何为真理?不能坐等答案。 
——弗朗西斯·培根
01
道古新桥
杭州城内,离开西湖北岸的宝石山不远,有一条小路叫西溪路。在西溪路的东段,与杭大路的交叉口西侧(也在浙江大学西溪校区与玉泉校区之间,靠近西溪校区),有一座石桥,叫道古桥。始建于南宋嘉熙年间(1237-1241),初名西溪桥。南宋咸淳初年《临安志》有载:“‘西溪桥’,本府试院东,宋代嘉熙年间道古建造”。这个造桥的道古不是别人,正是南宋大数学家秦九韶,道古是他的字。
道古桥在杭州的位置图(梁津铭绘)

秦九韶(1202-1261)祖籍河南范县,该县位处鲁豫交界处,县城有数百年设在山东莘县境内,故他自称山东鲁郡人。秦九韶出生在四川普州(今成渝之间)安岳,并在那里长大。其父中过进士(据笔者了解,家乡人传秦家三代进士),曾任巴州(今川东北巴中)地方长官。1219年,巴州发生了一起兵变,促使其离开故乡,调任首都临安(杭州),全家住在西溪河畔。原来,1201年,临安发生了一场著名的大火,烧了三天三夜,烧掉太庙、三省、六部、御史台等,受灾居民达三万五千多家,部分朝廷命官及家眷便迁居当时属于郊外的西溪河畔,秦家来临安后也住那里。
九韶自幼聪颖好学,兴趣广泛,他的父亲来临安后一度出任工部郎中,后任秘书少监,掌管图书,其下属机构设有太史局,这使他有机会博览群书,学习天文历法、土木工程和数学、诗词等。1225年,秦父又被任命为潼川(今四川三台)知府,该地靠近吐蕃部落,为边关重地。秦父决定把家眷安置在离开临安不远的湖州,只携带了心仪的小儿子九韶前往赴任。九韶曾出任擢郪县(今三台县郪江乡)县尉,故也有九韶为义兵首的说法,他有领兵打仗的才能。
宋理宗赵昀,曾接见秦九韶,宠爱奸臣贾似道的贵妃姐姐。
1232年,秦九韶也考中进士,先后在四川、湖北、安徽、江苏、江西、广东等地为官。1236年,元兵攻入四川,嘉陵江流域战乱频繁,在故乡为官的九韶不得不时常参与军事活动。在《数书九章》序言中,九韶也对这一段生活有所描述。1238年,秦九韶回临安丁父忧(后移居湖州,继续为父奔丧),见河上无桥,两岸人民往来很不便,便亲自设计,再通过朋友从府库得到银两资助,在西溪河上造了一座桥。
桥建好后,原本没有名字,因桥建在西溪河上,习惯上被叫作“西溪桥”。直到元代初年,另一位大数学家、游历四方的北方人朱世杰(1249-1314)来到杭州,才倡议将“西溪桥” 更名为“道古桥” ,以纪念造桥人、他所敬仰的前辈数学家秦九韶,并亲自将桥名书镌桥头。
网友提供的原道古桥(疑似)
道古桥一直存在到新千年之交(笔者在附近居住了十九年,历史上有无重建不得而知),因为西溪路扩建改造,原先的桥和溪流被夷(填)为平地(曾经有过的道古桥居委会也随之消失),并建起高楼大厦,诸如国际商务中心、浙江省国土资源厅和黄龙世纪雅苑,只留一个公交车站名道古桥(据说还有地图上未显示的道古桥路)
2005年,道古桥附近天目山路(杭州东西主干道)南侧西溪支流沿山河上修建了一座人行石桥(在杭大路的马登桥和黄龙路的沿山河桥之间,离开道古桥原址约百米左右,比原先的长且宽阔)。我曾数度实地勘察,发现此桥跨河而建,两岸垂柳披挂,风景优美,且闹中取静,关键是尚未命名,故而引导我突发奇想。
道古新桥。作者摄于杭州
02
数学大略
1244年,秦九韶任建康府(南京)通判期间,因母丧离任,回浙江湖州守孝三年。正是在这次守孝期间,秦九韶专心研究数学,完成了二十多万字的巨著《数书九章》(1247年9月),名声大震加上他在天文历法方面的丰富知识和成就,曾受皇帝(宋理宗赵昀)召见。他在皇帝面前阐述自己的见解,并呈奏稿和“数术大略”或“数学大略”(即《数书九章》)。可以说,秦九韶是第一个受皇帝接见的中国数学家。几年以后,河北的数学家李冶也曾三度被忽必烈召见。
《数书九章》线装版封面(吴文俊作序)
《数书九章》分九类十八卷,每类九个问题,应该说全面超越了古典名著《九章算术》。其中,最重要的成果无疑要数第一卷大衍类的“大衍总数术”和第九卷“市易类”的“正负开方术”。“开方正负术”或“秦九韶算法”给出了一般n次代数方程正根的解法,系数可正可负。此类方程求解需要迭代运算,那样需要反复求取该多项式的值,而每次求值原本需经n(n+1)/2次乘法和n次加法。秦九韶将其转化为n个一次式的求解,只需n次乘法和n次加法,他并给出了最高10次21个方程的例子。直到19世纪初,这一算法才被英国数学家霍纳发现,称霍纳算法,即便在计算机时代的今天,秦九韶(霍纳)算法仍有重要的意义。
“大衍总数术”给出了孙子定理的一般表述。大约在公元四、五世纪成书的《孙子算经》里有所谓的“物不知数”问题。即“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”“答曰二十三”。换句话说,孙子只是给出了一个特殊例子。而在江苏淮安的民间传说里,这个故事可溯源到公元前二、三世纪西汉名将韩信点兵的故事。
话说秦朝末年,楚汉相争。一次,韩信率兵与楚军交战。苦战一场,汉军死伤数百,遂整顿兵马返回大本营。当行至一处山坡,忽报楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬,杀声震天。此时汉军已十分疲惫,韩信令士兵3人一排,结果多出2名;接着令5人一排,结果多出3名;再令士兵7人一排,又多出2名。韩信当即宣布:我军1073名勇士,敌人不足五百。果然士气大振,一举击败了楚军。
用现代数学语言来描述“大衍总数术”就是:设有k个两两互素的大于1的正整数
,其乘积为M,则对任意k个整数
,存在唯一不超过M的正整数x,x被各个
相除所得余数依次为
。秦九韶并给出了求解的过程,为此他发明了“辗转相除法”(欧几里得算法)和“求一术”。后者是指,设a和m是互素的正整数,m大于1,可以求得唯一不超过m的正整数x,使得a和x的乘积被m除后余数为1。
遗憾的是,由于古代中国没有素数的概念(要到清朝康熙年间才有,叫数根),且当时的用途并非在理论上,而主要用于解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题,秦九韶对他发现的定理没有给出严格的证明。但对求解型的定理来说,这个并不十分重要。实际上,他还允许模不两两互素,并给出了可靠的计算程序将其化为两两互素的情形。值得一提的是,大衍求一术和欧拉定理是20世纪密码学中赫赫有名的“RSA公钥体系”中的两个关键因素。
此外,秦九韶还给出了“三斜求积术”,此乃著名的海伦公式(已知三角形的三条边长求面积)的等价形式。在第二章天时类,秦九韶给出了历法推算和雨雪量的计算。在南京北极阁气象博物馆里,有古代著名气象学家的雕像,其中也有秦九韶,雕像的石碑上写着:他用“平地得雨之数”(即单位面积内得雨)量度雨水,在世界上最早为雨量和雪量测定奠定了科学理论依据。
03
享誉欧洲
1801年,数学王子高斯的名著《算术研究》(第2篇第7节)里,也给出了上述“大衍求一术”,此前瑞士数学家欧拉已作了深入研究,但他们都不知道中国的数学家早已经有这个结果。直到1852年,秦九韶的结果和方法被英国传教士伟烈亚力(与清代数学家李善兰合作译完欧几里得《几何原本》)译介到欧洲,他的论文《中国科学史札记》在欧洲学术界受到广泛关注,并被迅速从英文转译成德文和法文,此文同时也介绍了秦九韶算法。至于何时何人命名了中国剩余定理,仍是个未解之谜,但应不晚于1929年。
《数书九章》插图,相传画的是湖州飞英塔。

严格来讲,孙子定理应称为秦九韶定理,我在拙作 《数之书》(以及近作《经典数论的现代导引》)中、英文版里也的确这么做了。之所以被命名为孙子定理,应与下文要讲的秦九韶的道德疑难有关。而据笔者的先师潘承洞教授分析,西方人之所以称其为中国剩余定理,是因为古代中国数学家注重计算,缺乏理论建树,因而是一种轻视。无论如何,她都可以说是中国人发现的最具世界性影响的定理,是中外任何一本基础数论教科书不可或缺的,同时也被拓广到另一数学分支——抽象代数里面。此外,还被广泛应用到密码学,数值分析里的多项式插值计算,哥德尔不完全性定理的证明,丢番图方程可解性的判断(希尔伯特第十问题之否定),以及快速傅里叶变换理论等诸多领域。
德国著名数学史家莫里茨·康托尔赞扬秦九韶是“最幸运的天才”,这是因为当时西方尚未为这个命题命名。此前法国大数学家拉格朗日也是这样称赞牛顿的。拉格朗日认为,发现万有引力定律只有一次机会。有着“科学史之父”美誉的美国科学史家乔治·萨顿认为,秦九韶是“他那个民族,他那个时代,并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。”2005年,牛津大学出版社出版了《数学史,从美索不达米亚到现代》,该书重点介绍的12位数学家中,秦九韶是唯一的中国人。
剑桥的数学桥,相传为牛顿设计。作者摄
秦九韶造桥的故事,堪与英国数学家牛顿造桥的故事媲美。现今剑桥大学的皇后学院内,流经的剑河上有一座桥叫数学桥,只因传说原桥设计师是17世纪的数学家牛顿。据称牛顿造桥时没用到一根钉子,后来有好事者悄悄把桥拆下来,发现真是这样,却再也无法安装回去,只好在原址重新造了一座桥。时至今日,数学桥早已成为一处名胜,可以说是到访剑桥旅客的必游之地。

相比之下,道古桥的故事不仅更为古老
(比牛顿早四个世纪),且与两位古代大数学家有关(可惜当年宣传甚少,甚至杭州多数数学工作者都不知道,道古即秦九韶)。如果得以(重新)命名,酌情在桥头设立一块石碑,必将为杭州这座历史文化名城增添一处不可多得的科学人文景观(此建议后来被杭州市政府采纳,我并请数学家王元先生题写了桥名)
04
道德疑难
必须要指出的是,由于秦九韶的学术成就未被同代人认识,加上一些不好的传闻和描述,称其贪赃枉法、生活无度,甚至犯有人命、非复人类,他在暮年和后世成了一个有争议的人物。所有宋史和地方志都未为秦九韶列传,他的名字和桥名时隐时现,后裔也下落不明。不仅中文数论教科书里不出现他的名字,中国校园里也只张贴或雕塑祖冲之的像,甚至英国BBC新近制作播出的四集纪录片《数学的故事》在夸赞他的学术成就之余(秦是唯一被提及的中国数学家,也是七位东方数学家中镜头最多的一位),也渲染其道德污点。
经笔者多方求证和讨教,得知有关秦九韶的传闻主要有两个出处,其内容大有互通。比秦九韶年长十五岁的福建词人刘克庄《后村先生大全集》中的《缴秦九韶知临江军奏状》(1260)在前,比秦九韶小三十岁的湖州文人周密《癸辛杂识·续集》中的《秦九韶》(共两页,癸辛是杭州的街名,宋亡后周密留居此地)在后,后者曾被清代(乾隆年间)的《四库全书》列入“小说家之类”流传。可以说,刘周两人都是南宋文学史上有一定影响和地位的人。
广东梅州,秦九韶的谢世地。作者摄

到了嘉庆年间,文理兼备的扬州学派著名学者焦循,浙江巡抚、经学家、教育家阮元,以及晚清湖州学者、藏书家陆心源等人相继批驳周密,指其造谣诽谤,始有人为秦九韶列传。而刘克庄生前便趋奉贾似道,被认为谀词产语,连章累牍,为人所讥。1842年,《数书九章》由历算名家宋景昌校订后第一次印刷出版,结束了近六百年的传抄史。之前,其抄本先后被收入明代的《永乐大典》和《四库全书》。在传抄过程中,一度被称为《数学九章》,后被明末戏剧家王应遴定名为《数书九章》。从这个意义上,《数书九章》堪与荷马史诗媲美。
必须指出的,吴潜和贾似道是宋理宗时一忠一奸的宰相,秦九韶和刘克庄分别与两人过从甚密。吴潜出身状元,以正直无私、忧国忧民、忠义爱国闻名,还是一代词人、水利专家和抗倭英雄;贾似道恶贯满盈,却是皇帝宠爱的贵妃的同父异母弟弟,人称蟋蟀宰相。1261年,秦九韶去世那年,年近七旬的吴潜被贾似道罗织罪名,再度被罢免宰相,流放循州(今广东龙川),与秦九韶的谢世地梅州(今梅县)相去不远,且次年便暴病身亡(疑被投毒)
吴潜是安徽宁国人(一说是湖州德清人),那里与湖州毗邻,秦九韶在巴州任职时便与之相识,后一同在湖州丁忧母。或许,秦九韶从吴潜赠送的地基上建起的房子有些奢华,引得当地文人周密的嫉妒。特别是,周密是湖州本地人而秦九韶是异乡人。除了擅长作词以外,周密还爱好史学、画帖、医学,甚至算学。他的《志雅堂杂钞》也是一本杂书,有趣的是,里头居然有韩信点兵的描述,他称之为“鬼谷算”或“隔墙算”。
秦九韶纪念馆,四川安岳。作者摄
另一方面,秦九韶的骈俪诗词也颇有造诣,并曾得著名词人李刘指点,因此也不排除文人相轻的可能性。秦九韶的遭遇无疑是政治斗争的牺牲品,他生命的最后六年是在梅州度过的。事实上,在金人和蒙古大军南下时,吴潜和贾似道分属主战派和主和派。笔者曾专程前往梅州,只见周围群山环抱,城内主要街道栽满了榕树。我想起造纸术的发明人蔡伦,他和秦九韶在科学、技术上的成就在中国古代无人可以匹敌。蔡伦因为发明造纸术被封侯,晚年却在宠爱他的皇太后过世后耻于被政敌侮辱,沐浴后穿戴整齐,喝毒药而死。
有意思的是,后来曾有无名氏作《长相思》:“去年秋,今年秋,湖上人家乐复忧,西湖依旧流。吴循州,贾循州,十五年前一转头,人生放下休。”也就是说,15年以后,贾似道也被贬到当年吴潜遭贬去世的地方,且途中被富有正义感的监押官杀死。到了清代,吴潜的后裔吴鲁又考中状元、光宗耀祖,吴氏家族多居住在福建,其中泉州涂门街的吴氏大宗祠又名东观西台。至于秦九韶的最后岁月、下葬地及其后裔,笔者虽曾在梅州努力探访,仍无从知晓。假如真的如刘周文章所言,他早应被处斩或入狱,如何只是被贬官且仍“治政不辍”?
值得一提的是,《数书九章》里有一幅著名的插图,是用来计算图中的宝塔塔尖高度的,通过观察角度的调整和正切函数的运用,便可以求得。这座宝塔与湖州城内的唐代古寺飞英寺里的飞英塔造型相似,此塔内是石塔外是砖木塔,因为塔中有塔而别具一格,属于全国重点文物保护单位。虽然内塔和外塔分别建于唐代和北宋年间,但在12世纪前后遭到拆毁,现在的塔重建于13世纪30年代,刚好在秦九韶寓居湖州之前。
05
世界本原
最后,我想谈谈秦九韶为《数书九章》这部唯一的著作所作的序诗(每卷一首)和序言。第一卷是大衍类,即最有价值的一次同余式求解理论。他在这卷序诗里写道,“巍巍昆仑,气势磅礴;世界本原,在于数学。”第二卷是关于天文历法,序诗曰,“七大行星,苍穹回旋;世间诸事,变化多端。”第三卷是关于土地面积测量,序诗的开头是,“百姓虽小,当放首位;审时度势,以观世界。”
接下来的几卷先后涉及测量计算、运输税收、粮谷容积、建筑施工、军需供应、交易利息等。在赋役一卷中他写道,“当官的要施仁政,为民着想,设身处地,犹如自己挨饿受灾。如果赋税徭役分配不均,难道能让人心安理得吗?”因此可以说,这部著作不只谈论数学,还涉及自然现象和社会生活,成为后人了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献。
秦九韶纪念馆,四川安岳。作者摄
在“钱谷”一卷,序诗更是针砭时弊,有理有据。“纳粮上税,要看等级,粮食入库,要看时节。一粒粒粟,一寸寸丝, 都是男女劳动所得。”“达官贵人相互攀缘,欺榨百姓,大小贪官,用尽心机。”“治理财政,理当犹如智者治水。正本清源,有条不乱,治标治本,消除隐患。”“那些昏官视而不见,人民悲惨,用刑不断。离开理智愈来愈远,为官不仁!可叹可叹!”
在序言的开头,秦九韶便提到,周朝数学属于“六艺”(礼、乐、射、御、书、数)之一。学者和官员们历来重视、崇尚数学。人们因为要认识世界的规律,产生了数学。从大的方面说,数学可以认识自然,理解人生;从小的方面说,数学可以经营事务,分类万物。秦九韶坚信,世间万物都与数学相关,这与古希腊的毕达哥拉斯学派不谋而合。
蔡天新在南京北极阁气象博物馆秦九韶塑像旁
这也正是数学吸引秦九韶的地方,他向学者、能人求教,深入探索数学之精微。“我在青少年时代曾随父亲到过都城临安,有机会访问国家天文台的历算家,向他们学习历算。此外,我还从隐君子那里学习数学。”这里的隐君子并非指吸毒(烟)成瘾的人,而是指隐居逃避尘世的人。其时,元军入侵四川,九韶有时却不得不在战乱中长途跋涉,可是他仍不忘钻研数学。
与此同时,秦九韶也感叹,数学家的地位和作用,而今不被人们所认识,这里他主要指的是纯粹数学和暂时无法用到的方法技巧。他认为,数学这门学问遭到鄙视,算学家只被当作工具使用,这就犹如制造乐器的人,仅仅拨弄出乐器的声音。“原本我想要把数学提升到哲理(道)的高度,只是实在太难做到了。”由此我们可以推断,这是一位有思想有品味的人,与传言中的秦九韶实难相符。时光流逝了七个多世纪,秦九韶的道德污点也成为古代中国科学史上最大的疑案。
2012年5月,杭州
 作者简介 
蔡天新
浙江大学数学学院教授、博士生导师、求是特聘学者,近作有《小回忆》增订版、《26城记》、《数学与艺术》、《经典数论的现代导引》(中、英文版)、《完美数与契波那契序列》(即出),主编《地铁之诗》、《高铁之诗》。
制版编辑 | Morgan
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