“数学很简单。
如果你不这样认为，
那是因为你还不知道人生有多复杂。”
电影《奇怪国家的数学家》里的台词
“并非所有重要的东西都是可以被计算的，
也不是所有能被计算的东西都那么重要。”
据说并不是爱因斯坦说的
一
平均数
对于如下复利公式，由于现实世界的不确定性，需要重新表述。
由于i是波动的，所以在不确定的世界里，复利的计算如下：

FV=PV✖️(1+i1)✖️(1+i2)✖️(1+i3)✖️……✖️(1+in)
i可能是正数，也可能是负数。

既然i总在变化，该如何计算和评估复利的增长速度呢？

有两种方法，一个是计算不同的(1+i)的算术平均数，二是计算它们的几何平均数。
假如你花100万买了一只基金，第一年涨了100%，第二年跌了50%。那么你的收益是多少？
  • 按照算术平均数计算：
平均收益率=(第一年收益率+第二年收益率)/2=(100%-50%)/2 = 25%。
  • 按照几何平均数计算：
年收益率假设是x，（1+x1）×（1+x2）=（1+100%)×(1-50%)=1，计算结果，x=0。
也就是说，按照几何平均数算，年回报率是零。实际就是如此。
这里用几何平均数计算出来的回报率，就是所谓“年化回报率”。
算术平均数，与几何平均数，分别表述如下：
概括而言：
  • 当数据最终结果是一个和时，用算术平均数较合适：
  • 当数据最终结果是一个积时，用几何平均数更加合适。
因为复利公式表达的是乘积关系，所以在算增长率的时候，一般用几何平均数，如此更能评估累积效应。
直观上看，算术平均数与几何平均数二者之间的对比如下：
如上图，有两个数字a和b：
  • 二者的算术平均数是（a+b)/2,如图中的红色垂直线AO，也就是圆的半径；
  • 二者的几何平均数，则是图中的蓝色垂直线GQ。
计算过程简单而有趣，因为PGQ和RGQ是两个相似三角形（感谢欧几里得），所以：
(PQ➗GQ)=(GQ➗QR)

可得：GQ的平方=a✖️b

从上图我们可知，GQ（几何平均值）总是小于等于AO（算术平均值）。
2016年，物理学家奥利·彼得斯和诺贝尔物理学奖得主默里·盖尔曼写了一篇关于遍历性的论文，里面有个例子：
有个玩硬币的赌博游戏，你投入1元，50%可以得到0.6元，50%可以得到1.5元。
你打算怎么玩儿这个游戏？
根据期望值计算，一半可能性损失40%，一半可能性盈利50%，算下来数学期望是5%。
用流行的话说，这是大概率赚钱的事情，你可以大胆玩这个游戏。
不过，这个游戏有两种玩儿法，确切说，是有两种不同的下注方式：

方式a：你每次都拿1块钱去玩，假设你有无限多个1块钱，你可以一直玩下去，从长期来看你肯定是赚钱的，平均每把用5%的数学期望算是0.05元。
缺点是太慢，而且你必须有足够多的时间能玩下去。
方式b：拿出自己能拿出的最大的资金，然后投入进去。
后面这种玩儿法，就是所谓的All in。看起来极端，其实很多人都是这么干的，我自己也经历过，谁没年轻（蠢）过啊。

我们来做个简单的计算吧。
1、你本金一百万，第一把赢，第二把输，第三把再赢，如此持续下去。

2、直觉上看，100万本金，赢了是赚50万，输了是亏40万，为什么不能玩儿呢？

3、拿张纸，用中国当前幼儿园小班的数学能力计算一下：

100万✖️（1+50%）✖️（1-40%）✖️（1+50%）（1-40%）......
4、一直这么玩儿下去，你会发现，没有几把就没钱了。
这难道不是绝大多数普通人做投资的现实吗？
期望值为正的持续下注游戏，在现实中极其罕见，但是按照上面的下注方法，都会亏掉。

因为决定复利公式连续相乘的累积效应的要素，是几何平均值。

如上面的例子，该游戏的几何平均
数
是（1.5✖️0.6=0.9然后开根号），也就是说（1+i）小于1，增长率i是个负数。

所以，即使该游戏的期望值为正，如果每次All in，仍然会输光本金，从而与复利公式的财富效应无缘。
由此，我们大概也能看出，现实世界的不均匀，对财富的累积效应的致命打击。
二
空间
复利公式的连续相乘，可以有一个有趣的隐喻。
先说连续相乘的最大弱点。

请问：全世界所有人头发数量相乘等于多少？

答案是零。因为只要有一个人没头发，这一串相乘的积就是零。

所以，多少富豪因为这乘法叠加而归零。
小赌徒是一点点被割光，每次输点儿小钱就跑，一次割一点儿，永远无法变富；
而大赌徒是经常赢，长期赢，有时还赢很多，然后因为一把（看似小概率的）巨大的输而被割光。
这是乘法的残酷之处。

再看复利公式：
FV=PV✖️(1+i1)✖️(1+i2)✖️(1+i3)✖️……✖️(1+in)
两个数字相乘，像是二维的矩形的面积计算：
三个数字相乘，像是三维的长方体的体积计算：
四个数字相乘，像是四维的超长方体的什么的计算呢？
如上图：从三维投影看，一个在四维空间中绕一个平面旋转的四维超正方体。
复利公式的连续相乘，与多维空间的类比，至少可以给我们一个直觉上的感触：
以长方体为例，如果长宽高其中的某一维度归零，这个长方体就被压扁成为二维的矩形，相当于被降维了。
当然，这只是一个好玩儿的比喻。
另外一种对于多维空间的隐喻，是概率论中的样本空间。
样本空间，是一个实验或随机试验所有可能结果的集合，而随机试验中的每个可能结果称为样本点。
例如，如果抛掷一枚硬币，那么样本空间就是集合{正面，反面}。如果投掷一个骰子，那么样本空间就是
｛1，2，3，4，5，6 ｝。
有些实验有两个或多个可能的样本空间。例如，从没有鬼牌的52张扑克牌中随机抽出一张，一个可能的样本空间是数字（A到K）（包括13个元素），另外一个可能的样本空间是花色（黑桃，红桃，梅花，方块）（包括4个元素）。
如果要完整地描述一张牌，就需要同时给出数字和花色，这时的样本空间可以通过构建上述两个样本空间的笛卡儿乘积来得到。
（以上名词解释来自百科。）
当一个骰子被抛起来的时候，它未来的可能性，分裂成六个平行宇宙。骰子落入其中的某一个平行宇宙的概率是一样的。
骰子最终会落入其中的一个平行宇宙，例如6。
于是，很多人开始研究：为什么是6？背后是不是有什么规律？大多数赌徒和投机者都是这类思维方式。
出现6的概率是1/6，和最终6这一面100%地出现，是一个极其简单却又只被少数人真正理解的常识。
1/6并不因为100%而消失。
就像有六个你投胎，其中那个“幸运的你”落在6，而另外五个你分别落在了1、2、3、4、5。他们都还在替你承担不幸。
例如，某位老板，靠地产生意赚了大钱。他可以将其理解为是自己的能力，也可以当作是自己的运气，仅仅是骰子落在6这一面而已。
  • 如果他接受1/6这个数字，就知道如果自己再扔一次骰子，扔出6（成功）的概率还是1/6；
  • 如果他只看100%的“成功”现实，他就会认为自己是个扔骰子的高手，下一次成功的概率应该有八九成。
我看见新闻讲一位著名的地产前辈，在住宅开发受阻后，积极转型，尝试了各种新型地产，结果亏成了欠债人。

假如意识到“大多数开发商是因为运气赚了大钱”这一事实，当运气离开时，就应该收手，而非转型。
文艺复兴的西蒙斯说：
很大程度上运气是我有天才名誉的原因。在早上走进办公室时我不会说“今天我聪明吗？”，而是说，“今天我幸运吗？”
难题在于，我们的一生几乎就是一次扔骰子，最多只是扔了几次而已。
样本空间的定义是指所有可能结果的集合，假如一辈子都无法遍历所有结果的可能性，“我”不能尝试每一个平行宇宙里的“每一个我”，概率又有何意义呢？
回到复利公式。

复利，滚雪球，大规模复制，在一个概率化的世界里，某种意义上就是让自己多扔几次骰子，从而让大数定律发挥作用。
有概率优势是一回事，让概率优势呈现于“你”所在的这个平行宇宙，是另外一回事。
职业下注者和决策者们，有机会大量地扔骰子。他们还利用规模优势和风险能力，低价收购被甩卖的概率权，变现（变成确定性的）后再高价卖回给别人。
非职业决策者，又该如何逃脱被概率掠夺的宿命？
秘密在于时间切片，和离散的我。
再看一眼复利公式：
FV=PV✖️(1+i1)✖️(1+i2)✖️(1+i3)✖️……✖️(1+in)
每一个乘号，就是一次下注，就是一次骰子落入某个平行宇宙的过程。对应的，都有一个在某个时间切片上的“我”。
每个“我”，貌似是一个“我”穿越了时间的河流，其实并非如此。而是时间的河流，如同羊肉串的钎子般，将一个个“我”串在一起，决定了“我”的命运，并令“我”有“独一无二地持续存在”这一幻觉。

将每个时间切片上的“我”置入样本空间，是一个巨大的秘密。
大数定律告诉我们，样本数量越多，则其算术平均值就有越高的概率接近期望值。
  • 没有概率优势的庇护，再多努力、再多重复也没用。“拼搏到无能为力，努力到感动自己”只是一个自我安慰。
努力的现在，和幸运的未来，二者之间不是线性的因果关系。

更不对称的是：好的开始，未必就有好结果；坏的开始，结果往往会更糟。
  • 没有大数定律的庇护，概率优势就很难显现出来。
大数定律“说明”了一些随机事件的均值的长期稳定性。
复利公式串起一个个时间切片上的“我”，是将时间视为一种“过去、现在、未来”平铺在一起、同时存在的结构。
如此一来，那一个个时间切片上的“我”，就成为人一生的样本空间里的一个个样本点：
｛i1，i2，i3，i4，i5，i6，i7，i8，i9...... ｝
尽管这是一个太“冷”的隐喻，但是，本文描述的复利公式，将时间的不确定性、空间的不确定性、事件的不确定性，整合到了一个框架里，从而实现了一种全局观。
如果说“人生是一个过程”是一句鸡汤，那么米塞斯所说的“市场是一个过程”则是一种洞见。

当我们在一个完整的概率框架里来思考自己一生当中那一个个“时间切片上的我”的连续性和独立性，就会获得更多的概率权利，也有更大可能性实现富足，并且也能更为有意识地享受人生旅途中的一切。
斯皮茨纳格尔认为，我们必须改变自己的认知维度。专注于当下非常重要，但我们的视野和认知必须从“即期”改为“跨期”。
他将一个光学上的概念用在时间上：景深。
景深是指相机对焦点前后相对清晰的成像范围。
我学习摄影的时候，经常看到“用长焦来压缩景深”的说法。
用广角拍摄时，通常会近大远小。用时间来类比的话，就是能够感受过去现在和未来。这类拍摄有身临其境的现场感。
用长焦拍摄时，较远处的远近不一的景物之间的“近大远小”效果会减小很多，像是压缩在了一起。
什么是时间的景深呢？那就是将过去、现在、未来压缩在同一个平面上，然后进行样本空间的时间与空间的置换。
马克·斯皮茨纳格尔写道：
资本具有跨期特征：它的定位和在未来不同时点的优势是核心。时间是资本的生存环境——定义它、塑造它、帮助它、阻碍它。当用一种新方式思考资本时，我们也必须从新的角度考量时间，当我们这么做时，这就是我们的路径，我们的资本之道。
也许一切都和这个充满了未知的世界里的不确定性有关。我们追寻可能性，但又害怕不确定性。
于是，那些能将“不确定性”变为“确定性”的人，仿佛是掌握了炼金术的巫师。
三
期望值
接下来，是关于复利公式的期望值计算。
期望值，是所有与计算有关的决策的基础。
当然，哪里有不需要计算的决策呢？哪怕不涉及数字，只是在心里权衡；哪怕仅仅是对人性的算计。这些也都是模糊的计算。

对于这个常见的概念，真能理解的人极少。
先看基本概念：
在概率论和统计学中，期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望，物理学中称为期待值）是指在一个离散性随机变量试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
例如，随机扔一个标准的六面骰子，其结果的期望值是：
但是骰子并没有任何一面有数字3.5。该数值是无限多次重复后，得到的一个结果的平均值。
现实中的不确定性，要远比扔骰子复杂得多，未来的可能性无人能够预测，这个时候，计算期望值，就需要贝叶斯学派的估算，概率代表的是一个人的洞见和信念。

我想用一个简单直接的方式来定义：

  • 期望值为正的，是投资；
  • 期望值是负的，是赌博
    ；

  • 期望值未知的，是投机。
赌场的游戏对于赌徒而言（只要对手盘是赌场而非别的赌客）。几乎全是负期望值。
举一个简单的投资的例子：
某公司要重组，可能成功，也可能失败。
成功的可能性定为大约85%，失败的可能性为15%；
重组成功股价可能上涨3美元，失败则可能下跌6美元左右；
现在股价是30.5美元，值得投资吗？
计算一下期望值：股价可能上涨的幅度是3美元乘以85%，而下跌的风险是6美元乘以15%。  
  • 3美元×85%=（可能上涨）2.55美元  
  • -6美元×15%=（可能下跌）-0.9美元
  • 二者相加，该投资的期望值是每股1.65美元 。
从结果看，该公司可以投资，如果重组时间不那么长的话。
但是，期望值为1.65美元，并不等于15%的事情不发生了，投资者还是有不小可能性每股亏掉6美元。
不过，作为职业投资者，因为有很多类似机会，所以长期来看，可能还是赚的。
以上是从单一的“静态模拟”来计算期望值。
在复利公式里，尤其是在不确定世界的复利公式里，期望值的计算会稍微复杂一点儿。
举例：若一投资有60%的获胜率（p = 0.6，q = 0.4），而投资者在赢得赌局时，可获得一赔一的赔率（b = 1）。为了避免爆掉，所以下注者每次会控制下注比例，假设是x。
单次的期望值很容易计算。那么，如果连续下注n次，该如何计算总的期望值呢？
我们做一个简化的模拟：假如连续下注10次，每次都投入所有资金，其中赢了6次，输了4次。
假如赢了，总资金变成原来的（1+x）倍，假如输了，变成原来的（1-x）倍，所以10次之后（简化的模型），总资金会变成的倍数是：

(1+x)✖️(1+x)✖️(1+x)✖️(1+x)✖️(1+x)✖️(1+x)✖️(1-x)✖️(1-x)✖️(1-x)✖️(1-x)
所以，该游戏重复n次的期望值计算是：
f(x)=(1+x)^(n✖️0.6)✖️(1-x)^(n✖️0.4)
如上，这其实是一个概率世界的复利公式。
首先，这里仍然有一个重要前提：期望值为正。否则就是赌博。
这时，我们会发现：
  • 下注比例x太小，赚不到钱；
  • x太大，可能会爆掉，以致无法实现遍历性而“享用”正期望值。
有没有一个方法，可以控制x的数值，就像用开关控制水量一样，调节每次下注的比例，在确保不会爆仓的前提下实现收益最大化？
四
凯利公式
上一节游戏里重复n次的期望值计算是：
f(x)=(1+x)^(n✖️0.6)✖️(1-x)^(n✖️0.4)
对这个概率世界的复利公式，我们的目标有两个：
1、别让（1-x）变成零或小于零；

2、在1的前提下令f(x)最大。
当年索普发现了赌场21点游戏的漏洞，让自己能够实现正期望值的回报。但仍然要面对具体下注多少的问题。
香农向
索普
推荐了自己同事凯利的一个公式。

与索普自己的信息熵公式有点儿像，凯利公式是对概率世界的复利公式取对数，然后求极值。

凯利公式的目标是：最大化资产的增长率，也即最大化对数资产的期望值。
因为对数增长率，能够更好地反映复利的概念。
设开始时的资产是1，每次下注的比例为f，有p的概率会以b的赔率赢钱，资产的对数期望值计算如下（就是对概率下的复利公式两边取对数的结果）：
要找到最大化这个期望值f，只需E对f的导数值为零：
求解上述方程，得出凯利公式：
用图形，更容易看出凯利公式的工作原理：
横坐标是下注比例，纵坐标是回报。
  • 下注小，安全但回报低；
  • 下注大，极可能回报也不高风险却很大。
凯利公式帮助我们找到图中的峰顶，对应的就是最佳下注比例。
人的一生，是由很多个下注串起来的。虽然不像过玻璃桥那么非死即活，但一样充满了巨大的不确定性。
每次做决策时，计算一下输赢的概率，算一下回报，并且随时提醒自己控制好下注的水龙头，千万别All in。
进一步来说，资金加杠杆相当于凯利公式的反向操作：
  • 凯利公式根据胜率和赔率，将下注比例控制在0和100%之间；
  • 资金加杠杆则是将下注比例放大至超过100%。
凯利公式的工作原理图最上方的那个点，也许是我们想在人生中找寻的位置：活下来，活好。
凯利公式的不足之处是：
1、必须基于正期望值。然而正期望值、并且回报又不可怜的投资实在太罕见；
2、可能导致总资产的大幅波动；

3、适合于长期的、相对高频的投资；

4、很多时候胜率和赔率都需要靠“主观概率”，靠专业洞察和信念。

五
i
凯利公式的调节下注比例，相当于为i加上了一个阀门。
如下复利公式，i是不确定性的，是概率化的。
财富的增长，个体的成长，公司的增长，关键在于根据i来为未来分配资源。
价值投资者的策略，是找寻被低估的i，可以持续很久的i，然后享受时间带来的n次方。
  • 安全边际，讲的是被低估的i；
  • 护城河，讲的是如何守护i。
无形资产、转换成本、成本优势、网络效应，都能令i更持久。
对于投资而言，关于一家公司未来的增速，也就是i，对其作出判断，不仅是概率化的，而且是主观的。
由于股票过去的表现并不代表未来的趋势，并且数据量有限，所以频率派的概率，让位于贝叶斯的概率。
如第二节所述：
  • 在这个不确定的世界里，我们不得不用概率去理解和计算，即使绝大多数时候只能用“主观概率”。
  • 人的一生太短，选择太少，无法回溯，既不能确认期望值，也不能通过大数定律让命运趋近于期望值。
贝叶斯概率有较小的数据需求，可以基于先验概率，利用新的信息进行推导。但是就投资而言，仍然对先验概率有较高要求。
这就是价值投资反复强调要投资于“懂”的公司。不仅是懂公司的商业模式，懂公司的文化和管理层，还要懂经营的本质。
所以巴菲特说自己是企业家，只是后来用分配资金的方式来经营生意而已。
在他管公司的经历里，这位看上去慈祥的书生相当犀利，出手狠辣。芒格也有过生意经验，但他是律师出身，优势仍然在于当军师。
如果说投资者一开始就要找寻有优势的i，那么创业者的i就只是一个小苗，甚至只是一粒种子。
对于创业者而言，i很少一开始就是正的。
创业的从零到一，本质上是求“i”的解。开始是负数没关系，关键是能否在钱用完之前发现正的“i”。
i像是一粒种子。
如同乔布斯所说：每个伟大的事物都有一个脆弱的、微不足道的开始。
以下，是一家“完美”的创业公司的i曲线。
i是变化的，开始不仅很小，而且可能会变成负值。
创业公司，就是围绕关于某个i值的假设展开，然后尽快去验证这个假设。一旦在市场的验证中实现了i的正值，再开始大规模复制。
如上图i值的曲线，i还会经历一个下跌的过程，这正是绝大多数创业者都经历过的艰难谷底。
由于i是一个比例，所以为了求解这个比例，创业者应该尽快拿出最小化产品原型，更不必在乎完善度和完美。
在谷底，假如找到了反弹点，意味着创业者的“价值假设”通过最小化产品得到了验证，然后再快速迭代，逐步放大规模。
如上曲线，符合《资本的秩序》里所说的迂回之道。
该书作者通过对比，介绍了针叶类植物的迂回策略。
  • 被子植物 （如枫树橡树等）的直接生长策略：
  1. 叶宽更高效获取阳光，花吸引昆虫；
  2. 在水、土壤和阳光的激烈竞争中快速成长繁衍；
  3. 过度生长的生态机制，森林茂密变成越来越危险的“火药箱” ；
  4. 火灾爆发终将被毁灭 。
  • 针叶类植物 （如针叶树等）的迂回生长策略：
  1. 叶片窄而细，生长缓慢落后；
  2. 让出阳光普照且养分资源丰富的地区，去岩石较多但阳光充足的地方，退而求其次，避免直接竞争；
  3. 恶劣的环境不断优化针叶树进化的基因：抗旱，抵御虫害的厚树皮，遇到高温和火焰才会裂开的松果等；
  4. 当野火毁灭森林时播下种子，在肥沃的灰烬中成长并得以扩大生存的领地。
由此，针叶树后来居上并最终超过了被子植物。
斯皮茨纳格尔在《资本的秩序》引用了老子的话，并认为要用逆向思维来探寻最佳路径：得来自失，未来的收益来自当下的付出和准备。
上面i的曲线图，不仅呈现了迂回策略，表达了“势”和“力”之间的转换，还有一个重要的特点：
它是一个凸函数。
六
凸函数
指数增长模型，就是一个典型的凸函数模型：
在上面的公式里，时间t的对应值是Vt，其初始值为V0，且以速率R增长。
凸函数是指上境图（图像上方的点的集合）为凸集的一类函数。换言之，其图像上，任意两点连成的线段，皆位于图像的上方。
凸函数像碗，凹函数像帽子。
（我们的有些数学教材里对于凸函数和凹函数的定义是相反的。）
凸函数的斜率是递增的：函数值随度量值的增加而增加。
（上述来自《模型思维》一书。）
最近以及未来数十年，数字化产业突飞猛进，造富无数，底层原因之一是摩尔定律惊人的凸性。
  • 假如你每天用时间换钱，你的财富图形是下图左边这样的：
  • 凸函数的图形是这样的，例如摩尔定律，又或是亚马逊的股价：
  • 凹函数的图形是这样的，例如赌博，或者胡乱投资：
《被平均的风险》一书，用房地产市场的抵押贷款投资组合，来描述了凹函数。
假如市场的房价有涨有跌，而平均房价维持不变，那么，你认为该投资组合的利润图会是什么样的呢？
在下面的例子里，一半的房价上涨8%，带来不足5%的利润增长；另一半的房价下跌8%，带来的利润下降高达40%。如下图：
（上述图片来自《被平均的风险》一书。）
结果会如何呢？风险远比表面上看起来大得多。
剑桥大学教授朔尔特斯给出了一个有趣的思考模型：
请绘制一幅你的商业计划价值与不确定性数据可能价值的对比图。如果它对你“微笑”，这是一个好消息。因为从平均价值来看，你的商业计划将会比以不确定性数据的平均值为依据制订的计划更有优势。
投资也是同理，试着画一个最好的事情和最糟的事情发生时的价值曲线图，看看它是在微笑，还是在哭丧着脸。
凸性，似乎是投资人手中的圣杯。有著名投资人认为，赚钱的秘密，就是找到一堆被错误定价的凸性项目组合。
然而，在现实世界里，凸函数微笑的嘴角无法一直向上，如芒格所说：
一切无法永远运动下去的事物总会停下来。
七
S形曲线
在孩子的幻想里，在成年人的发财梦里，在不切实际的商业计划书里，常能看见这样的想法：
  • 想象一下我们一开始有一对雄性、雌性兔子。然后开始生小兔子，一窝有4到10只小兔，大约一年有6到8窝；
  • 小兔子6个月又可以开始生兔子，重复上面的惊人增长速度；
  • 假如一只兔子赚一块钱，这不很快就赚到百万千万了吗？
其实，兔子的繁殖还不算厉害的。 以E. coli 细菌为例，我们可以从仅仅一个细菌的自我复制开始，假如维持一开始的增长速度，36个小时后细菌就会覆盖整个地球表面，足足30厘米厚！
为什么上述事情没有发生？
原因是：在大自然中，种群可能会成指数增长一段时间，但它们最终会受到资源供应的限制。
这种增长，被称为自我抑制性增长。
指数增长形成 J形曲线，而自我抑制性增长则形成 S形曲线。
逻辑函数或逻辑曲线,是一种常见的S函数，它是皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒在1844或1845年在研究它与人口增长的关系时命名的。
一个简单的逻辑函数可用下式表示：
经济学家斯坦恩曾说过：如果某些事物不能永远长存，那么它终究会停下来。
宇宙间无处不在的墨菲定律来到了复利公式，将指数增长那要翘上天的曲线摁了下来。
于是，为了对抗熵增，人们试图找寻第二曲线。
我喜欢查尔斯·汉迪第二曲线原则背后的思想起源，他认为：“绝大多数新事物偏爱的是少数人而不是大众。社会是不平衡的，权力的分配是不公平的。”
尤其是，信息经济正演变为“赢家通吃”，像亚马逊、Facebook和谷歌占据了统治地位并阻拦着任何胆敢入侵的新加入者。
查尔斯·汉迪的美好愿望是：“如果我们想拥有一个让未来造福于每一个人而非享有特权的极少数人的机会，那我们就需要挑战正统，有一点梦想，超常思考并且敢于尝试不可能。”
既然彻底的改变是必要的，那么应该如何做呢？
查尔斯·汉迪给出的建议是：
  • 开辟一条与当前完全不同的新道路；
  • 对熟悉的问题拥有全新的视角；
  • 实现托马斯·库恩所称的“范式转移”。
然而，美好的愿望，总是艰难的。甚至暂时看起来是错的。
我们来看一个现实世界里的第二曲线：
上图是微软的股价图。
  • 第一曲线，是一个典型的指数增长，直至2000年达至峰值。
  • 随后，是长达十余年的原地踏步。这中间微软传出来的几乎都是坏消息，似乎干啥都不成。
  • 大约是2014年前后，萨蒂亚·纳德拉接任CEO，微软开始“刷新”，开始了第二曲线。
  • 至今，微软再次成为全球市值最高的公司之一。
微软的再次崛起是因为萨蒂亚·纳德拉的“刷新”战略吗？公司发生了“范式转移”吗？
尽管智能云业务成为微软最重要的业务，但是，就“第二曲线”的理论而言，微软恰恰是一个反例：
微软不过是延续了赢家通吃。
信息时代，那些跃上了浪头的超级公司，因为是实现了某种垄断，会滑翔很久，也更容易踏上第二个浪尖。
萨蒂亚·纳德拉继承了前两任CEO的遗产，不去瞎折腾，更加开放，聚焦于微软的核心业务，重振企业文化。
也许这算得上二次发育，但并不是“范式转移”级别的第二曲线。
苹果公司同样如此。
茅台股价的崛起，相当部分原因来自砍掉了那些乱七八糟的茅台红酒茅台啤酒。
我并不因此而反对“第二曲线”的持续创新和自我突破。重点在于：
第二曲线的转折点，也许只是事后回放的时候总结出来的。
还是回到复利公式吧。
FV=PV✖️(1+i1)✖️(1+i2)✖️(1+i3✖️……✖️(1+in)
一个增长曲线，是由无数个乘号构成的。

就像围棋，最终棋局的胜利，是由所有的棋子跨越时间，在整个棋盘上共同发挥作用而实现的。
正所谓“善弈者通盘无妙手”。真正的高手，一整盘棋下来往往平淡无奇，不需要出奇制胜、力挽狂澜的“妙手”。
两个旗鼓相当的高手，在一起很难出现那种“撕逼”的场面，并非高手之间打架的时候比较优雅，而是彼此都算透了各种变化，自然不会去走那些会遭到惩罚的无理手。
同样，一盘棋的胜利，是由“道”而成。假如这条道依赖于某个石破惊天的转折点，那也是因为此前的蓄势和准备。
所以，不管是下棋，投资，做企业，个人成长，关键是：
1、着眼全局，专注当下，盘点过往的整体资产，为未来分配资源，不在乎小得失；
2、去“球要去的地方”，而不是追着球跑；
3、追求全局的连续性（让很多个乘号一起发挥作用）和健壮性（别掉链子）；
4、以全局的胜利为估值函数来评估当下要走的一手棋，而非追求妙手和大招。
此外，S形曲线其实也不错。假如通过未来现金流折现计算企业的价值大于价格，一个增长呈S形的公司还是很不错的。巴菲特一直拿着多年股价不涨的可口可乐多少也有这方面的原因。

对于个人而言，适当的时候，放慢速度，享受一下惯性下的滑翔乐趣，也相当完美。
八
无记忆
着眼全局VS专注当下，二者看起来似乎是矛盾的。
忘掉沉没成本VS保持连续性，好像也是对立的。
这是复利公式的一个关键命题。
假如在第n天，当我们要着眼全局时，看的是下面的公式：
FV=PV✖️(1+i1)✖️(1+i2)✖️(1+i3)✖️……✖️(1+i(n+1))✖️(1+i(n+))✖️(1+i(n+3))✖️……
我们需要基于过去的整体资产，预测未来，从而寻求当下的最优解。
当我们专注当下时，复利公式变成了：
FV=PV✖️(1+i1)
过去所有的乘积，都被压缩到一个PV里，今天就是增长的第一天。
  • 从感性的角度看，这正是贝佐斯的Day1。
自打第一封股东信开始，贝佐斯就向他的团队强调，要把每一天都当成是公司成立的Day 1。
“虽然我们对未来很乐观，但是我们必须保持警惕并且持续拥有紧迫感，只有这种紧迫感能让我的团队保持在Day 1。”
  • 从理性的角度看，这就是“打无记忆的牌”。
真正的高手，擅长打无记忆的牌。
具备离散状态的马尔可夫过程，通常被称为马尔可夫链。马尔可夫链，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。
该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。
无记忆的牌，并非是指抛弃过去，而是指过去最相关的信息去预测未来。
人是一种惯性动物，对于过去的迷恋不可救药。
这就是俗话说的：自己点的菜，含泪也要吃完。
大多数经济学家们认为，如果人是理性的，那就不该在做决策时考虑沉没成本。
比如你去看电影，会有两种可能结果：
1、付钱后发觉电影不好看，但忍受着看完；
2、付钱后发觉电影不好看，退场去做别的事情。
后者当然更理性。
再比如以下两种情况：
1、你买了一张100块钱的票去看脱口秀，结果在门口发现票丢了。你会再买一张票，还是扭头回家？
2、你去看脱口秀，去现场买票，发现路上掉了1000块钱。你会再掏1000块钱买票，还是扭头回家？
在一个类似的调查里，结果令人疑惑：
  • 对于1，90%的人认为应该掉头回家；
  • 对于2，50%的人认为应该继续花钱买票入场。
看起来，这二者完全是一回事，为什么会有如此大的差别？
塞勒用心理账户对此作出了精彩的解释：
人们在进行各个账户的心理运算时，实际上就是对各种选择的损失和获益来进行估价的，这个估价行为就被称之为“得与失的构架”。
以上面看脱口秀的故事为例：
  • 当你丢了一张票，再花1000块买一张，你就会觉得自己花了2000块来看脱口秀，太贵了；
  • 当你丢了1000块钱，你并不会太觉得这个钱是用来买票了，虽然会影响心情，但你还是可能会买一张票。
塞勒由此提出：
人们在心理运算的过程中并不是盲目追求理性认知上的效用最大化，而是追求情感上的满意最大化。
在复利公式的现实应用中，我们应该克服这种非理性，去追求理性认知的效用最大化。
打无记忆的牌，正是为了实现这一点。
李录认为投资人应该像个高尔夫球手，应该打无记忆的球。他觉得投资和打高尔夫球很像，你必须得保持平常心，要心绪稍稍一激动，肯定就打差了。 
前一杆跟后一杆没有一点关系，每一杆都是独立的，前面你打了一个小鸟球，下一杆也不一定能打好。而且每一杆都要想好风险和回报。 
一个洞的好坏胜负并不会决定全局，直到你退役之前，都不是结果。而你留在身后的记录就是你一生最真实的成绩，时间越长，越不容易。 
打“无记忆”的牌，不止是控制自己的情绪这么简单。
我将打“无记忆”的牌，分为如下5个层次：
  • 第一层次：当下的无记忆。（控制情绪，保持平常心。）
  • 第二层次：过往的无记忆。（理性对待沉没成本。）
  • 第三层次：决策的无记忆。（重新构建决策点。）
  • 第四层次：已知的无记忆。（压缩过往，“鸟瞰”自己的已知条件。）
  • 第五层次：人设的无记忆。（不要为了人设、为了维护自我干蠢事。）
不要为了人设，为了维护自我，而去坚持将蠢事干到底。
忘掉自己的人设，这可能是“无记忆”最艰难的地方。
因为反人性。
忘掉自己的人设吧，因为根本没人在意。
要坚持的，是去做正确的事情，而不是去证明自己正确。
所以，死磕到底的未必是长期主义，而长期主义高手反而最“善变”。
这方面乔布斯做决策和AI下围棋非常像，有时候看起来非常飘忽，会突然放下某个局部不管，走到别处去了，该弃就弃，绝不纠结。

长期主义不是简单的“坚持”或“连续”。
一个人的连续性，是根据其对目标的连续性来评估的，而不是看其短期行为的连续性。尽管二者很多时候看起来是一致的。
长期主义，还是一个贝叶斯更新的过程。
决策者追求的是大概率靠谱，而不是绝对靠谱，而且这个概率会随着时间不断优化。
长期主义作为一个贝叶斯更新的过程，既是前进，又是进化。
长期主义的本质，是自我的成长。
长期主义坚持的是对“求真”的信仰，而对于“眼前一手”，则敢于随时调整自己的信念。
只有如此，才可能在一个不确定的世界里，实现时间的复利，空间的复利，资金的复利，以及自我的复利。
如此多的道理，用一个模型就可以概述：
FV=PV✖️(1+i1)
1、将过去压缩为PV，该断舍离的，与往事干杯；
2、对当下而言，永远只有一个乘号，一个i。每天都是Day 1。重点不是今天的好与坏，也不是你与别人相比高与低，而是你今天是否比昨天进步了一点点；
3、“昨天的我”和“今天的我”属于两个不同的心理账户，接过他手中的棒，独自向前跑，对的事情坚持，错的事情立即改正。
九
全局最优
复利公式的本质，是为了寻求全局最优。
有些人为了做到这一点，力求将复利公式里的每一个“✖️”的结果都做到最大化。
现在中有不少这样的人，一分钟都不浪费，见朋友都像医生看病号；寸土必争，每个机会都不放过。
这就是所谓的贪心算法。
然而，尽管有时候，局部最优的累积将得到全局最优，但更多时候并不能使实现全局最优解。
即所谓：赢得了每一场战役，却输掉了整个战争。
  • 从空间上，我们要避免陷入局部最优陷阱；
  • 从时间上，我们要警惕过早优化。
先看局部最优陷阱。
上图中的黄色箭头，指的是局部最优；橙色箭头，指的是全局最优。
就像有的人，一路拼搏，过关打怪，取得了一场又一场的胜利，终于登上了顶峰。结果发现，自己只是爬上了一个小山头而已。
这时候的尴尬是：
  • 留在小山头上，不甘心；
  • 去另外一个山头吧，要下山然后从头开始爬；
  • 更何况，你怎么知道现在望见的旁边那座更高的山就是全局最高峰呢？
解决办法是：引入随机性。
例如，基于蒙特卡洛策略的模拟退火的算法，就是用来在一定时间内寻找在一个很大搜寻空间中的近似最优解。
模拟退火算法从某一较高初温出发，伴随温度参数的不断下降,结合一定的概率突跳特性在解空间中随机寻找目标函数的全局最优解，即在局部最优解能概率性地跳出并最终趋于全局最优。如下图：
关于爬山算法与模拟退火，有一个有趣的比喻：
爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。
模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。
（以上三段引自“程序员客栈”网站，作者“智能算法”。）
如此看来，醉拳原来也是有科学道理的。
在没有明确的全局唯一最优解的现实世界，模拟退火算法给我们的启发是：
1、在工作和生活中引入随机性，大胆做一些新的尝试和探索，和自己不熟悉甚至不喜欢的人交流，保持开放性；
2、允许适度的混乱，保持好奇心，大胆走入一个不知道味道如何的小菜馆，主动去犯一些小错误；
3、学习“无用的知识”，在自己的专业的基础上，横向拓展认知空间，保持大脑的冗余状态；
4、增加认知的维度。多学科的学习不是为了集邮，而是从不同维度去切割自己的认知。一个人很难再原有维度发现自己的局部最优陷阱，但是从某一新的维度，则更易证伪自己的最优假设。这正是机器学习中多层神经网络的作用之一。
5、未必是喝酒，可以从文艺作品里，例如电影，诗歌，音乐，去找寻微醺的感觉，点燃自己理性背后的激情，再从无序到平衡；
6、和更优秀（并且真诚）的人交往，找个更高峰、或是不同维度的导师；
7、有些时候，你必须从一个局部最优的山头下来，这并非退步，而是在经历一个“鞍点”；
8、为自己设置一个十倍的目标，甚至是有一个不可能实现的梦想，这样就没那么容易被一个小山头诱惑。
9、一切的前提是，你有能力爬上某一座或高或矮的山头，而非坐在那里空想，否则你从糟糕的现在走出去，更大概率是遇到更加糟糕的境况。
再看过早优化。
以色列物理学家艾利· 高德拉特在其管理小说《目标》里，提出了其独创的“瓶颈理论”（Theory of Constraints），开创了新的生产系统管理方法。
他将用户价值流，当作一个互相关联的流程系统，如下图：
任何时候，这条锁链上都会有最弱的一环，如上图粉色部分。如果我们对这条锁链施压，锁链会在最弱的环节处断开。
（我为这里出现锁链而感觉不安。）
所以，如果我们想要让这条锁链牢固，而去加固每一个环节，不仅非常浪费，而非会忽略关键问题。
这就是过早优化陷阱。例如：
  • 创业公司早早设置好完备的部门和岗位，把办公室装修得富丽堂皇；
  • 小孩子把500首唐诗背得滚瓜烂熟，初中生把题库里的奥数题反复刷到一题不错；
  • ......
正确的做法，是正确地定位并聚焦于最弱的环节，才能获得最大的回报。
（在这里需要强调的是，并非一家创业公司需要专注于解决短板问题，而是要去发现整个产业的最薄弱环节，然后以此为突破口，结合自身优势，展开自己的业务。）
作者提及：当我们强化了某个环节后再次对锁链施压时，通常会发现新的最弱环节转移到了其他地方，并且难以预测。
由此，他得出两个推论：
第一，不停地强化某个最弱环节最终并不会产生任何收益，因为其他环节早已取代它成为新的瓶颈，限制了整条锁链的能力；
第二，由于我们无法预知新的瓶颈会转移到何处，所以我们需要对整个系统进行持续监控，不断地定位新的最弱环节。
任何事情，首先是要做对，然后才是做好。
很多人，热衷于在萝卜上雕花，做各种感动自己的表演，以逃避“到底什么是对的”这一真正思考。
就商业而言，做对，关键在于“对客户群和客户需求的假设”是否正确（这就是链条上最脆弱的环节），更近一步，这个假设背后的Why是否合理。
如果源头不对，花心思去包装，去营销，去努力，就是过早优化，把有限的资源花到了错误的地方，一旦受到外部的施压，链条还是从最脆弱的环节断开，这些在不重要环节上的功夫，全都白费了。
对于教育也是如此，如果一个孩子没有动机，没有发现自己热爱的事情，家长凭借自己的想象（极可能是错的或者是忽视未来的），去在某些链条上不计成本地加固，也是过早优化。
复利公式告诉我们：
  • 商业模式是一个系统，人的一生也是一个系统；
  • 我们需要从空间和时间的全局性去思考，避免陷入局部最优陷阱；
  • 让孩子多飞一会儿，想想看，他一生的链条还很长，不必过早优化。
全局思维，系统思考的目的，是为了分配有限的资源。
典型如田忌赛马，处在资源劣势一方的田忌，通过资源在空间上的分配，实现了竞争中的整体胜利。
表面上看是以弱胜强，以少胜多，其实并非如此。田忌并没有让一匹跑得不够快的马突然打了鸡血般突飞猛进，他只是根据全局做了资源配置，从而实现了辛普森悖论式的意外结果。
萨蒂亚·纳德拉接管微软之后，所做的最重要的事情，就是打破了微软原来各个部门各自追求局部最优，从全局思考，从新规划业务，分配资源。
帕累托最优，探寻的是在无序的状态中通过资源分配获得更高的效率 
AI下围棋，并非算透（也无法算透）所有变化，而是每一手棋都把资源配置到相对而言终极胜率最高的那个点。
复利公式给出了一个全局思考的模型：做对的事情，以全局视野，以未来目标做价值评估，将资源聚焦在正确的事情上，并且动态地调整。
关于全局观，复利公式没能表现的有：
1、网络效应。例如马斯克说特斯拉最有想象力的是自动驾驶和机器人出租车，如此依赖该公司就拥有了网络效应。
2、复杂系统和涌现。复利公式之外，还有“整体大于局部之和”，以及“涌现”的奇迹。
3、运气。其实，运气总是好，本质上也是大局观好的结果。
这种大局观体现为：
  • 要么是因为Ta一直很聪明地停留在自己有优势的领域，
  • 要么是因为Ta尊重常识、情绪稳定。
现实环境变量极其多，外加人类社会的游戏规则，一个大事不糊涂小事不精明的人，也能通过做模糊的正确的事情，实现持续的运气好。
十
反向复利
巴菲特和马斯克互相瞧不上，不过在有一件事情上，二者高度一致：
他们都认为核武器是地球上最大的危险。
巴菲特认为：“核战争似乎是不可避免的！人类最终都要面临这个问题。”
作为一个数字狂，他的结论来自计算：
  • 任何一件事情，如果它在一年内发生的几率是10%，那么在未来50内它发生的几率将高达99.5%，几乎接近100%！
  • 如果我们把这个数字调低，也就是说一年内出现核战争的几率将到3%，那么在未来50年，高达99.5%的比例将下降到40%！
  • 从数字角度上来说，这是一件值得去尝试的事情，毫不夸张的说它可能会使得这个世界变得完全不同！
这是一个反向的复利计算：
  1. 假如核战争每年发生的概率是10%，那么每年不发生的概率是90%；
  2. 50年都不发生的概率是0.9的50次方；
  3. 然后用100%减去该值，得到的数字是99.5%。
马斯克去火星，让人类成为多星球物种，一方面是担心地球被小行星撞击（近期）和太阳没电了（远期），一方面是担心愚蠢的人类在地球上毁掉自己。
为什么一件事情可能出错时就一定会出错呢？难道真有一双无形的手，在宇宙间处心积虑地打翻每一杯牛奶吗？
为什么好事不会出现类似的“自动发生”呢？
理查德·道金斯认为墨菲定律是胡说，因为该定律需要无生命的物体能有自己的想望，或根据人的想望反应。
他指出，某些类型的事件可能一直发生，但只有当它们成为令人讨厌的事件时才被注意到。
比方说，“面包落地的时候，抹黃油的一面着地的概率与地毯的豪华程度呈正比。”那是因为人的损失厌恶的心理感受曲线所造成的。
我偏向于用熵增来解释墨菲定律。
  • 面包掉在地上，正反面着地的概率，是对称的；
  • 好事和坏事，字面上是对称的，概率上并不对称。
热力学第二定律，表述热力学过程的不可逆性——孤立系统自发地朝着热力学平衡方向──最大熵状态──演化，同样地，第二类永动机永不可能实现。
热力学第二定律认为“事物会变得更糟糕”。这似乎是墨菲定律的科学解释：
我们对好的定义，通常构建在某个秩序之上。但物质和能量总是朝着混乱的方向发展，自然变化的根本原因是无序扩散。
然而，生命也恰恰来自于此。我们并不处于一个孤立的系统里。感谢太阳，为地球提供负熵，也感谢宇宙间那些无数个几乎不可能的极小概率叠加在一起，生命得以产生，你我得以出生，成长，相逢。
我喜欢《存在与科学》里的一段话：
然而令人惊讶的是，这种自然的无序扩散可以创造出精致的结构。这种扩散如果发生在引擎中，就可以让发动机吊起砖块建造教堂；
这种扩散如果发生在种子里，就可以让分子形成花朵。这种扩散如果发生在你的身体里，在你的大脑中随机的电流和分子就可能会被加工成想法。
人的一生，以及我在本文中用于隐喻这一生的复利公式，就像是一个以“无序扩散”为能量的机器。
也许用滚雪球形容复利公式很生动，但我们要意识到，现实中的滚雪球，其实是西西弗斯将巨石推上山顶。
这一切的目的何在？意义何在？
假如我和爱因斯坦一样，相信斯宾诺莎所言的那个万物之神，也许会说：造物主创造了人类，恰恰是用来回答这个问题的。
人类存在的意义，就是他们可以去追问自己存在的意义。
零
最后
落难的天才数学家，隐姓埋名躲在一家顶级私校做警卫。冰冷、木讷的他，与一个放弃了数学的男生意外相逢。原本“只求答案”的少年，跟随数学家学会了正确的解题思路及方法，而在此过程中，少年的人生也慢慢发生了改变。
韩国电影《奇怪国家的数学家》，像是《心灵捕手》里麻省理工教授与清洁工男孩的颠倒版。
数学与人生的隐喻，在文艺作品里，总是离不开天才，尤其是被埋没的天才。
然而，假如人生是一道题，在寻找自己的答案这件事情上，每个人都是平等的。
不存在因为一个人是天才，而比另外一个人有更好的答案。
重点在于，你要找的，不是别人的答案。你的一生就是找寻属于你自己的答案的过程。
电影里，数学家对少年说：重要的不是计算，而是思考。
在这个愈发令人失望的世界里，人们算计得太多，计算得太少；计算得太多，思考得太少；思考得太多，赞美得太少。
数学复杂，而命运随机。
我在漫长的本文里，用“简单”的复利公式，去探寻可能性、运气、偶然、意义，也许只是一个奢侈的游戏而已。
在《奇怪国家的数学家》里，主角说出了冯·诺依曼那句话：
“如果有人不相信数学是简单的，那是因为他们没有意识到人生有多复杂。”
继续阅读
阅读原文
关键词
就是
凯利公式
结果
事情
骰子