杨振宁跨越80年求解一个数学游戏 | 重温系列
2021年10月1日,杨振宁先生即将迎来百岁诞辰。“赛先生”将发起系列纪念活动。自8月起,将陆续刊发系列杨振宁先生相关文章。今天,重温系列的第一篇,是97岁高龄的杨振宁先生跨越80年,求解在西南联大期间盛行于物理系与数学系师生间的一个数学游戏。我们将为评论区高赞第一的读者送出一件定制的印有杨-米尔斯方程的“赛先生”文化衫。
(图源:pixabay.com)
编者按:移棋相间游戏最早被记载于我国清代康熙年间成书的笔记小说《坚瓠集》中,在日本和英国亦曾以“鸳鸯游戏”和“泰特问题”之名风行。它要求玩家将n个相邻的白色棋子和n个相邻的黑色棋子,通过移动相邻两子的方式得到“黑白相间”的结果。
《坚瓠集》中记录,清代顺治年间胡励之曾发现当3≤n≤10时,经过n次移动均可得到“黑白相间”现象。数百年后的1920年代,是年尚在读中学的数理统计学开创者之一、我国数学家许宝騄和他的好友、“新红学”开拓者俞平伯在阅读此书后,曾将上述规律推至二十棋子。许宝騄在一年后总结出“合四为一”的新规律,据称一分钟即可讲完,使人豁然贯通。然而,由于后来科学研究任务繁重,许先生最终也未能如愿将这一公式整理出来。
而对这一游戏规律的探寻,也就一直传承到了十余年后许宝騄任教的西南联大学生身上。在本文中,世界著名物理学家、诺贝尔物理学家杨振宁先生完整记录下了他对该问题“Modulo 4”解法的论证。
撰文 | 杨振宁
游戏初始:p(3)
然后移动最左二子至最右,成 (2) ,再移动二子成 (3) ,再移动二子成 (4)。
p(5)
p(6)
p(7)
p(8)
从 (31) 到 (39) 八步平行移动可以分成三段 :
第一段 (31) 到 (33) 两步。请注意中间八子 bbbbvvvv 完全不动。
第二段 (33) 到 (37) 四步。请注意左右两端的 bvvb 和 vvbb 八子完全不动。
第三段 (37) 到 (39) 两步。其中第一步先不动 (37) 的最左四子bvvb, 只把最右四子的中间二子 vb 移到左面,成 (38) 。第二步则把 (38) 中最左的 bv 二子移到右面成 (39) 。
极重要的比较 :
比较第二段 (33) 到 (37) 这四步,与 p(4) 的 (5) 到 (9) 这四步,前者去掉最左四子与最右四子就与后者完全雷同!!!也是说 p(4) 是p(8) 的中心。p(8) 在中心以外还有第一段的两步和第三段的两步,以及左右八子,合起来形成一框,我们称它为外框。
p(8) 的中心是 p(4) 。四周是一个外框。我们把此关系写为
p(4) → p(8)
这个关系显然可以推广 :
至此我们已显示所有 n>3 时 p(n) 的解法。
注解
[1] 数理统计学起源于二十世纪前半叶。创建此学科的五、六位学者中有许宝騄。
[2] 俞润民是许宝騄的外甥,是俞平伯的儿子。俞文还说此游戏“始于清顺治六七年”。
2019年11月完稿于清华园
本文经授权转载自“数学文化”,原标题为“许宝騄和‘移棋相间法’”。
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