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《哥德尔证明》

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选自《哥德尔证明》第一章导论

1931年，一篇相对较短的论文发表在一本德国的科学期刊之上，这篇论文有一个令人望而生畏的标题：“论《数学原理》及相关系统的形式地不可判定的命题” 。论文的作者是库尔特•哥德尔（Kurt Gödel），当时，这位维也纳大学的年轻数学家刚好25岁，但在1938年之后，他就一直担任普林斯顿高等研究院的终身成员。这篇论文是逻辑和数学历史上的一座丰碑。当哈佛大学在1952年授予哥德尔荣誉学位时，荣誉状将这项工作描述为现代逻辑中最重要的进步之一。

哥德尔（右）与爱因斯坦在普林斯顿同行

但是，在哥德尔这篇论文发表的时候，大多数数学家既困惑于论文的标题，也难以理解论文的内容。标题中所提到的《数学原理》（Principia Mathematica），乃是阿尔弗雷德·诺斯·怀特海（Alfred North Whitehead）和伯特兰•罗素（Bertrand Russell）合写的三卷本关于数理逻辑和数学基础的不朽巨著；数学的大多数分支中的成功研究却并不需要预设熟悉这部著作。此外，哥德尔的论文所处理的一组问题一直以来只引起过相当少一部分学者的兴趣。在论文发表的那个时代，这个证明所用到的推理极其新颖，只有那些对一个高度专业化领域的技术性文献非常熟悉的人才能充分理解这个论证。纵使如此，哥德尔建立的结论现在被更广泛地认为是革命性的，因为它们具有广泛的哲学意义。本书的目的正是让非专业人士能够理解哥德尔成果的实质及其证明的一般特征。

哥德尔这篇著名论文要解决数学基础中的一个核心问题。为了有助于读者的理解，有必要预先简单说明一下这个问题产生的背景。毫无疑问，每个学过初等几何的人都记得这是作为一门演绎（deductive）学科来教的。几何学不是一门实验科学，对于实验科学来说，人们接受一个定理乃是由于它们与人的观察一致。一个命题能够作为一个明确的逻辑证明（logical proof）的结论而得以确立，这个观念可以追溯至古希腊人，古希腊人发现了所谓的“公理方法”，并且运用这种方法以系统的方式来发展几何学。公理方法包括不加证明地接受某些命题作为公理（或公设；例如，过两点只能画出一条直线这条公理）、由公理推导出该系统的所有其命题作为定理。公理构成了系统的“基础”；定理是“上层结构”，是仅借助于逻辑原则从公理得到的。

几何学的公理化发展给古往今来的思想家们留下了力量强大这一印象；因为相对较少的几条公理就具备了相当于由它们推导出的无穷多命题的全部力量。此外，如果这些公理的真可以通过某种方式而得以确立——实际上，两千多年以来，大多数学者都毫无疑问地相信这些公理对于空间来说是真的——那么，所有定理的真及其相互之间的一致性就自动得到了保证。由于这些原因，一代又一代杰出的思想家们都将几何学的公理化形式视为科学知识的最佳典范。所以，人们自然就会问，除了几何学之外，其他思想分支是否也能建立在一个牢靠的公理化基础之上？然而，尽管物理学的某些分支在古时候就有了公理化表述[例如，阿基米德（Archimedes）的理论]，只是直至现代，几何学仍然是唯一一个拥有被大多数学者所接受的可靠公理化基础的数学分支。

尽管如此，在过去的两个世纪之中，人们投入了比以往更多的力量和热情来探索公理化方法。数学的新分支和旧分支，包括关于人们熟悉的基数（或“整数”）属性的研究，都被提出了看似充分的一组公理。由此，观念上渐渐形成了一种氛围，在这样的氛围中，人们默认数学思想的每一个部分都能够被提供出一组公理，这些公理足以系统地发展出给定研究领域的无穷无尽的全部真命题。

哥德尔的论文证明，这个假设是站不住脚的。他向数学家们展示了令人震惊的悲观结论：公理化方法有其固有的局限性，由于这样的局限性，就连非负整数的属性被完全公理化的可能性都被排除了。他还进一步证明，很大一类演绎系统——例如数论——都不可能建立其内在的逻辑一致性，除非人们采用非常复杂的推理原则，使得这些推理原则的内在一致性与那些系统本身的内在一致性都同样令人怀疑。基于这些结论，数学的很多重要领域都无法得到最终的系统化，数学思想的很多重要分支也不能绝对保证不存在内在矛盾。

所以，哥德尔的发现动摇了先入为主的、根深蒂固的观念，摧毁了古来就有、近来又被数学基础研究所新鲜滋养起来的公理化希望。但是他的论文也不全都是否定性的。它将一种新的分析技术引入了基础问题的研究，就其本性和成效而言，这种新的技术可以与勒内•笛卡尔（René Descartes）引入几何学的代数方法相媲美。这种技术提出并引发了逻辑和数学研究中的新问题。它激起了对一度广为接受的数学哲学观乃至更为一般的知识哲学观的重新评价，这种重新评价至今仍在进行中。

哥德尔这篇划时代的论文中的证明细节，如果没有经过相当的数学训练，是很难理解的。但是，他的证明的基本结构与其结论的核心部分可以被读者所理解，只需要非常有穷的数学和逻辑准备。为了达到这样的理解，读者可能会发现，对数学史和现代形式逻辑的某些相关的发展做一个简短的说明是有帮助的。本书接下来的四个部分将专门对此做一个概述。