三角函数：24道素质题
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三角函数：24道素质题
（一）话不多说，直接上题
1、 
, 
, 
,则 
_____________
2、已知 
是椭圆，求离心率 
.
3、在锐角 
中，证明:
4、 
,其中一条对称轴为 
， 
在 
上单调，求 
的最大值。
5、 
是由 
右移 
个单位得到的，求 
。
6、已知 
, 
,求 
。
7、 
,求 
的值。
8、 
,求 
的值。
9、 
,求 
的值。
10、已知 
, 
,求 的值。
变式：在四边形 
中， 
,求在四边形 面积的最大值。
11、在 中,角 
的对边分别为 
,满足 
, 
,求的面积。
12、在 
中, 
，则 的内接正三角形 
(即三个顶点分别在三条边上)面积的最小值为___________.
13、定义在 
上的函数 满足 
,又当 
时，有 
成立。若 
,则实数 
的取值范围是________________.
14、已知函数 
在区间 
内单调，且在区间 
内恰有三条对称轴，则 的取值范围是____________.
15、在 中,角 的对边分别为 ,且 
，则 
____________.
16、在中,角 的对边分别为 ,若 
成等差数列，则 
的最小值为__________。
17、实数 
满足 
,若 
恒成立，则 
的取值范围是___________.
18、在 中,角 的对边分别为 ,且满足 
，则面积的最大值为_______.
19、函数 
,若直线 
是曲线 
的一条对称轴，则 
_____________.
20、如果函数 
的图象关于直线 
对称，那么 
___________.
21、 
的值为___________.
22、已知函数 
, 
,若 
,且 
,证明： 
23、已知函数 
,则 的最小值为_____________.
24、在 中,角 的对边分别为 , 
, 
的角平分线交 
于点 
，且 
，则 
的最小值为__________.
（二）详细解答
1、 , , ,则 _____________
解:看到这个式子我首先想到二倍角公式中的一些推论，
那么剩下的就好办了，
由于，故 
,而 
在 
是单调的，
故 
,那么 
高考题目都是为我们设计好的。
2、已知 是椭圆，求离心率 .
解：一看到这个题目，有人可能会惊讶这也是一个椭圆！我们平时见到的椭圆都是正着摆的，但你又没有想过有斜着的椭圆，这就是一个。
那斜着的椭圆该怎么求离心率呢？这就要求我们理解椭圆的本质我们知道椭圆中的 
对应的就是椭圆的长轴长和短轴长，而长轴长和短轴长是经过椭圆中心的弦长中最长的和最短的，所以我们只要求出这个就能求出离心率。
首先，如果我们把 
代入椭圆方程，可以发现原方程不变，这就说明这个椭圆关于原点对称。那么接下来我们只要求曲线上的点到原点的距离就行了
我们令 
，代入椭圆方程，即 
其中的 
就是曲线上的点到原点的距离
当 
取 
时， 
;当 取 
时， 
,那么 
,
故 
3、在锐角 中，证明:
证明：这题如果知道方法不难证，不知道的话可能要想好一会儿
由
，得 
，
又 
, 
，故 
，
同理 
， 
，故
这题难就难在要求构造一个不对称的不等式来证明这个比较对称的不等式
4、 ,其中一条对称轴为 ， 在 上单调，求 的最大值。
解：经常做题的同学，这题应该是做过的
解这道题主要有三个步骤
①由于一条对称轴为 ，周期为 
,故对称轴为 
②单调区间必定在相邻两条对称轴之间，故
③由 
,又 
故 
故 的最大值为 
5、 是由 右移 个单位得到的，求 。
解：由于左右平移不会影响函数的最大值，故 
,解得 
那么 
6、已知 , ,求 。
故
7、 ,求 的值。
8、 ,求 的值。
解：做这种题目主要是观察角之间的关系
我们发现 
,于是有
9、 ,求 的值。
解：这里也是一样，要观察角之间的关系
由得 
那么 
故
10、已知 , ,求 的值。
解：这题大家应该都做过，对这两个式子平方
两式相加得 
，故 
变式：在四边形 中， ,求在四边形 面积的最大值。
解：那这题和上一题有什么关系吗？
我们先画个图
如图10，连接 ，设 
, 
在 中运用余弦定理，有 
在 
中运用余弦定理，有 
代入已知数据，消去 
，整理得 
①
而面积 
现在你看出来和上一题有什么关系了吗？如果还没有看出来，我们在变形一下。
两式相加得 
那么当 
时 
取最大值， 
此时 
,也就是说这个四边形是圆内接四边形，也算是这道题的一个副产品
11、在 中,角 的对边分别为 ,满足 , ,求的面积。
解：解这题的时候会发现总感觉条件不够，这时候很有可能就是要通过类似由 
，确定 
的方法来解。
由 可得 
进而得到 
,而 
， 
所以我们就有 
，也就是上面两个不等式都要取到等号
此时 
, 
，那接下来就好办了。
由余弦定理， 
,代入已知数据，得 
，解得 
或 
12、在 中, ，则 的内接正三角形 (即三个顶点分别在三条边上)面积的最小值为___________.
解：我们先来画个图
在三角形中，我们可以考虑设角。设 
,题目求面积的最小值，也就是求边长的最小值，所以我们设 
。那么有 
, 
, 
在 
中，有 
，故 
而 
,即 
那么 
故当 
时， 
取最小值 
此时 
的面积为 
13、定义在 上的函数 满足 ,又当 时，有 成立。若 ,则实数 的取值范围是________________.
解：这题明显是与导数有关的，要做出这题还要有一定的敏锐（俗称观察力），要求的构造能力较高。
来处理一下这个不等式，可得 
，这里就要考察你的观察力了，我们把 
移过去，即 
也就是 
。
我们令 
，
那么当
时， 
，
那
的情况呢？我们可以研究一下 
的奇偶性
所以这是个奇函数，于是在 上单调递增
那么由 
可得 
故 的取值范围是 
14、已知函数 在区间 内单调，且在区间 内恰有三条对称轴，则 的取值范围是____________.
令 
， 
,由 在区间 内单调，可得 
,故 
，并且由另一个条件，可大致判断 
，因为 
时，周期为 
，一个周期内是不会有三条对称轴的；但只要比1大一点点，就有可能。故 
由 在区间 内恰有三条对称轴， 
, 
故
整理得 
，这两个条件是要同时满足的，并且
当 
时，第一个式子不符合题意;
当 
时， 
，再考虑 ，可得 
;
当 
时， 
，再考虑 ，可得 
;
当 
时，第二个式子不符合题意。
综上， 的取值范围是 
15、在 中,角 的对边分别为 ,且 ，则 ____________.
解：由正弦定理可得 
(由于题目要求 
，所以保留 )
由余弦定理可得 
，代入上式
而 
,
故只能 
那么 
16、在中,角 的对边分别为 ,若 成等差数列，则 的最小值为__________。
解：由 成等差数列可知 
，由正弦定理可得 
，由这个以及题目要我们求的，可以联想到柯西不等式
那么接下来就是要求 
的范围
故 
，那么 
故 
取等条件是 
, 
, 
17、实数 满足 ,若 恒成立，则 的取值范围是___________.
解：设 
, 
那么 
, 
只要 
而 
故 
18、在 中,角 的对边分别为 ,且满足 ，则面积的最大值为_______.
解：由 可得 
故 
，即 面积的最大值为1
取等条件是 
，即 
19、函数 ,若直线 是曲线 的一条对称轴，则 _____________.
解：
因为直线 是曲线 的一条对称轴，所以 
那么 
故 
20、如果函数 的图象关于直线 对称，那么 ___________.
解：①由于直线 是函数 的对称轴，故 
是函数 的最值，而函数 的最值又可以表示为 
故 
②易知函数 的周期 
，故 
必然是函数 的零点
故 
③由函数 的图象关于直线 对称，可知 
21、 的值为___________.
解：很容易看出来 
22、已知函数 , ,若 ,且 ,证明：
证明：
故
而 ,且
故 
成立
故原命题成立，即
23、已知函数 ,则 的最小值为_____________.
解：
法一：
令 
，得 
或 
当 时 
,此时 
当时 
此时 
故 的最小值为 
法二：
由于 是奇函数，所以最大值与最小值互为相反数
故当 
取最大时，即可知 的最小值为多少
故 的最小值为
24、在 中,角 的对边分别为 , , 的角平分线交 于点 ，且 ，则 的最小值为__________.
解：
由
可得 
故 
即 
故有 
当且仅当 
时等号成立
故 的最小值为9
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