什么是平行线？许多同学都会说：太简单了，就是两条不相交的直线。而且我们在初中就学习过， 过直线外一点，只能做一条已知直线的平行线。
其实，这个问题并没有那么简单，人们认清平行线的问题花了2000 多年。
一. 欧几里得几何
公元前 300 年，古希腊数学家欧几里得写了一本著作《几何原本》。
这本书共 15 卷，研究深入透彻，两千多年以来一直是数学几何部分的主要教材，被翻译成多种文字在世界上流传。直到今天，数学家们仍然要通过借助这本书中平面几何的点、线、面和立体模型来开展数学研究。
在《几何原本》中，欧几里得提出了五个基本假设，即所谓“公设”，公设是不可证明的。
欧几里得的五个公设是：
1. 任意两点确定一条直线
2. 任意线段能延长成一条直线
3. 以一点为圆心、一个线段为半径可以做一个圆
4. 所有直角都相等
5. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
欧几里得从这五个公设出发，推导出一系列定理。这五个基本假设连同推导出的定理，被称为“欧式几何”，也就是我们中学时学习的几何。比如一个典型结论就是：三角形的内角和是 180 度。
二. 罗巴切夫斯基几何
虽然几何研究取得了许多令人满意的成果，但是人们发现：第五公设的表述比较复杂。现在我们说的是简化版本，欧几里得最初的表述是：若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。
于是，一些数学家怀疑这并不是公设，而是可以通过前四个公设推导出来的定理。于是，在很长一段时间，很多数学家都试图攻克这一难题，从前四个公设推导出第五公设，但大多无功而返。
第一个获得突破的人是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基。
罗巴切夫斯基的父亲也是数学家，曾为了证明第五公设而耗尽一生。当他得知自己的儿子也开始研究第五公设的证明时，写信给他儿子说：“千万不要研究这个问题。我几乎研究了所有的方法，最后都失败了，我不希望你也陷入这个泥潭。”
然而，罗巴切夫斯基并没有听从父亲的建议。他采用了一种与前人不同的方法：前人都是研究如何从前四个公设推出第五公设，而罗巴切夫斯基却反其道而行之， 将第五公设修改为“过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行”。
那么，假如第五公设可以证明，修改后，它必然与前四个公设相互矛盾，于是通过前四个公设以及修改后的第五公设通过演绎方法推导平面几何定理，一定能找到这个矛盾，然后就可以顺藤摸瓜证明第五公设了。
按照这个思路，罗巴切夫斯基用欧几里得的前四个公设与修改后的第五公设推导了平面几何中的所有定理，而且没有发现矛盾。他终于明白：第五公设的确是公设，不可以通过前四个公设证明。
既然第五公设不可证明，是一种假设，那么我们也可以更改这种假设。于是， 罗巴切夫斯基将第五公设改为：过直线外一点有多条直线与已知直线平行，创立了自己的几何：罗氏几何。
罗氏几何中很多规律与欧式几何不同，比如最典型的三角形的内角和。在罗氏几何中，三角形的内角和不是 180 度，而是小于 180 度，具体的数值与三角形的面积有关：三角形面积越大，内角和越小。如果三角形面积无限大，内角和甚至可以为零。我们可以想象在双曲面上画三角形，内角和就小于 180 度，所以罗氏几何也叫作双曲几何。
1826 年，34 岁的罗巴切夫斯基在喀山大学物理数学系学术会议上，宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文。但是论文一提出，就受到传统数学家们的嘲讽， 人们对非欧几何的评价是“莫名其妙”。后来，罗巴切夫斯基被推选为喀山大学校长， 即便如此，数学界对他的成就始终没有认可。
其实，在罗巴切夫斯基提出非欧几何理论时，当时世界上最顶尖的数学家、与欧拉齐名的数学之王、德国数学家高斯早就有了这种思想的萌芽。但是，高斯由于害怕新几何会激起学术界的不满和社会的反对，进而影响他的尊严和荣誉， 所以生前一直没敢把自己的这一重大发现公诸于世。当他看到罗巴切夫斯基的工作后，私下里向朋友说罗巴切夫斯基是俄国最优秀的数学家，并决心学习俄语来了解罗巴切夫斯基的著作。但是公开场合却从没有对非欧几何进行任何支持。
罗巴切夫斯基在抑郁中走完了自己的一生。但是历史最终给了他公正，他死后人们才认识到非欧几何的巨大意义。1893 年，在喀山大学树立起了世界上第一个为数学家而雕塑的塑像。这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的重要创始人——罗巴切夫斯基。
三. 黎曼几何
那么，既然罗巴切夫斯基可以把第五公设中平行现条数改为多条，我们也可以改为一条都没有。于是，德国数学家黎曼将第五公设修改为：过直线外一点没有任何一条直线与已知直线平行，就创立了黎曼几何。
黎曼几何类似于在椭球上的几何，所以也称为“椭圆几何”。
在黎曼几何中，直线可以无限延长，但是总长度是有限的，而且不存在平行线的概念。也许有同学会问，地球的两条纬线难道不是平行的吗？简单来讲，在球面上，只有大圆（圆心在球心的圆）才能称为“直线”，而任意的两个大圆都必然是相交的。
黎曼几何在爱因斯坦广义相对论中有很大的作用，这是因为空间本身并不是平直的，而是弯曲的。传说爱因斯坦在研究广义相对论时遇到了很大的数学困难， 直到他发现黎曼几何这个有力的工具，才顺利地用数学表达了自己的思想。
数学就是这样，从假设与逻辑出发，演绎出许多结论。数学家们在研究数学时也许并不知道在生活中有什么应用，但正是数学家开创性的工作，才让其他学科的科学家更加方便地解释这个世界。
END
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关键词
欧几里得
定理
直线
非欧几何
公设