrii Fedorovich Egorov虽然很清楚我的科研成绩，但始终很看重工作的资历标准。我也被另一种可能性吸引。1926年乌克兰数学研究所在哈尔科夫成立，由谢尔盖·纳塔诺维奇·伯恩斯坦（Sergei Natanovich Bernshtein）领导，当时他正处于国际声誉和国内权威的顶峰。大楼已经建好了，但仍然必须任命工作人员。伯恩斯坦向我抛出了研究员的职位，并建议在加入之前在国外游学一年。他将着手帮我申请洛克菲勒奖学金。但是亚历山大罗夫坚决反对这一想法，并最终说服Egorov优先考虑我。” 就这样，1929年6月，柯尔莫哥洛夫加入了莫斯科大学数学力学系，这也影响了随后的研究工作。（按时间顺序发展，在1931年3月，科尔莫哥罗夫成为莫斯科大学教授，1933年12月1日，他被任命为莫斯科大学数学科学研究所所长。） 1929年夏天，柯尔莫哥洛夫和亚历山大罗夫之间的真挚友谊开始了，亚历山大罗夫在1981年3月的文章[3]中描述他们的友谊：“与柯尔莫哥洛夫的友谊在我的生命中占据了异乎寻常且独一无二的位置：到1979年这段友情已经持续了整整50年，在长达半个世纪的时光里它没有遭受丝毫考验，我们也未曾发生过一次争吵，在影响到人生观的那些问题上我们没有任何分歧。即使当我们对某些具体事情的看法不一致时，我们也会以充分的理解和同情来对待。”

他们伟大友谊的起点是1929年，当时科尔莫哥洛夫决定像往常一样乘船沿着伏尔加河航行。回忆起邀请他的同伴（包括亚历山大罗夫）的情景，科尔莫哥洛夫在[K470]中写道（1986年）：“最初我与亚历山大罗夫的私人联系非常有限，尽管我们经常见面，例如在音乐学院的大厅中。我们会互相打招呼，但未曾交谈。我可能因他僵硬的衣领和某种先入为主的整体印象而怯于接近...。我事先未曾想过我如何敢于邀请帕维尔·谢尔盖维奇作为第三个伙伴一同前行。“1929年6月16日，我们从雅罗斯拉夫出发，沿着伏尔加河行驶。亚历山大罗夫是划船新手，但他自告奋勇为军需官，并在莫斯科购买了许多美味佳肴。6月16日，我们出发之日，算作我与亚历山大罗夫的友谊的开端。”

柯尔莫哥洛夫继续写道[K470]，他们多年的友谊“是我一生都感到幸福的源泉，而幸福的基础是亚历山大罗夫永远的细致周到。” 同年（1986年），柯尔莫戈洛夫在莫斯科数学学会（5月27日）的会议上致敬亚历山大罗夫（1982年11月16日去世，享年87岁）：“也许我可以独立成长为一名数学家，但在的影响下，我作为人的优点受到了帕维尔·谢尔盖维奇极大的影响。就视野开阔广博而言，亚历山大罗夫是一个真正非凡的人……他对音乐和艺术的了解以及对人们的关怀和同情态度令人难以忘怀。”

在[K470]中，柯尔莫哥洛夫生动幽默地描述了这次为期21天的萨马拉和高加索之旅（途经巴库，塞凡湖，埃里万，提夫利斯等）。在塞万湖畔，亚历山大罗夫为他的《拓扑论》（与霍普夫合著）撰写某些章节[5]。柯尔莫哥洛夫写了一篇有关积分理论的文章，并忙于思考连续时间马尔可夫过程的分析描述，后来催生了研究报告“ Uber die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung” [K28]，[PS-9] 。

1920年代末至1930年代初，柯尔莫戈洛夫在许多数学分支中同时展开创造性的研究，取得了丰富的成果。

1929年，柯尔莫哥洛夫发表了“the general theory of measure and the calculus of probability” [K19]，[PS-7]（这项工作在数学界并不广为人知），其中他给出了概率论公理化的初版，后来发展成为《概率论的基本概念》（[K40]，1933）中呈现的著名的“ 柯尔莫哥洛夫公理化”。

柯尔莫哥洛夫在[K19]，[PS-7]中谈到将概率论构建为“一般和纯粹的数学理论”的必要性，强调了“辨别出那些决定概率内部逻辑结构的要素”的迫切性，他还说：“概率的公理化应该建立在一般的测度论和函数的度量理论（metrical theory）的基础上”（例如，两个函数的正交性或正交函数系的完备性）。他谈到了“给定问题的基本事件的空间和基本事件构成的各种集合的概率”，注意到“概率方法在纯数学中的应用很大程度上来源于独立随机变量的概念”；他将注意力集中在“随机变量的独立性概念的清晰纯粹的数学表述”的缺失，“尽管提供这样一种表述并不困难”。

Borel [23]在1909年尝试用测度论建立概率论基础。Lomnicki在1923年讨论了这一思想的某些方面[117]。

在本世纪初（指1900s），Bohlmann [22]也尝试了概率论的公理化。而Bernshtein [14]有关概率论基础构建的文章在1917年发表。（在Bernshtein公理化中，事件的集合被看做是布尔代数，并且是根据随机事件的概率大小进行定性比较。）von Mises对概率理论的基础采用了另一种方法[200-203] ;他将随机事件的概率与某种理想实验的结果关联起来，并需要假设该结果的频率极限的存在性。

1933年，即“the general theory of measure and the calculus of probability”” [K19]，[PS-7]发表四年后，柯尔莫哥洛夫出版了（Springer-Verlag）后来的经典《概率论的基本概念》，前辈们的最初想法在这里终于成形。这本专著成为了概率论所有后续发展的源头活水，是许多数学家的入门圣经和工作的标准参考。

伊藤清（Ito） [86]写道：“读了柯尔莫哥洛夫的《概率论的基本概念》后，我坚信概率论可以用测度论的语言，像其他数学领域一样严格地发展开来。” Kac [89，48-49页]追忆他的数学生涯以及与雨果·斯坦因豪斯（Hugo Steinhaus）的合作，大约写于1935-1938年：

“我们投身概率论研究时，它刚刚从一个世纪的被忽视中兴起，并逐渐被人们接受为纯数学的一个受人尊敬的分支。之所以出现这种转变，是因为伟大的苏联数学家柯尔莫哥洛夫在1933年出版了奠定概率论基础的书。”

列维（Levy）[111，67-68页]写道：

”到 1924 年，我逐渐适应了这样一种观点，即不应将自己限制在我所谓的真实概率定律中。我曾试图扩展一个真正的定律，不管它有多大胆，我已经想到了在某个Borel族定义。我并没有说服自己这是计算概率的真正基础；也没想到能把这个如此简单的想法发表。然后，有一天，我收到了柯尔莫戈洛夫关于概率基础的小册子。我明白我失去了一个多么伟大的机会， 但为时已晚。我什么时候才能分辨哪些想法值得发表？"

在《概率论的基本概念》（俄语版[K63]1936年出版，英语版于1950年出版，俄语第二版[K403]于1974年出版）的序言中，柯尔莫哥洛夫指出“超出了上述概念范围（这些概念在一般意义上来说是专家所熟悉的）限制”的方面，包括：

1.无限维空间中的概率分布；

2.关于参数的期望的微分和积分；特别是

3.条件期望理论。

他在这里还提到，“所有这些新观念和新问题必定能在完全具体的物理问题中遇到”，这指的是他与M. A. Leontovich 的合作文章[K42][PS-14]以及Leontovich[105]。

所有这些新结果以及概率公理化的重要性，在《概率论的基本概念》已出版超过55年后的今天，已经非常显然。

书的第3章第4段，是关于在由有限维分布的一致集合产生的无穷维空间中建立概率测度可能性的定理，这奠定了随机过程理论的基础，随机过程逐渐成为概率论中一个应用极为广泛的巨大独立分支。

借助Radon-Nikodym定理 (其现代形式可以追溯到Nikodym 1930年的工作 [139]），柯尔莫戈洛夫定义了事件A相对  subalgebra  的条件概率  ，事件A相对随机元  的条件概率  ，随机变量  相对  subalgebra  的条件期望  ，随机变量  相对随机元  的条 件期望 -这些构成了现代概率论的主要武器库。

1930年夏天，安德烈·尼古拉耶维奇完成了他最杰出的概率工作之一，“ Uber die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung” [K28]，[PS-9]，由此他奠定了马尔可夫过程一般理论的基础，揭示了该理论与整个概率论、常微分方程和偏微分方程以及数学物理之间的深刻关系。

柯尔莫哥洛夫在[K28]中说，其研究主题是连续时间过程。他特别强调了这一方面以及从中发展而来的方法的本质新颖性。

亚历山德罗夫和辛钦撰写的献给柯尔莫哥洛夫50岁生辰的文章中[6]，评价了他的工作[K28]：

”在过去几十年里，人们很难找到可以比肩柯尔莫哥洛夫这项研究的工作，其对科学及其应用的进一步发展产生了根本意义。它开启的概率论的一个广博分支现已发展起来：即随机过程，它在研究和应用规模上已能与概率论分庭抗礼。柯尔莫哥洛夫的微分方程将马尔可夫过程纳为特殊情形，且数学上是完全严格的。之前物理学家在各种场景推导和使用的所有这些方程（Smoluchowski方程，Chapman方程，Fokker-Planck方程等）都缺乏严格的证明；柯尔莫哥洛夫提供了充分性的判据并阐明了使用条件。柯尔莫哥洛夫方程吸引了世界范围内理论家的广泛研究。该方程对理论的进一步发展和各种各样应用问题的数学发展至关重要。”

"分析方法" ([K28]常被如此称呼) 讨论的主要对象是从时间  状态  到时间  状态集合  的转移概率  。除却特定问题的边界情形，  满足一个基本方程，

现在称为Kolmogorov-Chapman方程（其表达了马尔可夫性）。

现在已知，在合适的条件下，人们可以构造马尔可夫过程  ，其条件概率  满足 (15) 式。在[K28][PS-9] 中，柯尔莫戈洛夫没有直接处理   的构造，而是从（15）推导了转移概率的微分方程。因此，他在尽可能的深度和广度上创建了一种新的分析方法——一种基于微分方程的手段，来处理遵从马尔科夫性质（15)式的连续时间随机过程的概率性质。

柯尔莫哥洛夫在他的“分析方法”中引入了“微分特征”（differential characteristics）的概念，对离散状态空间  和在实轴  上的连续扩散过程的情形都做了考量。

第一种情形，极限

充当了微分特征的角色。

第二种情况，对分布  假定具有密度

微分特征是如下极限

柯尔莫戈洛夫给出了这些极限的存在条件，并揭示了它们的真正实质:  是"瞬时均值"，而  是"瞬时方差“。

然后，柯尔莫戈洛夫在每种情况下都得出他著名的微分方程，即：

第一种，倒向微分方程

第二种，正向微分方程

方程（21）的形式曾由Planck和Fokker在扩散理论的工作中给出。

在[K28]中，柯尔莫戈洛夫讨论了这些方程解的存在性和唯一性、以及转移概率的可微性的问题。

柯尔莫戈洛夫（例如[K186]），费勒 [52]等人的论文继续讨论了这些问题。

由柯尔莫戈洛夫引入的微分特征（differential characteristics）概念，在马尔可夫过程半群方法的一般情况下得到进一步发展。该理论引入马尔可夫过程相对应半群的无穷小算子作为其微分特征，并给出了无穷小算子唯一确定转移函数的充要条件（Feller [55]，Dynkin [46]）。

如上所述，“分析方法”并未从马尔可夫过程的轨迹性质出发。柯尔莫哥洛夫处理了转移概率及其微分特征。构造马尔可夫过程的一种强有力的方法是1940~1950年代发展起来的伊藤清 [81-85，87]随机微分方程（参见[86]和Gikhman [62-64}）。（Bernshtein[15]曾在1934年讨论了有限差分随机微分方程。）

伊藤清方法的要点是从最简单的维纳过程  ，

来构造过程  作为如下随机微分方程的解:

。

伊藤直觉上相信，从时间  点  开始，过程  将局域地类似具有"漂移项”  和扩散项"  的维纳过程。他还从“柯尔莫哥洛夫微分特征"  和  的本质出发，给出 了构造马尔可夫扩散过程  的原创方法，其转移概率

满足柯尔莫戈洛夫方程。

至此,伊藤清首先为“随机微分方程”的概念赋予了精确的含义，接着提出了现已众所周知的适应过程（Adapted process）的随机积分。第二，通过使用逐次逼近，他证明了Lipschitz条件以及系数  和  随  的线性增长，确保了（22）式解的存在性和唯一性。第三，他确定了该解是马尔可夫过程。第四，运用他著名的“ 伊藤公式”，若  属于  类，则

他证明了马尔可夫过程的转移概率密度满足倒向柯尔莫戈洛夫方程。

1960年代和1970年代鞅方法崭露头角，尤其是Stroock和Varadhan [190，191]的工作发表后。它使人们能够在 和 相当弱的假设下，证明随机微分方程（22）式的所谓弱解的存在性和唯一性，这是在解决“分析方法”中提出的关于扩散(其  和  几乎不受实质性限制) 的存在性问题征途上的一大进展。（另请参见[65，88， 114）)。

“分析方法”以及1931年的另一篇论文“ Kine Verallgemeinerung des Laplace – Liapounoffschen Satzes” [K31]，[PS-12]展示了如何使用微分方程研究转移概率，同时也提供了Laplace-Lyapunov-Lindeberg定理的全新证明，其思想基于：独立随机变量  (均值为 0 ) 的和序列 构成马尔可夫过程，且在适当归一条件下收敛到扩散过程。

通过这种方式，柯尔莫戈洛夫给出了一种构造如下概率的渐近展开的方法

。

他在[K31]也抛出了一个问题：“所有不等式

实际上，（从现代角度来看）这是“不变性原理”的典型边界问题：

设有独立随机变量序列  (对所有  )，

。那么对足够平滑的边界  和  ，下式在何种条件、以何种速度收敛：

其中  是标准维纳过程。柯尔莫戈洛夫证明，决定概率  的边界问题可以约化到某种形式，并给出下述量的渐进展开

其中，第一项即为   。

后来，普罗霍罗夫（Prokhorov，柯尔莫戈洛夫的弟子） [157]对于足够平滑的函数

。

Skorokhod [182]在同分布有界随机变量的情形，通过“单一概率空间方法”（现在称为“强逼近”；参见例如Csérgo和Reéveész[36]）获得了  的  估计。Nagaev [137]和Sakhanenko [163]将估计值精简为  ，消除了  和有界假设。（关于近年来概率   近似方法的发展，可参见Skorokhod [182]，Borovkov [24，25]，Komlos，Major和Tusnady [99]，Stout [187]，Csorgo和Revész[ 36]和Bingham[19]。)

从1930年6月到1931年3月，柯尔莫戈洛夫前往德法进行了为期9个月的学术休假。他与亚历山德罗夫一起在柏林逗留了三天，然后去了哥廷根。柯尔莫哥洛夫在“追忆亚历山德罗夫” [K470]中写道：

“那时，哥廷根作为世界数学中心之一，是法国巴黎和美国普林斯顿的强劲对手，尽管长期工作人员非常有限，只有四位数学正教授：希尔伯特，柯朗（Courant），兰道和伯恩斯坦（希尔伯特66岁了并已退休离职；赫尔曼·外尔被邀请替补他的空缺）。柯朗的许多年轻同事都只是助理。甚至已经被认为是现代抽象代数的主要人物的艾米·诺特（Emmy Noether）也没有教授头衔。她的学生范德瓦尔登（van der Waerden）和Deuring也只是助手。

“哥廷根数学主要围绕在希尔伯特、柯朗、兰道和诺特周围。这是一个非常友好的团体，亚历山德洛夫从未被视为陌生人……。我在哥廷根广泛交友：与柯朗及他的学生们讨论了极限定理，关于扩散过程作为离散随机过程的极限；与外尔讨论直觉逻辑；也与兰道讨论了函数论。”

柯尔莫哥洛夫然后到慕尼黑拜访了Carathéodory，科尔莫哥洛夫回忆[K470]：“他碰巧喜欢我在测度论方面的工作，并鼓励尽快发表，尽管他对我有关积分概念推广的工作不太感兴趣”。

在受到弗雷歇（Fréchet）的邀请后，柯尔莫哥洛夫和亚历山德罗夫决定到地中海地区的滨海萨纳里（距土伦不远）拜访他。他们途中一起工作（柯尔莫戈洛夫当时在研究概率论，亚历山德罗夫研究集合拓扑论），经过短暂的旅行（德国的巴伐利亚阿尔卑斯山，乌尔姆，弗莱堡以及法国的安纳西湖和马赛湖），抵达了滨海萨纳里。

“那时弗雷歇正在研究离散时间下各种类型和状态的马尔可夫链。我们与他讨论了最广泛情况下的所有马尔可夫问题。这种相当单一的生活（有时会因短暂远足而中断）持续了一个月，”安德烈·尼古拉耶维奇回忆说[K470]。在巴黎露面后，他继续前进：“……自然而然，我向老一辈数学家博雷尔和勒贝格询问他们对我工作的评价和建议。但不幸的是，我与他们的接触机会被迫减少到短暂访问。然而，事实证明，博雷尔（译者注：博雷尔既是数学家又是政治家）的干预对于延长我的法国签证至关重要：在前海军部长博雷尔签署了一封信之后，立即得到了许可。

“在数学方面，与列维（P. Lévy）的往来使我受益匪浅。我再三被邀请到他的家，在那里我们进行了长期而充分的科学讨论。” （关于科尔莫哥洛夫的这次访问，另请参阅Lévy[111]，第87-88页，）

1931年3月，安德烈·尼古拉耶维奇成为莫斯科大学教授，1933年12月1日，他被任命为莫斯科大学数学科学研究所所长，直到1939年4月15日一直任职（1951年起短暂返回） 1958年）。

柯尔莫哥洛夫在1930年和1932年发表了两篇几何方面的文章：“论几何的拓扑群理论基础”（Zur topologisch-gruppentheoretischen Begriindung der Geometrie）[K25], [MM-15] 和 “论射影几何的构造”（“Zur Begriindung der projektiven Geometrie）[K37], [MM-20]。

第一篇论文基于拓扑和群论，发展了n维空间常曲率的经典几何。第二篇在庞特里亚金（Pontryagin）定理的基础上给出了射影几何的新构造，指出：具有可数基的连通局部紧致拓扑（偏斜，skew）域只有：实数域，复数域和偏斜四元数域。该定理使得直接构造实投影几何和复投影几何成为可能。

柯尔莫哥洛夫在拓扑方面的经典工作可以追溯到他尤其多产的1930年代。他的主要贡献在于引入代数拓扑算子及基于此的同调群的概念（[K67]，[MM-29]；与美国数学家亚历山大（Alexander ）[7，8]同时独立提出），它们为研究各种拓扑问题（尤其是与连续映射有关的拓扑问题）提供了强有力的工具。然后，柯尔莫哥洛夫（ [K69]，[MM-30]，Alexander [7，8]）定义了同调群的乘积运算，使之成为环（同调环），这对于后续研究极为重要。他对拓扑的第三个贡献是给出了满足非循环性（acyclicity）的局部紧致空间闭集上的“对偶律”。（另请参阅G. S. Chogoshvili的评论，“On A. N. Kolmogorov’s works in homology theory” [MM]，第405-411页。）

在柯尔莫哥洛夫杰出拓扑工作的清单中，应加上1937年的“ Uber offene Abbildungen” [K79]，[MM-36]，其中他构造了一个连续开映射（即，将开集映到开集）的绝妙例子，将一维映射到二维。他在对这项工作的评论中写道（[MM]，第412页）：亚历山德罗夫对在开映射下增大维度的可能性非常感兴趣。我们一起花了很多精力来尝试证明增大维度的不可能性。这些研究逐渐揭示了我们失败的原因。正是对失败的分析最终催生了反例的构造”。补充一点，这也刺激了苏联拓扑学家继续进行开映射的研究（L. V. Keldysh，B. A. Pasynkov，...）。

柯尔莫戈洛夫在1930年代拓扑方面的工作还有一篇“ Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes”（1934年）[K49]，[MM-23]，其中他特别定义了拓扑线性空间，集合的有界性（boundedness）和凸性，以及拓扑线性空间赋范性的充要条件。

在1935年和1936年，柯尔莫哥洛夫写了两篇关于近似理论（approximation theory）的论文（“ Zur Grdssenordnung des restgliedes Fourierschen Reihendifferenzierbarer Funktionen” [K61]，[MM-27]和“ Uber die beste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse”）。[MM-28]），开辟了近似理论的新方向——他工作的鲜明风格。

第一篇论文，考虑了所有周期函数  的类  连续且有  阶导数，其  阶导满足Lipschitz条件  和  。记

Fourier级数的余项为

，柯尔莫哥洛夫抛出如下问题: 找到值

。

1910年，勒贝格证明  。柯尔莫哥洛夫在论文中证明，一般地，有 

并给出了  为奇数时的表达式:

。

这项工作启发了该领域各个方向的发展：部分傅立叶求和由其他近似表达式替代；类发展到其他泛函类等。1940年代，柯尔莫哥洛夫的博士尼克尔斯基（S M Nikol'skii）以及他的学生和追随者在逼近理论中获得了丰富的结果（请参阅[MM]，俄语版382-386）。尼克尔斯基在他的文章[140]中记述了亚历山德罗夫和柯尔莫哥洛夫定期访问第聂伯罗彼得罗夫斯克，在那里他们发表演讲并举办了讨论班，这尤其促进了该地区函数近似理论的研究。

第二篇论文“ Uber die Beste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklasse”具有重要的价值。它引入了一种近似函数类的性质的新标度方法，后来称为“柯尔莫哥洛夫直径”（Kolmogorov’s diameter），自1960年代以来就引起了广泛关注。

柯尔莫戈洛夫将他的问题阐述如下：

假设我们对函数  引入一种距离，并研究线性组合  固定) 对函数  的近似。切比雪夫最先考虑了这些系数  的选择 问题，证明了可以任意减小距离  。柯尔莫哥洛夫现在提出了一个新问题:

设有一函数类 , 且

对  ，可微函数  的类  (其中  满足  的情形，柯尔莫戈洛夫证明了 ，

以及最优函数  是

对所有  次可微函数  构成的类 , 若满足

柯尔莫戈洛夫证明

并且发现对  ，选择函数 是最优的。

在[K62]，[MM-28]的第5段，柯尔莫哥洛夫给出了几何解释：称值  为集合  的第  个直径(nth diameter)。

1930年代的柯尔莫哥洛夫硕果累累。涉及领域很广；发表的文章数量如下：1931年–5篇论文，1932–6、1933–9、1934-10、1935-4、1936-17、1937-9、1938-16和1939- 5。

柯尔莫戈洛夫在1930年代对数学的各个分支进行了研究，除上述结果外，还获得了一些具基本重要性的概率论结果。

在1920年代末期和1930年代初，de Finetti（例如[388]）发表了系列论文专门讨论具有一致（homogeneous）独立增量的随机过程  的概率性质 （这里用了现代术语表述）。换句话说，他研究的核心在于所谓的无限可分律（infinitely divisible laws）的分布结构。

具有无限可分律的随机变量  的特征是，它们的分布与独立同分布随机变量  之和  的分布相同。（这类无穷可分分布的重要性在于，一般条件下，对独立随机变量的归一化之和，它们能扮演极限定律的角色。）

de Finetti [38]给出了无穷可分随机变量  的特征函数  的相当普适的公式：

其中  是跳跃幅度的分布函数，结合了正常和复合泊松型。

但式（23）未能囊括一般情况，而是描述了无限可分分布的某个子类。

在1932年，柯尔莫哥洛夫对有限二阶矩  随机变量情形，详尽地回答了de Finetti的问题：

是随机变量  无限可分律的特征函数，当且仅当  可以写作

列维[108]在1934年研究了包括无限二阶矩的更一般情况。1937年，辛钦 [95]证明，列维的结果也可以通过柯尔莫哥洛夫的方法得到。

无限可分分布的特征函数   的“列维-辛钦公式”（使用其现在流行的叫法）形式如下：

其中  是  上的有限测度，满足  。其他形式也会被用到，比如

这里   是一种非负测度，满足

而  是有紧致支撑（compact support）的有界博雷尔函数，在0附近趋近于  。

柯尔莫戈洛夫的杰作“ Sulla determinazione empirica di una legge di distributiontribuone” [K43]，[PS-15]可以追溯到1933年。它已成为经典，并且是整个数理统计领域（非参数拟合优度检验）中的高峰之一。

其主要结果简洁优美：

设独立同分布随机变量  ，其有连续分布函数  ，令

为经验分布函数。则有

其中

为表尊重，我们应该提一下Cramer 1928[32] 和 von Mises 1931 [202]发展的   统计

，

其出发点是在观测量  基础上检验假设   。但并没有得到其渐进行为的任何精确结果。（见E. V. Khmaladze 在 [PS] 中关于柯尔莫哥洛夫这项工作的评论，第514-520 页。）

容易从上式（26）导出下式（概率上）

。

非常有意思的是，1933年Giorn. Istit. Ital. Attuari 第四卷，包含Glivenko [67]和Cantelli [27]的两篇标题相同的著名论文：“ Sulla determinazione empirica delle legge di probabilita”，他们证明了   以概率1收敛（Glivenko考虑了连续的 ,而Cantelli考虑了一般情况）。后来，斯米尔诺夫（Smirnov)1944年 [183]以及Dvoretzky，Kiefer和Wolfowitz 1956年[44]证明了不等式

对任意柯尔莫戈洛夫统计  成立。借助Borel-Cantelli引理，我们可以证明  以概率1收敛。

1936年和1937年，柯尔莫戈洛夫开始了对具有可数状态空间马尔可夫链的转移概率渐近行为的广泛研究[K68，K81]。通过的转移概率  个步长内从状态  到状态  的算术性质对马尔可夫链进行分类（本质和非本质状态，不可分解类，循环子类等），以及通过  的渐近性质（递归状态，非递归状态，正值和空值，...），仍然提供了一个绝妙的模型，来帮助解决可数状态集的马尔可夫链这种复杂随机对象（即使是在时间离散情形)的可能行为的最棘手的问题。

柯尔莫戈洛夫科研兴趣的非凡广度也体现在他的“更应用”的著作中，其中他应用概率论方法处理了生物学、遗传学、物理学、地质学等领域的问题。他的一篇文章“on a new confirmation of Mendel’s law” [K101]，[PS-25]讨论了分支随机过程的简单模型，作者发现了灭绝概率随着世代数增加的渐近行为。

在1939年秋的遗传学讨论中（译者注：李森科事件），人们对孟德尔定律的有效性给予了极大的关注（最简单的情况是指3：1性状分离）。在这方面，柯尔莫哥洛夫撰写了“关于孟德尔定律的新证明（On a new confirmation of Mendel’s law）” [K115]，[PS-26]，他在那里分析了李森科的学生N.I. Ermolayeva的统计数据[Yarovizatstya 2(23) (1939) 79- 86]和结果：“Ermolayeva这些数据，与她的结论恰恰相反，为孟德尔定律提供了新的明证。”

在柯尔莫戈洛夫的论文“关于金属结晶的统计理论（On the statistical theory of crystallization in metals）” [K83]中，提供的某些示意性但相当普适的假设下，作者严格地解决了结晶速率问题，并指出了其“对冶金学中研究结晶中心随机形成下晶体生长过程具基本意义”，并阐明“在结晶物质的晶种之间的碰撞中存在某些困难，而这些碰撞是在单独的结晶中心周围演生的。”

关于结晶物质中包含给定点的概率（请参见[K83]的（3））和结晶中心的数量（[K83]的（6）和（6a））的柯尔莫哥洛夫公式，仍然是金属结晶一般理论的基本结果。

1933年，柯尔莫戈洛夫和物理学家MA Leontovich在物理杂志上发表了文章“ Zur Berechnung der mittleren Brownschen Flache"[K42]，[PS-14]，他们解决了 S.I. Vavilov提出的一个问题: 一段时间  内被半径为  的圆 (其圆心在平面上以布朗粒子的形式运动) 覆盖的区域  的期望值  。这里我们仅写出  表达式的主项:

其中  是扩散系数。

柯尔莫戈洛夫解决此问题的方法应该在这里呈现，因为它们与“分析方法”中提出的思想紧密相关。（有趣的是，在柯尔莫戈洛夫和MA Leontovich的这篇文章中，物理部分是由数学家柯尔莫戈洛夫写的，而其数学部分是由物理学家Leontovich写的。）

令  表示时刻  位于点  的布朗粒子穿过包含点  的区域  的边界  的概率。设在  时间内至少穿越一次，并且第一个交点落在边界  的给定区域  上。那么  满足柯尔莫戈洛夫第一方程 (19)，条件为: 如果  ，; 当  趋近于边界  上  区域的一点时，则对任意  ， 。这些条件唯一地确定了函数  。庞特里亚金, Andronov和Vitt在同时期也提出了相同的方法 [151]。(  上的Kolmogorov-Leontovich问题现在称为“Wiener sausage”问题；可参见Donsker和Varadhan [41]，Varadhan [197]和Le Gall [103]。）

柯尔莫戈洛夫一篇短文，“Zufallige Bewegungen”（1934年）[K57]，[PS-19]，副标题为“ Zur Theorie der Brownschen Bewegung”，给出了惯性布朗运动的一般描述，物理学家对此非常感兴趣。在爱因斯坦[47]和斯莫鲁霍夫斯基[206]的理论中，布朗粒子的惯性被忽略，因此粒子没有有限速度。1930年，乌伦贝克（译者注：Uhlenbeck，统计物理有很多贡献，也是与Goudsmit一起发现电子自旋的那位物理学家。中国近代女物理学家王承书是乌伦贝克的学生）和Ornstein [194]极力发展具有惯性的布朗运动理论。在这个经过修正的理论中，粒子的运动轨迹是可微的（但具有无限的加速度）。

柯尔莫戈洛夫从一般情形考虑了整个问题，设所考虑的系统状态由  个坐标  和  来描述，它们确定了状态转移的概率密度

柯尔莫戈洛夫关于自然统计定律可逆性的一般性问题的论文[K85] [PS-24]（于1936年完成）也可以包含在他关于布朗运动理论的系列文章中。

该问题的实质如下：

在热力学解释中，布朗运动是不可逆的，即如果粒子数很大，随时间增长，会导致描述粒子位置的概率“趋于平均”。如果时间减小（反转），则该分布的“异质性”反而会继续增加。薛定谔[169]可能是第一个注意到以下事实的人：在初始  时刻和最终  时刻的概率固定时，扩散过程（间 区间内)仍将具有一定的可逆性。

在他的论文[K85][PS-24]中，柯尔莫哥洛夫为 维马尔可夫扩散过程非常一般的情形，提供了统计可逆性的充要条件（在转移概率密度与“反向”转移概率密度相等的意义上而言） 。

柯尔莫哥洛夫1937年的论文（与I.G. Petrovskii和N.S. Piskunov合作），“Studies of the diffusion equation, with the increasing quantity of the substance and its application to a biological problem” [K82]，[MM-38]，这是他1930年代关于布朗运动和扩散过程理论的研究的一部分，其中他首次阐明抛物方程的波动解的存在性，以及当  时，柯西问题解的收敛性。

该论文中考虑的扩散方程的形式为（  )

若  不依赖 ，则上式变为

其中  是  上足够光滑的函数，且满足  ；当

事实上，(27)式有如下行波解：

其中   。

G. I. Barenblatt（[MM]，416-420页）对这项工作在当代数学物理学（特别是燃烧理论）中的研究发展的做了详细描述。

这篇论文除了纯数学意义外，柯尔莫哥洛夫在他的讲座和报告中多次强调，其灵感和问题的提出都是受到了生物学的直接影响。论文的第1段引用了费舍尔（Fisher）的书《自然选择的遗传理论》 [56]，柯尔莫哥洛夫指出了关于生物种群“集中度”  演化研究的问题。在  自然的假设下，我们可以得到形如（27)式的方程

然后柯尔莫戈洛夫提出了“纯生物学”感兴趣的数学问题，其中之一是确定研究种群所在区域边界的行进速率。有意思的是，针对这个课题费舍尔在同一年发表了工作[57]（在与[K82]相关的新近概率研究中，我们可以参考文章Bramson [26]和Gartner [60]）。

柯尔莫戈洛夫一篇短小精悍的论文，“ La Laplace de Laplace dans les espaceslinéaires”（1935年）[K60]，[MM-26]，他首次定义了Banach空间中概率测度的特征泛函，这是特征函数（characteristic function）概念到无穷维的推广。这篇文章中，他还定义了正态分布和  阶矩的形式，提到了将中心极限定理推广到线性空间的可能性，并强调了这些概念对于非线性量子理论的构建的意义，他说：

“如果我们想构建非线性量子理论，有必要考虑分布本身或它们的特征函数，或者所有矩的集合。”

后来L. Le Cam（1947）和E. Mourier（1950，1953）也提出了特征泛函。Banach空间中概率分布的现代理论和详细参考文献可见Vakhaniya，Tarieladze和Chobanyan 的小册子[196]，以及Araujo和Gine [10]和Linde [113]。

1938年，柯尔莫戈洛夫发表论文“A simplified proof of the Birkhoff—Khinchin ergodic theorem” [K99]，[MM-39]。同年，他（与盖尔方德一起）完成了他的工作“On rings of continuous functions on topological spaces” [K107]，[MM-41]，他们证明在相当普遍的情况下，在具有足够“良好”拓扑的拓扑空间上，连续函数环的代数结构，可以确定该拓扑空间（在同胚意义上）。1939年柯尔莫戈洛夫发表了论文“ On the inequalities between upper bounds of the successive derivatives of an arbitrary function on an infinite interval” [K106]，[MM-40]，其历史可追溯到兰道和阿达玛。柯尔莫戈洛夫提出的问题和结果如下：

在实轴上考虑函数  ，令

其充要条件是

其中  是常数。“ ([MM-40]，253页)。

对于该项工作的历史、结果讨论和后续研究请参见V. M. Tikhomirov和G.G. Magaril-Il'yaev的评论（[MM]，第387-390页）。

我们将再次回到1930年代柯尔莫哥洛夫极为活跃的某些方面（尤其是他关于数学教学的著作），但就目前而言，我们先简要谈以下几点。

1930年，纳科普罗斯国家科学委员会RSFSR（俄罗斯苏维埃社会主义共和国教育部）批准了柯尔莫哥洛夫的数学教授的学术职位（PR号014075），并于1935年由纳科普罗斯资格委员会（RSFSR授予他科学学位（物理与数学博士（DT No. 000038）。

第二届全苏数学大会（列宁格勒，1934年）决定出版发行新的数学杂志《 数学科学进展（Uspekhi Matematicheskikh Nauk）》。（英文版Russian Mathematical Surveys.，1960年起由伦敦数学学会出版）。从1936年创立到1944年该杂志分卷出版。1946年开始作为期刊。从1936年到去世，柯尔莫哥洛夫担任编辑，并且1946-1955以及1982-1987年间，他担任总编辑。

从1933年12月1日至1989年4月15日，柯尔莫戈洛夫担任莫斯科大学数学科学研究所的所长。

1939年1月29日柯尔莫哥洛夫当选为苏联科学院院士。1939年到1942年，他是苏联科学院数理学部的秘书，以及苏联科学院主席团成员。1938年到1958年，他担任苏联科学院斯捷克洛夫（Steklov）数学研究所概率系主任。

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