最近有两个词非常流行，那就是躺平与内卷。按我的理解，躺平大概的意思是在生活的压力下放弃抵抗，放弃不切实际的加班升值挣钱买房的幻想，逆来顺受。而内卷却恰好相反：指代行业内部非理性的、毫无价值的竞争。比如无休止的复习、加班、修改方案，为了一个升学、升职或者加薪机会而拼命等等。
躺平
有许多小朋友问我：自己究竟应该躺平还是内卷呢？内卷人人都可以，躺平却是需要条件的。今天我从数学角度来给大家讲讲：为什么不是每个人都能躺平。这要用到微分几何中的一条定理——高斯绝妙定理。
一.曲率半径和曲率
微分几何起源于数学家们对于曲线和曲面的研究，如今已经成为广义相对论的基础，与拓扑学和理，论物理密切相关。这个理论特别复杂，普通人很难理解它的全貌。不过高斯绝妙定理倒没有那么复杂：它就是告诉我们什么样的曲面可以躺平，什么样的曲面必须内卷。
我们首先来介绍一下曲率半径和曲率的概念。生活中有各种各样的曲线，每一种曲线，每一个点，弯曲程度都可能不同，如何衡量每个点的弯曲程度呢？
曲率圆和曲率半径
数学家们想到了一个方法：用一个与曲线密切贴合的圆来代表这一小段曲线，数学上可以证明：对于一个平滑曲线，在曲线的每一个点这样的圆都是唯一的，这样的圆叫做曲率圆，曲率圆的半径叫做曲率半径ρ。人们又把曲率半径的倒数叫做曲率k，它用来描述曲线弯曲的程度。
大家看：一个曲线的不同位置，曲率半径是不同的：
1. 躺平的曲率是0：曲线越平缓的地方，曲率半径越大，曲率就越小。对于一条直线，与它密接的圆形是无限大，即曲率半径ρ无限大，曲率k就是0。
2.越卷曲率越大：曲线越弯曲的地方，曲率半径越小，曲率就越大。如果一个地点特别弯，曲率半径就接近于0，曲率就趋近于无穷大，这就叫非常卷。
而且，我们还可以对曲线规定一个正方向，如果曲线的弯曲方向和规定的方向一致，我们就说曲率是正的，我们可以叫它外卷（如果非要让我说什么是外卷，那可能就是与内卷相反，开会不去工作不做，专门跟领导对着干，等待被开除吧）；如果弯曲方向与规定方向相反，就说曲率是负的，就叫内卷。比如下面这个曲线上各个点，曲率半径就会在正、负、零之间切换，好比一个人在人生的不同阶段，反复外卷、躺平和内卷。
曲率的大小、正负变化
二.主曲率
现在，我们从曲线升级到曲面。对于一个曲面来讲，不同方向会有不同的弯曲程度。我们来看一个香蕉的内侧：它沿着某个方向，是突起（外卷）的，沿着另一个方向却是凹陷（内卷）的，而且二者弯曲的程度也不一样。
用一个平面去切割曲面，就会得到一条相交线，这条相交线在这一点就存在曲率。当我们旋转这个平面的时候，就会获得很多条切割线。比如一个烟囱，我们横着切，会切出一个圆形，竖着切，会切出类似于双曲线的形状。好像一个人，在某些方面是内卷的，在某些方面又是外卷的。
在1760年，微分几何的奠基人之一、著名的数学家欧拉证明了一个定理：在一个曲面上的某个点做不同的切割面，获得很多条切割曲线，这些曲线中曲率最大的那条和曲率最小的两条曲线的曲率叫做主曲率。主曲率对应的平面叫做主平面，主平面一定是互相垂直的。
比如刚刚的香蕉和烟囱，主曲率都是一正一负，两个主方向也是互相垂直的。
大家能看出平面的主曲率有多大吗？因为无论如何切割，用平面切割平面得到的都是直线，所以平面上的各个方向曲率都是0。平面是一种比较特殊的曲面。就好像一个人，他在任何方面都既不内卷也不外卷，这才是真正的躺平了。
三.高斯绝妙定理
下面，我们继续升级。在二维平面上，直线可以弯曲成曲线。同样，在三维空间中，平面也可以弯成曲面。我们会发现：在直线变成曲线，或者平面变成曲面，或者曲面变成更弯曲的曲面时，曲率和主曲率都会发生变化。
不过，并非所有的几何量都发生变化了。一条直的线段弯曲时，或者线段所在平面在三维空间中发生弯曲时，线段的长度就没有发生变化，我们把线段长度叫做内蕴量，意思是：它的结果与高维度空间的弯曲程度没有关系，类似于弯曲这样的变换，叫做等距变换。无论我们内卷、外卷还是躺平，一天都是24小时，这就是内蕴量。
有了以上的知识，我们就可以理解高斯绝妙定理了。1827年，微分几何的另一个奠基者、史上最伟大的数学家高斯发现：如果曲面上某个点的主曲率分别是k1和k2，它们的乘积叫做高斯曲率。当曲面在高维空间发生弯曲时，主曲率的值都会变化，但是它们的乘积K=k1k2却保持不变。
高斯
用数学语言说就是：在等距变换下局部的高斯曲率保持不变。
我们来举个例子：比如一个比萨：最初它是平面，主曲率处处为零，高斯曲率也是处处为零。当我们吃比萨的时候，比萨可以弯曲，两个主曲率发生了变化，但是高斯曲率为零是不会发生变化的。也就是说：在它发生弯曲时，一定有一个曲率为零的方向——在这个方向上比萨上的点构成一条直线。
比如，我们可以拿着比萨的后部，比萨前方就会下垂，比萨中央这个点的主方向对应的曲线分别是红线和黑线。红色是直线，曲率为零，于是这个点高斯曲率也为零，与最初的平面相同。
我们也可以用力掐比萨后部的一点，让比萨凹进去，刚才的曲线变成了直线、直线变成了曲线，但这个点的高斯曲率还是为零，不变化。
我们再来看看薯片。薯片中央的一点两个主曲率完全方向相反，符号相反，所以这个点的高斯曲率是负的。在我们的三维空间中，貌似很难将薯片进行弯曲，因为无论如何弯曲都会造成一部分的挤压或者另一部分分的断裂。
不过，在数学上的曲面具有无限的韧性，可以发生意想不到的弯曲。比如螺旋曲面和悬链曲面看起来完全不同，但是它们是可以通过弯曲变换出来的。
螺旋曲面
悬链曲面
变换过程
假如在数学上我们可以将薯片进行弯曲变换，薯片的形状可能变得面目全非，主方向和主曲率也与我们的测量不同。不过，如果我们去计算这一点的高斯曲率的话，它的结果却会和最初一样。这简直是太神奇了！高斯当年发现这个规律的时候情不自禁，就自己起了个“绝妙定理”的名字。
多说一句：高斯的得意门生黎曼将高斯的曲面理论发扬光大，创立了黎曼几何。在爱因斯坦创立广义相对论的过程中，他敏锐的发现我们的时空其实是弯曲的，不能用通常的欧几里得几何解释，但是又苦于找不到更好的工具。他向自己的同学，几何学家格罗斯曼求助，格罗斯曼把黎曼几何介绍给了爱因斯坦，利用这个数学工具，爱因斯坦终于创立了广义相对论。爱因斯坦自己都说:他没想到宇宙的真理居然存在于数学中。
格罗斯曼
黎曼
四.什么样的人才能躺平
高斯绝妙定理可以解释许多有关曲面的问题。比如：最初人们发现无论如何也不能将地图准确的画在平面上，这是为什么呢？
原因是：平面的高斯曲率是0。根据高斯绝妙定理，如果一个曲面可以展开成平面，曲面上任何一个点高斯曲率必须是0。也就是说：过曲面上每个点都至少有一条直线，曲面才有可能展开成平面。
比如：圆柱、圆锥都可以展开成平面，因为它的母线是直线。球面不能展开成平面，因为球面上任何一个点主曲率都是同号的，高斯曲率是正的。在等距变换下，无法展开成平面。
所以理论上讲，没有办法在一个平面上画出世界地图，因为地球是球体，不能展开成平面。人们采用各种各样的投影法，画出地图的近似情况，比如墨卡托投影法，就是把地球投影到一个圆柱上，然后再把圆柱展开。这样做的结果就是两极地区的面积会变得很大，看起来格陵兰岛比非洲还要大，南极洲更是跟整个亚欧大陆差不多大。
讲了这么多，大家是不是明白了？躺平和内卷其实是有天生区别的。能够躺平的人内卷度（高斯曲率）必须是零，也就是即使他们在某个方面非常内卷（曲率很大）但是一定在另一方面本来就是躺平的（曲率为零），这样当他们想要躺平的时候，就会非常容易办到（圆柱体展开成平面）。
但一个原本在各个方面都内卷的人（如球体表面），可以在一个方面多卷一些，在另一方面少卷一些，但是总的内卷程度（高斯曲率）是不变的，也根本不可能躺平。如果一个原本内卷的人非要躺平，就会像橘子皮一样裂开了。
END
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