有一位网友通过解一元二次方程得到了3=0的结果,于是他宣布自己推翻了现有的数学体系。这是真的吗?
最近有个小朋友跟我说,他在网上看了一个帖子,说有一个人推翻了现有数学体系,因为他可以证明3=0。这是怎么回事呢?今天我们来讨论一下这个问题。
01
  3=0?  
我们首先来说一下这个帖子的证明。帖子的作者构造了一个方程:
 (1)
这是一个一元二次方程。显而易见,0不是方程的根,于是就可以让这个方程的等号两边同时除以x,得到下面这个新方程:
 (2)
然后再把式子(1)和(2)作差,左边减左边,右边减右边,得到如下的方程:
因为x≠0,现在在等号两边同时乘以一个x,就变成了:
显而易见:方程的根是
好,方程解完了,我们再把这个解代回到原方程就会有
现有数学体系被推翻了!
02
  一元二次方程 
问题出在哪?
我们首先来讨论一下初中数学内容:一元二次方程
根据求根公式,这个方程有两个根:
根号里边的部分叫做判别式
在公式里,判别式要开平方。在上初中的时候我们知道:只有非负数才有平方,所以我们有这样的结论:判别式大于等于0时,一元二次方程有两个实数根,而判别式小于0时,一元二次方程没有实数根。
明白了这个道理之后,我们再回过头来看最开始的方程(1)
 (1)
这个方程的系数a、b、c都是1,按照一元二次方程的解法,它的判别式
它是小于零的,说明这个方程没有实数根。既然连实数根都没有,解出x=1的结果肯定是不对的。
03
 复数根  
1799年,22岁的数学王子高斯提交了自己的博士论文《单变量有理整代数函数皆可分解为一次或二次式的定理的新证明》,用人话说就是:n次多项式方程就一定有n个根,这个结论被称为代数基本定理。
高斯
等会儿,刚才我们还说判别式小于零的时候一元二次方程没有实数根,现在又说n次方程一定有n个根,这不矛盾吗?
我们先回忆这样一个情景:小学一年级的时候,如果老师问我们:1减去2等于几,我们一定会回答算不了,因为我们对数的认识只停留在自然数上。不过,如果引入了负数,就能得
这就是数域拓展——从自然数N拓展到了整数Z。
如果小学二年级的时候,老师问我们:10除以3等于几,可能我们又会回答算不了,因为10除以3不是整数。不过,如果引入了分数,10除以3就能算了。
整数和分数统称有理数,从整数Z到有理数Q,又是一次数域拓展。
我们继续想:如果小学三年级的时候,老师问我们3的平方根是多少,我们还是会回答算不了,因为3的平方根不是整数也不是分数。但是,如果引入了无理数,3的平方根就又有了。
有理数和无理数统称实数,从有理数Q到实数R又是一次数域拓展。
继续,如果上了初中,老师问我们:-1的平方根是多少?我们一样会回答:不存在。因为任何实数的平方都不可能是负的。实际上,如果引入了虚数,-1的平方根就又存在了。
其中i是虚数的单位。实数和虚数,统称复数。从实数R到复数C,又是一次数域拓展。
数域扩张
对于方程
由于判别式小于0,它没有实数根,但是依然有复数域内的根。按照求根公式,
在初中的时候我们学过:任何一个实数,都表示成实数轴上的一个点。其实,复数也可以对应于复平面上的一个点:过实数轴上的原点做一个实数轴的垂线,这叫做虚轴,实轴和虚轴拓展成的二维平面就叫复平面。
任何一个复数都可以表示成复平面上的一个点,它的横坐标叫做实部,纵坐标叫做虚部。比如刚才方程的两个根,在复平面内就表示成下图:
大家看,这个一元二次的两个根没有落到实数轴上,所以它没有实数根,只有两个复数根。而且这两个根都不是1.
04
 方程的增根  
那么,x=1又是怎么出来的呢?
初中二年级,我们学习了分式方程,老师会讲到增根的概念。比如一个方程
有两个根
现在,我让方程两边同时乘以x-a,得到
显然,除了原来方程的两个根之外,这个方程还多出了一个根
因为方程两边同时乘以x-a,就会引入根x=a,它并不是原来方程的根.这样的根就就称之为原方程的增根。
现在,我们就可以研究一下前面帖子里的证明方法问题出在哪里了。我们令
 (1’)
第一步两边同时除以x,得到
 (2’)
然后把式子(1’)和(2’)作差,变成了
再让等号两边同时乘以x,于是就变成了
大家看,帖子里纷繁复杂的操作,最终不过是在两边同时乘以(x-1)。这样原来的二次方程就变成了三次方程,它的根从两个变成了三个——多出了一个增根x=1。
将增根代回原来方程,显然是不合理的。
如果把这三个根画在复平面内,它们会落在一个半径为1的圆上,并且彼此夹角都是120度。
还挺有趣的。
这些知识都是我上初中的时候数学老师教给我的,回想起来历历在目,仿佛就在昨天。我初中的老师们,你们还好吗?2021年,祝所有的老师平安健康。
初中合影

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