知道的人都得死

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中文网络上流行着一个烧脑的悖论问题，是由著名澳籍华裔数学家陶哲轩提出、在2008年专门开贴讨论过的题目：

假设一座岛上住有1000个人，其中100个人为蓝色眼睛，900个人为棕色眼睛。

但这座岛上有一个奇怪的宗教禁忌，任何人知道了自己的眼睛颜色，都必须自杀。

同时，这一问题有几个严格的前提：

（1）岛上的人都会严格遵守这一宗教禁忌；

（2）岛上没有镜子，居民也没有其他途径直接获取自己眼睛颜色的信息；

（3）岛上的人不准就眼睛颜色情况作任何交流。

突然有一天，一个外来旅行家来到岛上，他对岛上的居民说了一句话：

「你们中间有蓝色眼睛的人。」

然后问，这座岛上会发生什么？

陶哲轩给出的答案是：100位蓝眼睛的人，全部会自杀而死。

为什么都得死？

所有蓝眼睛的人必须死？为什么会得出这一结论？

我们将问题简化一下：

假设一：岛上有100个人，其中1位是蓝眼睛，99位是棕眼睛。

旅行家未上岛时，99位棕眼睛不知道自己眼睛的颜色，但知道除自己外，岛上有98位棕眼睛与1位蓝眼睛；

而对那1位有着蓝眼睛的人来说，其余99位均为棕眼睛；

当旅行家说出「你们中间有蓝色眼睛的人」，蓝眼睛的人意识到，自己就是那个蓝眼睛；

他必须自杀。

假设二：岛上有100个人，其中2位蓝眼睛，98位棕眼睛。

旅行家未上岛时，98位棕眼睛不知道自己眼睛的颜色，但知道除自己外，岛上有97位棕眼睛与2位蓝眼睛；

而对那2位蓝眼睛的人来说，他们能看到98位棕眼睛与1位蓝眼睛；

当旅行家说出「你们中间有蓝色眼睛的人」，2位蓝眼睛的人不能确定自己是否为蓝眼睛，于是第一天平安无事；

第二天，2位蓝眼睛均发现对方那位蓝眼睛并未自杀，即证明「假设一」不存在，双方意识到自己与对方均为蓝眼睛，于是2位蓝眼睛同时自杀。

假设三：岛上有100个人，其中3位蓝眼睛，97位棕眼睛。

旅行家未上岛时，97位棕眼睛不知道自己眼睛的颜色，但知道除自己外，岛上有96位棕眼睛与3位蓝眼睛；

而对那3位有着蓝眼睛的人来说，他们能看到有97位棕眼睛与2位蓝眼睛；

当旅行家说出「你们中间有蓝色眼睛的人」，3位蓝眼睛的人均不能确定自己是否为蓝眼睛，第一天无事发生；

第二天，3位蓝眼睛的人依旧不能确定自己是否为蓝眼睛，仍平安无事；

第三天，3位蓝眼睛的人发现自己眼中的2位蓝眼睛均未自杀，意识到「假设二」不存在，岛上必然存在3个蓝眼睛的人，而第三个人便是自己；

于是，3位蓝眼睛同时自杀。

以此类推，若岛上有4位蓝眼睛，他们眼中将有96位棕眼睛。而到了第三天，无人自杀，证明「假设三」不存在，每位蓝眼睛都将意识到自己就是那「第4位蓝眼睛」，随即自杀。

归纳起来，结论是：

岛上有n位蓝眼睛居民，当旅行家说出「你们中间有蓝色眼睛的人」的第n天，蓝眼睛居民将全部自杀。

这就是陶哲轩对「100位蓝眼睛的人，全部会自杀而死」答案的解释。

当然，这一解释还有一个前提：

岛上的居民均拥有严密的逻辑推演能力，能够通过上述假设情况，推判出自己是否为蓝眼睛。

这一逻辑推演虽有些烧脑，但十分精彩。

陶哲轩利用这一有趣问题，惹得网友纷纷加入讨论，彰显了「数学」与「逻辑」的魅力。

但是，这一问题却存在着一个明显的悖论。

陶哲轩的答案一定对吗？

岛上居民又不是瞎子，当蓝眼睛人数大于1时，他们所有人都能看到「岛上存在着蓝眼睛」，这时旅行家说的话不是一句人人都知的废话吗？

既然是废话，岛上蓝眼睛居民怎么还会傻到一起赴死？

所以，这一悖论问题指向了另一个答案：

所有蓝眼睛居民都不会死（n>2时）。

这一题目的迷人之处，不在于「全部会死」的严密逻辑推演，而在于「全部不会死」的悖论陷阱。

生与死的悖论

一面是都会死，一面是都不会死，哪个答案为真？

我们将悖论问题分为两层来探讨：

问题一：

在「假设一」中，只有1位蓝眼睛居民时，自杀顺理成章；

但在「假设二」、「假设三」、直到「假设n」中，蓝眼睛居民为何要因旅行家的一句废话而自杀？

问题二：

如果所有蓝眼睛居民集体自杀，剩余所有棕眼睛是否都将意识到自己是棕眼睛，然后集体自杀、岛上居民全部死亡？

答案是所有蓝眼睛居民自杀？还是蓝眼睛不用死？还是岛民全部自杀？

解决这一悖论问题，首先需要证明旅行家的话是不是一句「废话」。

如果是废话，蓝眼睛居民便不会自杀。

如果不是——怎么可能不是？

判定旅行家的话是不是废话，需要用到两个概念：

「共有知识」（mutual knowledge）与「公共知识」（common knowledge）。

「共有知识」就是大家都知道的知识。当n>1时（n为蓝眼睛居民数），「岛上既有蓝眼睛、又有棕眼睛」是所有人共有的「共有知识」。

但是，你知道我也知道吗？

你不知道。

以n=2时为例，岛上存在2位蓝眼睛，A和B；

A不知道自己眼睛的颜色，他会这样思考B：

（1）我是棕眼睛，B居民眼中有99位棕眼睛，他不知道岛上有蓝眼睛存在，即不知道「岛上既有蓝眼睛、又有棕眼睛」这一共有知识；

（2）我是蓝眼睛，B居民眼中有98位棕眼睛，1位蓝眼睛，他知道这个共有知识；

（3）我既不是蓝眼睛，也不是棕眼睛，可能岛上存在第三色，B居民眼中有98位棕眼睛，1位第三色，他不知道这一共有知识。

其中，（1）和（3）背后的逻辑是一样的，可以合并：无论A是棕眼睛、还是第三色，都可归纳为是「非蓝眼睛」，结论都是「B将不知道这一共有知识」。

A只会有上述三种思考；同理，B也会这样思考A。

而当旅行家宣布「你们中间有蓝色眼睛的人」后，A之前认为的「B有可能不知道这一共有知识」的猜想被打破。

A之前不知道B是否知道这一共有知识，而现在因旅行家的一句「废话」，A知道了B一定拥有了这一共有知识。

这一微妙的信息变化，就是「共有知识」与「公共知识」的差别。

也是证明旅行家的话不是「废话」的关键。

这里引用一句著名人大附中物理教师、爆红网络的李永乐老师的解读：

「共有知识就是：『大家都知道』；

公共知识则有两个条件：①大家都知道 ②大家知道大家都知道；」

「从『共有』变成『公共』最重要的一件事，就是讨论，我们需要对这个问题进行讨论，我们才能把一个共有知识变成公共知识。」

（李永乐在网络视频中讲解「棕蓝眼睛问题」时说）

沉默的代价，呐喊的力量

公共知识的威力是巨大的，它是杀死所有蓝眼睛人的「罪魁祸首」。

当共有知识变为公共知识后，A与B两人都在等待「假设一」的出现；

可第二天人们发现「假设一」并未发生，无人自杀；

A与B遂意识到，自己也是蓝眼睛，于是自杀。

我们继续往下思考。

当n=3，或n>3时，所有人不仅都知道「岛上人既有蓝眼睛、又有棕眼睛」这一共有知识，也会知道其他人都能观察到这一事实，即「我知道你也知道」。

这时，这一信息似乎既是共有知识，又是公共知识，旅行家的话不还是一句废话吗？

悖论陷阱依然存在，如何解释？

以n=3为例，蓝眼睛C亦会有三类思考：

（1）我是棕眼睛，A或B居民眼中有98位棕眼睛，1位蓝眼睛；

（2）我是蓝眼睛，A或B居民眼中有97位棕眼睛，2位蓝眼睛；

（3）我是第三色，A或B居民眼中有97位棕眼睛，1位第三色，1位蓝眼睛。

问题就出在「我不是蓝眼睛」的猜想中，即思考（1）和思考（3）。

在C眼中，如果我不是蓝眼睛，虽然我知道A与B都拥有「棕蓝并存」的信息，但如果我不是蓝眼睛，情况就回到了n=2时的假设，A、B两人都将无法确定对方是否拥有共有知识。

所以，此时对于C来说，他也不能确定B是否知道A（或A是否知道B）拥有「棕蓝并存」的信息。

故而，此时并没有形成真正的公共知识。

同理，当n=4时，在D眼中，如果我不是蓝眼睛，虽然我知道A、B、C均拥有「棕蓝并存」的信息，但如果我不是蓝眼睛，情况又转回了n=3时的假设。

此时，对于D来说，他也不能确定C是否知道B知道A有无「棕蓝并存」的信息。

以此类推，无论n等于几（n>1），都永远无法形成真正的公共知识。

只有旅行家看似「废话」的公开宣言，才能使所有人知道所有人都知道所有人知道。

但是，D知不知道C，真的有那么重要吗？一个隐蔽到不能再隐蔽的微小信息变化，真的能杀掉所有蓝眼睛的人？

事实就是如此。

这就是信息的力量，也是沉默的代价。

当一个社会中，所有人都共知一件事，但无人发声，便无人行动，可一旦有人发声，便能掀起飓风。

这种社会效应与上述逻辑推演有共通之处，李永乐老师在网络视频中讲解「棕蓝眼睛问题」时说：

「在很多年以前，哥白尼还有布鲁诺，他们说地球是围绕太阳转的。这件事儿其实很多人都知道，不止他们两个知道，但是只有他们把它喊出来，这个共有知识变成公共知识，真理才能够真正的深入人心。」

◆ 李永乐老师对「棕蓝眼睛问题」的解读。

视频来源：「李永乐老师」微信公众号

棕蓝眼睛中的信息问题

既然证明了蓝眼睛居民都会死，那剩余所有棕眼睛，是否会在蓝眼睛集体自杀后意识到自己是棕眼睛？然后集体自杀？

答案是，不会。

蓝眼睛集体自杀后，棕眼睛意识到自己是棕眼睛的前提必须是：他们知道这座岛上只存在两种颜色的眼睛。

如果怀疑自己是第三色，剩余岛民仍无法确定自己眼睛的颜色。

也有不少人说，「当这个小岛诞生的第一天，岛民便知道了有蓝眼睛这一事实，那为何没在旅行家来之前自杀？」

提出此疑问的讨论者，恰恰忽略了共有知识与公共知识的区别。在旅行家公开宣言之前，即使小岛存在一万年，共有知识也只能是共有知识。

上帝把50个蓝眼睛的人与50个棕眼睛的人放在一座孤岛上，每个人都永远无法自知自己是什么颜色。

但旅行家的一句话，便能改变一切。

这是一道完美的逻辑实验题，也是一道完美的思维实验题，假设岛上居民不是「棕蓝两色」，而是三色、或者四色，情况亦是如此：

旅行家说出哪种颜色，哪种颜色眼睛的人就必须死。

然而，这一情况在现实中并不会发生。

因为没有人能拥有如此严密的逻辑，「所有蓝眼睛必须死」只存在于数学的逻辑实验中。

现实中，如果岛上有多位蓝眼睛的人，他们一定都会觉得：旅行家在放屁。

他们对这微妙的信息变化，毫无察觉，充耳不闻。

站在数学的角度，所有蓝眼睛的人必须死，站在现实的角度，则未必会有人死。

假如我们摈弃道德评价，将岛民的自杀机制理解成一种完美的机制，将岛民的全部自杀理解为一场最大限度的市场效益，那这一完美市场逻辑的运行与完美市场效益的收获，必须有完美的人的逻辑来加持。

◆亚当·斯密（Adam Smith），18世纪苏格兰经济学家，古典经济学开创者。

图片来源：Wikipedia

然而，现实中不会有完美的人的逻辑（理性人），因为现代社会分工加剧，人与人之间存在信息差。

现实中的博弈，粗略地讲，如果双方均知道对方可能的选择有哪些，就叫「完全信息博弈」，如果无法完全获知，就叫「不完全信息博弈」。

经济活动中，委托-代理关系的双方，如果一方知道的多，另一方知道的少，就叫「信息不对称」。而专门研究「信息不对称」市场的学问，就叫「信息经济学」。

信息经济学从博弈论中分支而出，又成为一门独立的学科。

而今，世界上已有10位信息经济学专家获得了诺贝尔经济学奖（2020、2007、2001、1996年度），亦有7位博弈论专家获得了诺贝尔经济学奖（2012、2005、1994年度）。

以美国经济学家、2001年诺贝尔经济学奖获得者约瑟夫·斯蒂格利茨（Joseph Stiglitz）的信贷配给理论为例：

假设一家银行有1000万贷款要放出去，而市场存在100家企业竞争贷款，出现供不应求的现象，这时，银行应该把钱贷给谁？

很多人肯定会想：谁出价高就贷给谁，银行应该提高利率，把机会留给那些愿意以高利率贷款的企业。

但是，斯蒂格利茨教授却认为，那些不惜以极高利率贷款的企业，往往是「喜欢借了又借」「不惜代价也要借」的企业。

现实生活中也是，那些经常借钱不还的人反倒是越喜欢借钱，而那些讲信用的人却很少借钱。

因此，单纯以高利率作为选择企业的标准，结果往往会导致企业无法还款、银行坏账，导致更混乱的经济现象。

这时候，银行就要在「信息」上下功夫。银行要仔细考察100家企业的信用信息，政策机制、社会环境也要监督企业与银行做好信息披露。

1981年，斯蒂格利茨与美国经济学家安德鲁·韦斯（Andrew M. Weiss）合作，将他的理论写成《不完全信息市场中的信贷配给》（Credit Rationing in Markets with Imperfect Information）一文，发表在《美国经济评论》（The American Economic Review），并因此获得2001年的诺贝尔经济学奖。