注*:本文撰写时双色球头奖为500万。
许多人在茶余饭后喜欢买张彩票,2元一注,中了奖当然好,中不了哈哈一乐就算了。也有人把买彩票当成了一份事业,花许多时间研究彩票,又花许多钱买彩票。彩票的走势真的有规律可循吗?长期买彩票到底是亏是赚?
排列三
我们首先来研究一个简单的彩票玩法:排列3,也叫做3D球。
这种彩票的基本玩法是:2元一注,从000~999种选择一个数(三位),开奖时开出一个号码(三位),若下注的三位数和开奖的三位数数字和顺序都相同,即可中奖。否则不中奖。例如下注时选择052,开奖时第一个球是0,第二个球是5,第三个球是2,即可中奖。如果中奖,奖金1040元。
我们不妨从数学上计算一下中奖概率,再计算一下期望。
首先,开奖时每个球都有十种可能,三个球开出三个号码,排列起来,一共有1000种可能,也就对应着下注时000~999这1000个数字。由于每个球开出的数字都是随机的,每种可能性概率都相等,所以这依然是一个古典概型。
中奖包含多少种可能呢?因为只有一个中奖号码,因此中奖只有1种可能。
这样一来,中奖的概率就是
中奖得1040元,概率1/1000;不中奖得0元,概率999/1000,所以玩一次返还的彩金期望是:
也就是说,花2元下注,平均可以拿回1.04元,亏0.96元。
组选六
排列3还有另一种玩法称为组选6,意思是说:开奖时的三个数字与下注的三个数字相同即可中奖,而不限次序。例如开奖是052,下注时选择052、025、520、502、250、205皆可中奖。中奖奖金173元。那么这种玩法的返奖期望又是多大呢?
已知,开奖结果依然是1000种可能,并且每种可能性概率都相同,依然属于古典概型。
中奖时,只要三个数字相同,而顺序可以随意调换。这就涉及一个概念:排列数。将N个物体按照一定的顺序进行排列,请问共有多少种排列方法呢?
比如,我们要要把篮球、足球、排球放在有顺序的三个盒子里。首先研究第一个盒子,可以放任意1个球,所以有三种方法。在第一个盒子放好了球之后,第二个盒子就只有2个球可以选择,所以有两种方法。前两个盒子放好之后,只剩下一个盒子和1个球,因此最后一个盒子只有一种放球的方法。所以3个球放进三个盒子的方法数为
钟。我们称3的全排列等于6。
同样,如果有N个球,放进有顺序的N个盒子里,称为“N的全排列”,公式为
我们下注一个三位号码之后,可以随意调换顺序,所以需要把这三个数字全排列,无论这三个数字是什么,都有6种排列方法。这样,中奖的可能就从1种变为了6种。
这样一来,中奖的概率就变成了
中奖得173元,概率3/500;不中奖得0元,概率497/500,返奖期望为:
也就是说,平均下注一次组选6,可以拿回1.038元,相比于直选玩法还少了0.002元。
双色球
相比于排列3,还有一种更让人热血沸腾的彩票玩法:双色球。
双色球有1~33共33个红球,还有1~16共16个蓝球。2元下注,在红球中选6个,蓝球中选1个。开奖时开出6个红球和1个蓝球,如果开出的红球与下注完全相同(不计顺序),蓝球也与下注相同(不计顺序),即可中大奖500万!
数学会告诉我们什么呢?为了研究这个问题,我们首先需要了解一个概念:组合数。
从N个不同的数字中选择M个,不计次序,一共有多少种选择呢?
比如,我们要从1、2、3、4、5、6六个数字中选三个,但是不计次序。我们可以按照下面的方法:
首先选一个数字,有6种选择方法。
在余下的数字中再选一个,有5种方法。
在余下的数字中再选一个,有4种方法。
所以一共的方法个数是:
种选择。
但是,如果选择的数字是a、b、c三个,按照刚才的算法,在120种可能中abc、acb、bca、bac、cab、cba算作了不同的情况。按照不计次序的规则,这六种情况应该算作一种。于是,我们必须将120除以6,才能得到不计次序的选择方式个数:20种。这里除掉的6其实就是3的全排列。
那么同理,从N个数字中选择M个数字,首先从N开始乘,乘N-1,乘N-2,…,一共乘M个数字,得到计次序时的结果。然后再除以M的全排列,得到不计次序的结果。公式写作
明白了这个算法,我们就可以计算双色球中大奖的概率了。
首先计算开奖结果一共有多少种可能。从33个红球中选6个,可能的结果有
从16个蓝色球中选1个,显然有16种可能结果。
所以开奖结果一共的可能数为
也就是说,双色球的开奖结果大约有1700万种可能。而且,每一种开奖结果的可能性都是相同的。如果我们花两块钱买一注,只能买一种可能,因此中奖的概率为大约1700万分之一。
我们来计算一下数学期望。中大奖能拿到500万,扣掉20%的税,还剩下400万,于是数学期望为
也就是说,如果只奔着大奖去,平均买一注彩票只能拿回0.235元。
当然,双色球还有二三四五六等奖,每一种奖的奖金和对应概率都不同,尤其是一等奖和二等奖,采用浮动奖金制度,计算起来更加烦琐。根据中国福利彩票发行管理中心公布的中奖规则,双色球返奖率大约50%,也就是说,花2元钱下注,大奖小奖全算上,统计上讲平均可以拿回1元钱,另1元钱就是给福利事业做贡献了。
END
本篇文章摘录自:
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