我们小时候就知道阿基米德的名言:给我一个支点,我可以撬起地球。说的是利用一根杠杆可以省力。
阿基米德真的能够撬起地球吗?要做出判断,首先要知道地球的质量,而要测量地球质量,首先要测出地球半径。
测出地球半径的人
人们在很早的时候就知道了地球是球体。最早的学霸毕达哥拉斯第一个提出了地球的概念,而亚里士多德总结了证明地球是球体的三种方法:
1. 越往北走,北极星越高;越往南走,北极星越低;
2. 远航的船只先露出桅杆顶,慢慢露出船身;
3. 在月食的时候,地球投到月球上的形状为圆形。
既然地球是球体,如何测量地球的半径呢?古希腊的埃拉托斯特尼第一个测量了地球的半径。
埃拉托斯特尼
他的测量方法是这样的:夏至日,太阳光直射北回归线。而埃及的城市塞恩(今天阿斯旺水坝附近)刚好在北回归线附近,所以夏至日的正午,太阳光会垂直于塞恩的水平面,射入塞恩的一口深井中。
与此同时,在塞恩北方的城市亚历山大,太阳光并不直射地面。他通过测量此时亚历山大城中一个石塔的高和影子长度的关系,得到了此时太阳光与垂直地面方向的夹角,大约为7度。
由于太阳到地球的距离远远大于地球的半径,因此太阳光到达地球时接近于平行光。从上图中的几何关系可以看出:亚历山大和塞恩与地心连线的夹角就是7度,所以两座城市之间的距离大约是地球圆周长的7/360。通过测量两座城市之间的距离,就得到了地球的周长和半径。如今我们知道,地球赤道的周长大约40000km,而半径大约6400km。
测出地球质量的人
虽然早在两千多年前,地球半径就被测量出来了,但是测量出地球质量却是十八世纪的事了,也就是三百年前。
牛顿为了解释苹果为什么能落地,提出了万有引力定律:自然界的任意两个物体之间都相互吸引,引力大小与二者质量的乘积成正比,与距离的平方成反比。写成公式就是:
其中,F是引力,G是万有引力常数,
分别是两个物体的质量,r是二者的距离。
如果两个物体的尺寸远远小于它们之间的距离,就可以把物体当作点来处理。但是如果物体距离比较近,那么二者的距离究竟从什么地方开始计算,就比较复杂了。但是,如果是质量分布均匀的球体,二者之间的万有引力还是比较好算的,那就是把它们球心的距离代入表达式中的r即可。
比如,地球上有一个苹果。苹果相比于地球半径很小,所以可以把苹果看作一个点。此时苹果与地心之间的距离就是地球半径R,设地球质量为M,苹果质量为m,二者之间的万有引力就是:
这个力就是地球对物体的吸引力,它接近于物体的重力,在这里,我们姑且认为它就等于物体的重力。人们把重力与物体质量的比称为重力加速度:
这样,我们就可以得到
。这个公式就称为黄金公式。
古希腊时代人们就测量出了地球半径R=6400km,牛顿之后,人们又测量出了重力加速度g=9.8N/kg,所以,只需要测量出万有引力常数,就可以知道地球的质量了。
牛顿在1687年的巨著《自然哲学的数学原理》中完整地提出了万有引力定律,但是限于实验条件,牛顿自己并没有测量出这个量。直到一百多年之后,英国科学家卡文迪许才通过精巧的扭秤实验测量出了G的数值。
卡文迪许扭秤实验使用了微小形变放大的方法,原理图如下:
用一根线悬挂一根木棒,木棒两侧各放置一个小铅球,再用两个大铅球去吸引小铅球。此时木棒就会发生转动,通过测量转动的角度,卡文迪许就可以计算两球之间的吸引力,再通过万有引力公式,计算出万有引力常数的值。目前的测量结果是
,也就是说,两个质量为1kg的球相距1m时,引力只有
,这么小的引力,怪不得牛顿没有测出来。
通过以上步骤,人们终于可以计算地球质量了,大约是
。卡文迪许测量了万有引力常数,得以计算地球质量,所以人们称卡文迪许为“测出地球质量的人。”为了纪念卡文迪许,英国剑桥大学物理系实验室被命名为“卡文迪许实验室”,这也是目前世界上最顶尖的实验室之一。
阿基米德能撬起地球吗?
现在我们终于可以讨论撬地球的问题了!我们知道,阿基米德的时代,人们还没有理解引力的概念。我们姑且认为阿基米德是要在地球上撬起一个与地球相同质量的物体,那么他是否做得到呢?
根据阿基米德发现的杠杆原理:一个杠杆要平衡,两段施加的力与力臂的乘积应该相等,即:
,这样一来,如果想用小力去撬动大物体,就需要小力的力臂远远大于大物体重力的力臂。
假设阿基米德有100kg,而地球质量为
,阿基米德要撬动地球,力臂就需要是地球那一段力臂长度的
倍。
如果阿基米德要把地球撬起1厘米,那么根据杠杆臂长的比例关系,阿基米德一端所需要下降的距离就是
米,大约相当于6万光年。也就是说,阿基米德想凭借自身重力撬起地球的话,即使一切实验设备都准备好了,而且他能够以光速运动,他也需要6万年的时间才能将地球撬起一厘米。显然,这是不可能的。
阿基米德的豪言壮语点破了杠杆原理,但是却忽视了地球与人在质量上的巨大差别。
本篇文章摘录自:
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