三角函数中的 “裂项相消” 法
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三角函数中的 “裂项相消” 法
第一次碰到三角函数作为数列题目的背景，并且采取裂项相消法进行求解是我在读高中期间，做到的2011年安徽卷理科数学卷的时候。
题目如下：
在数1和100之间插入个实数，使得这个实数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作再令（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设求数列的前项和.
第一问相对来说非常简单，是送分题目，小伙伴们要把握好节奏，间隔数和数列项数分清楚应该没有大问题。
我们重点放在第二问的解答上面，根据第一小问，我们知道
所以可以得到：
大部分同学可能都会卡在这里，这个题目其实是当年文科题目的大题压轴题，说明命题老师还是很清楚对于大部分同学做到这里之后想要继续还是有很大的难度的。
其实到这里之后我们如果能够想到利用裂项相消的话会有针对性的尝试。我们思考一下我们最常见的裂项相消公式，是不是下面这种形式：
我们可以发现能用裂项相消法的时候，通项公式一般是两个因式乘积的形式，并且两个因式的差值为定值，比如说(1)中的 
和 
,(5)中的 
和 
。
如果我们能够发现这个规律，再来看题目当中的通项公式
也是两个因式乘积的形式，并且两个因式 
和 
的差值为定值1.
但是这种情况下的裂项相消公式我们并不熟悉，所以要继续摸索和尝试，既然和正切相关，我们肯定要联想到运用三角函数的正切公式：
关于正切的公式并不多，我们都列举出来，首先是两角和与差的正切公式
以及由此推导出来的倍角公式：
而其他的一些公式诸如积化和差公式或者三倍角公式基本不再高考试题的考察范围之内，所以前面所列的最最基本的公式足以解决这道题目。
很明显首先是两角和与差的正切公式中出现了
的式子，符合 
的形式，
再者，我们既然是想使用裂项相消的方法，必然要“裂项”，所以，我们必定需要在差角公式上做文章：
很明显，我们可以令
我们可以得到：
所以有
再将这个式子变成更一般的情况：
得到：
已经把乘积变成相减的形式，成功裂项。
解决这个题目就显得很简单了，按照裂项相消的套路：
顺利得到最终结果。
这里给大家改编一个题目大家来练练手：
已知求数列的前项和．
解析:
所以
所以
我们对这个题目继续进行拓展：
对于三角变换中的裂项求和问题，主要是找到正弦、余弦、正切之间的联系，及和角，差角，倍角，半角，切割化弦等公式中的差值关系，适当变形达到裂项的效果，一些常见的结论也需记忆如:
已知数列 
是公差为
的等差数列，则
这里举一个栗子：
化简： 
裂项法： 
原式= 
继续进行探索：
证明:对任一自然数及任意实数有:
解析:
同理:
累加得:
此外，我在看一些参考资料的时候还发现了下面的公式：
三角函数数列求和裂项相消：
用三角公式裂项还能证明：
有兴趣的小伙伴可以进行证明，或者自己编写试题。
下面给出三角函数裂项相消的一些题目：
已知数列 的通项 
，求数列的前n项和Sn．
解：因为
所以
将裂项相消法用到通项为三角函数型的求和问题中，进一步拓展了这种方法的运用范围，有利于大家的思维空间，也实现了三角函数和数列的有机联系。
彩蛋：又发现一个超级有趣的题目：
求证：
这5个角 
并不是特殊角, 但它们的余弦和却是一个常数, 和谐的把它们包容在一起。正如欧拉公式一样和谐： 
。
证明：
左边=
=右边
完美结束。
如果大家看完这篇文章，能有很大的收获，我就开心啦。希望大家喜欢，更多文章敬请期待。
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