一切心痛的根源都是期望

作者 | Michael Zhang 麦教授

一个工作玩耍两不误（work hard, play harder）的教授

麻省理工学院博士

清华大学文学学士、工学学士、管理学硕士

香港中文大学商学院教授

超量子量化私募基金创始人

金融市场的量化密码系列文章（18）

期望和衔尾蛇

作者：Michael Zhang 麦教授

公众号：麦教授随笔

Expectation is the root of all heartache.

期望是一切心痛的根源。——莎士比亚（William Shakespear）

概率并不仅仅是用来做排列组合的，很多场景下，我们想知道概率背后各个事件的总价值是怎样的。举例来说，假设有一个瓶子，里面有50个红球，50个蓝球，你随机抓一个，如果是红球就给你10块钱，如果是蓝球就不给你钱，那么你愿意花多少钱玩这个游戏呢？

要计算愿意花多少钱，就要探讨“期望”（expectation）的概念。根据频率学派的诠释，概率描述的是拿了很多次之后，得到红球的比例，这里很明显是50%。根据这个比例，可以计算期望的收益是多少。假设拿了100次，里面会有50个红球，所以得到了500元钱，平均每次获得的钱数就是500/100=5块钱，这就是期望了。

期望其实有一个加权平均的意义，权重就是概率。上面期望的计算可以写成。

期望的计算并不复杂，但是想要深刻理解还是需要积累经验的。举个例子：巴菲特有一次拿了四个骰子给比尔盖茨看，这些骰子都是6个面的，但是上面的数字并不是从1到6。四个骰子上的数字分别是：

骰子一：3，3，3，3，3，3

骰子二：0，0，4，4，4，4

骰子三：1，1，1，5，5，5

骰子四：2，2，2，2，6，6

两个人可以分别选一个，并投很多次自己选的骰子和对方来比大小，问题是选哪一个骰子才可以保证胜率高一些呢？

解决这个问题最直接的想法就是先计算每个骰子的期望点数。可以得到下面的数字：

骰子一：3；

骰子二：2.67；

骰子三：3；

骰子四：3.33

所以选第四个骰子就一定会胜利吗？

我们对比一下骰子四和骰子一，会发现2/3的概率骰子一会战胜骰子四。继续看，会发现骰子二也是2/3的概率战胜骰子一，骰子三2/3的概率战胜骰子二，骰子四2/3的概率战胜骰子三，循环往复而不息，是不是有点中国五行相生相克的感觉？

「衔尾蛇（ouroboros）」

每个骰子都可以胜过之前的一个，但是最强的那个又会输给最弱的，有点像上图画的衔尾蛇（ouroboros）。

据说比尔盖茨看了一会就发现了这个规律，并请巴菲特先选，因为不管怎么选，后选的人都可以选相应的骰子而获胜。

金融市场里的策略也是如此，虽然大家都在追求最高的期望收益，但是具体到策略上，就会发现一物降一物，没有任何一个策略可以是长盛不衰百战百胜的。这也再一次印证了本专栏的观点，重要的不是学到战胜市场的所谓秘诀而是要学会能带来胜利的方法论。对一个投资经理的判断其实很简单，就是要看他如何应变而不是看他是否说自己的投资哲学多么像巴菲特。永远不变的是变化本身，除此之外，金融市场里没有任何一个策略是永远有效的。

“期望”有平均的意思，“期望所得”的就是随机变量（或分布）的均值，最早是在帕斯卡在给费马的信中称之为期望。平均值只要是一组数字就能算，期望的定义是在随机变量上的。

假设你等一辆公交车，它每12个小时会来一次，你的平均等待时间是多长呢？这个可以很容易看出来，你如果非常幸运，可能你等了不到一秒钟车就来了，这时候你等待的时间基本为零，但是如果你正好晚来了一秒钟，那么车已经走了，你需要再等12个小时，所以平均下来你的等待时间就是六小时。

然而这个六小时的结论是基于一个重要的假设，就是这个公交车会均匀的每12小时来一次。如果它不是均匀分布的，比方说只在中午12:00和下午2:00来，同样是一天24小时来两次，你的平均等待时间就要变得长很多了，这个可以通过计算期望等待时间来得到，也就是：，也就是10小时10分钟。

再举一个例子，假如我们对中石油的股票感兴趣，可以查到它的股价从2017年到2019年每年分别是20，30，50，那么它的股价平均值就是(20+30+50)/3=33.3。而这并不是它的2020年的期望值，期望值应该是对未来的期待，要考虑概率分布才可以得到。

假设有人做了个简单的模型，根据这个模型有50%的概率宏观形势好，中石油股价会是80块；有30%的概率经济形势一般，中石油股价是50块；剩下20%的概率经济形势差，中石油股价会是10块。这样就可以计算期望了：50%*80+30%*50+20%*10=57。这个57块就是我们对中石油未来股价的一个期望。这个57块根本没发生，也不是一个历史数值，是我们经过计算后得到的期望。

玩一个游戏时，当你的期望只能拿到2块钱时，你应该不会肯花超过2块钱的成本去玩它。然而很多人喜欢赌博，赌博就是这样的一个游戏（“赌博”这个词非常贴切，我们前面讨论过“博”和“弈”的区别，博就是纯随机，不需要你具备任何技能就能参与的）。

你用一张彩票的价格，假定是2块钱，去博取获得100万的机会，假设成功的概率是100万分之一，那么赌博的期望收益只是1块钱。为什么又有人去赌博呢？因为这些人的想法是：我无非就是扔掉这两块钱，但可以博取得到100万的一个机会。当他们的关注目标在收益上的时候，他们就会忘掉收益需要乘以概率才是期望的回报。