三角函数：34个公式、2个定理的证明（三角前传）

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三角函数：34个公式、2个定理的证明

（三角前传）

本文其实来自我的公众号之前发表的《数学袋鼠》，那时我的公众号名字还叫：数学跑道。由于公式证明比较分散，故而归纳整理出来，方便大家学习。

三角前传

我问过很多同学：三角函数学得怎么样啊？

学生答：挺好的。

我再问：说说 sin(α＋β) 怎么证明？

学生：这我不会。

大家想想，公式和定理都不能认识清楚，能学好三角函数吗？

没有公式和定理的基础，学再多方法、做再多题，也终归是“银样镴枪头，中看不中用”！

定理和公式要会背诵，并且会推导、能理解。

做题时每一步的依据，是什么公式，是什么定理，都要心里边清清楚楚。

这才算打好了基础。

是为三角前传。

（1）、cos(α＋β)=cosα·cosβ－sinα·sinβ 的证明

【证明方法一】：

如上图所示：

角α的终边与单位圆x²＋y²＝1交于点A(cosα,sinα)；

角(-β)与单位圆x²＋y²＝1交于

点B(cos(-β),sin(-β)),

因为cos(-β)=cosβ,sin(-β)=-sinβ,

所以，可将点B调整为：B(cosβ,-sinβ)

我们发现：∠AOB＝α－(－β)＝α＋β

【证明方法二】：

如上图所示：

单位圆O:x²＋y²＝1与x轴交于点D(1,0);

角β的终边与圆O交于点B(cosβ,sinβ);

∠AOD的终边与圆O交于点A(cos(α+β),sin(α+β));

角(-α)的终边与圆O交于点

C(cos(-α),sin(-α)),即C(cosα,-sinα).

因为∠AOD=∠BOC=α＋β

所以|AD|＝|BC|,由两点间距离公式知：

（2）、cos(α－β)=cosα·cosβ＋sinα·sinβ 的证明

【证明方法一】这个公式最简单的方法就是：在cos(α+β)的基础上进行证明。

由cos(α＋β)=cosα·cosβ－sinα·sinβ可知：

cos(α－β)

=cos［α＋(-β)］

=cosα·cosβ－sinα·sin(-β)

=cosα·cosβ－sinα·(-sinβ)

=cosα·cosβ＋sinα·sinβ

∴cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ

证毕。

【证明方法二】这个公式也可以独立证明，跟前面证明con(α＋β)的方法相似。

由上图易知：∠AOB＝α－β

（3）、 sin(α＋β)=sinα·cosβ＋cosα·sinβ

（4）、 sin(α－β)=sinα·cosβ－cosα·sinβ

的证明

（3）、【sin(α＋β)的证明】：在cos(α－β)的基础上进行证明。

由诱导公式可知：

sin(α＋β)

（4）、【sin(α－β)的证明】：在sin(α＋β)的基础上证明。

sin(α－β)

=sin［α＋(-β)］

=sinα·cos(-β)＋cosα·sin(-β)

=sinα·cosβ＋cosα·(-sinβ)

=sinα·cosβ－cosα·sinβ

证毕。

tan(α＋β)和tan(α－β)这两个正切公式的证明

（5）.正切和角公式tan(α＋β)的证明：

（6）、正切差角公式tan(α－β)的证明。在tan(α＋β)的基础上证明。

tan(α－β)

=tan［α＋(-β)］

sin2α,cos2α,tan2α等二倍角公式的证明

（7）、sin2α的证明：

我们前面证明过：

sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ

令β＝α，则有

sin(α＋α)＝sinα·cosα＋cosα·sinα

即：sin2α＝2sinα·cosα ··· ···①

证毕。

（8）、（9）、（10），cos2α的三个公式的证明：

我们前面证明过：

cos(α＋β)=cosα·cosβ－sinα·sinβ

令β＝α，则有

cos(α＋α)＝cosα·cosα－sinα·sinα

即：cos2α＝cos²α－sin²α··· ···（8）

结合sin²α＋cos²α＝1,可知：

cos2α

＝cos²α－sin²α

＝cos²α－(1－cos²α)

＝2cos²α－1

即：cos2α＝2cos²α－1 ··· ···（9）

又cos2α

＝cos²α－sin²α

＝(1－sin²α)－sin²α

＝1－2sin²α

即:cos2α＝1－2sin²α ··· ···（10）

注意:cos2α有三个表达式。

（11）、tan2α的证明：

sin²α和cos²α的两个降次公式的证明

【一】sin²α 的降次公式的证明：

由cos2α＝1－2sin²α知：

2sin²α＝1－cos2α

【二】cos²α 的降次公式的证明：

由cos2α＝2cos²α－1知：

2cos²α＝1＋cos2α

【总结】：降次公式是非常重要的。在三角函数图象的题目中，一般碰到高次的三角式，往往利用降次公式化简，然后再用辅助角公式，将原式化为:Asin(ωx＋φ)＋b的形式，这样，就可以求函数的周期、单调区间、对称轴、对称中心和最值等等。

我们将证明：辅助角公式。

【注意点①】a为sinx的系数，b为cosx的系数，φ由点(a,b)来确定，记作φ～(a,b).

【注意点②】若a<0，则点(a,b)出现在第Ⅱ或第Ⅲ象限，此时，|φ|＞½π，这不符合我们的习惯，我们希望|φ|越小越好。一般我们希望|φ|<½π,这就要求点(a,b)出现在第Ⅰ或第Ⅳ象限。所以，我们要求：

若a>0，则直接使用辅助角公式；

若a<0,先提个负号出去，使里面的sinx的系数变为正数，再使用辅助角公式。

三倍角公式：sin3α和cos3α 的证明

（15）、sin3α的证明：

sin3α

＝sin(2α＋α)

＝sin2α·cosα＋cos2α·sinα

＝2sinα·cosα·cosα＋(1－2sin²α)·sinα

＝2sinα·cos²α＋(1－2sin²α)·sinα

＝2sinα·(1－sin²α)＋(1－2sin²α)·sinα

＝2sinα－2sin³α＋sinα－2sin³α

＝3sinα－4sin³α

即：sin3α＝3sinα－4sin³α ………… （15）

证毕。

（16）、cos3α的证明：

cos3α

＝cos(2α＋α)

＝cos2α·cosα－sin2α·sinα

＝(2cos²α－1)·cosα－2sinα·cosα·sinα

＝(2cos²α－1)·cosα－2sin²α·cosα

＝(2cos²α－1)·cosα－2·(1－cos²α)·cosα

＝2cos³α－cosα－2cosα＋2cos³α

＝4cos³α－3cosα

即：cos3α＝4cos³α－3cosα ………… （16）

证毕。

【注】：看完这篇文章后，建议大家看一下前面的 :[计算能力]（5）如何求sin18°的值？相信你会有更大的收获！

三角“万能公式”的证明

首先声明：“万能公式”是一种夸张的说法。“万能公式”其实就是用tanα表示sin2α、cos2α 和 tan2α。看过下面的证明，你将会明白：“万能公式”是“二倍角”公式的一种变化。

万能公式①

万能公式②

万能公式③

【总结】：大家会发现：万能公式③其实就是正切的二倍角公式，即（11）。

三角函数的两组半角公式的证明

【第一组】普通半角公式的证明

这一组公式实际上是：“降次公式”开方之后的结果。

【总结】只要记住了“降次公式”，再看看上面的推导过程，记住这一组“半角公式”是很容易的。

【第二组】正切半角公式的证明

这一组公式其实跟上一组的第③个公式有关，也就是说，记住了上一组的公式③，这一组公式就好记了。

【提醒】：第二组的“正切半角公式”很有用，很有威力，属于高手必备。记忆方法我在前面已经提醒过了，大家务必用心记住！

三角函数中的“积化和差”公式的证明

【第一组】sinα·cosβ和cosα·sinβ的积化和差的证明：

【第二组】cosα·cosβ和sinα·sinβ的积化和差公式的证明：

【总结】：“积化和差”属于三角函数的高级公式，只有少数中学生能掌握。它的记忆也不难，只要看懂了我写的推导过程，自己在纸上演算几遍，即可掌握。一旦掌握这些高级公式，你便与其他学生区别开来，也就是说，你已经是与众不同的了！

我们将证明三角函数的“和差化积”公式。这是一组三角函数的高级公式，只有极少数中学生才能掌握。掌握这组公式后，你的三角恒等变形能力将得到大幅度提升！

【总结】：很多同学说，“和差化积公式”难记。但是你看，它这么难证，我不也是证出来了？我能证明出来，你却记不住，岂有此理啊？这组公式，其实是有规律的，发现了规律，就好记！但我不想再说了，总得留些让你们思考吧，大包大揽的都不是好家长！

我们将证明三角函数的“正弦定理”

【证明】：

（Ⅰ）.情形1：在直角三角形中。

【Ⅱ】.情形2：在锐角三角形中。

(Ⅲ).情形3：在钝角三角形中。

我们将证明三角函数的“余弦定理”。

【注】：平面向量与三角函数的关系很密切。用向量证明“余弦定理”，简洁明快，易于理解。对于公式的证明，要引起重视。全国高考及各省市高考，对于公式证明的考查，是经常出现的。四川省高考，考过cos(α＋β)、cos(α－β)、sin(α＋β)的证明；陕西省高考，考过余弦定理、等比数列求和公式的证明；全国卷，考过“线面垂直的判定定理”的证明。类似的例子，不胜枚举。

我们将证明：三角形的向量面积公式。

这是一个很少有人知道的面积公式！

但是它在平面解析几何中有广泛的应用。