世界上最大的旅店在在马来西亚的的一座高山上,叫做第一世界酒店,有6000多间房间,如果一个人要住遍这里的房间,大约需要17年的时间。
尽管酒店有很多房间,但是如果到了旅游旺季,这个旅店还是有住满的可能。此时再来一名旅客,酒店就没法安排了。
但是,数学家希尔伯特构建了一个旅店,就算住满了,还是可以安排新来的旅客,这是怎么回事呢?
1希尔伯特的旅店
希尔伯特先生开了一间旅店,它有无限多个房间。房间是编好号码的,分别是1号、2号、3一直到无穷。
有一天,旅店的生意特别好,所有房间都住满了人。
正当希尔伯特准备挂起“客满”的牌子时,又来了一个旅客,这个旅客要求住店。希尔伯特告诉他:所有的房间都已经被人住满了。客人当即在酒店大堂撒泼打滚,要求必须给安排一间房,希尔伯特无奈的说:好吧,那我只好打扰一下其他旅客了。
希尔伯特的方法是这样的:
首先,房间是编号的,分别是1号、2号、3号、….。让原来住在1号房间的旅客住到2号房间去,2号房间的旅客住到3号房间去,3号房间的旅客住到4号房间去也就是原来住在N号房间里的旅客搬到N+1号房间里。所有旅客都搬好之后,1号房间就空出来了,这名旅客就可以住进去了。
在经历了一番折腾之后,旅客终于安顿好了。希尔伯特也准备享受一下自己的休息时间。但就在这个时候,开来了一辆巴士,这辆巴士上面有无穷多个乘客,他们正愁没地方住,听说希尔伯特的神奇酒店就慕名而来,一样的,必须安排好每一个人,否则就要撒泼打滚。
幸运的是,这个巴士上的人也都是排号了序号的,他们分别是1号、2号、3,这让希尔伯特松了一口气。希尔伯特告诉他们:我又要折腾原来的旅客一次了。
希尔伯特让原来住在1号房间里的人搬到2号房间去,2号房间里的人搬到4号房间,3号房间里的人搬到6号房间也就是原来住在N号房间里的人搬到2N号房间里。这样一来,所有的奇数号房间就空出来了。
然后,巴士上的人就可以住到奇数号房间里了,方法是新来的1号旅客住进1号房间,2号旅客住进3号房间,3号旅客住进5号房间N号旅客住进2N-1号房间。这样一来,巴士上的人就都住下了。
你以为这样就结束了吗?太小看旅客了!
其他的无穷巴士听说有辆无穷巴士的旅客全部安排到了希尔伯特的旅店,全都蜂拥而至,也就是说:来了无穷辆巴士,每辆巴士上有无穷多个旅客,他们全都要求住店,要是安排不了就要撒泼打滚。
不过幸好,这些无穷巴士都是一个公司的,每个车都有编号,分别是1号、2号、3,每个车上的乘客也都是编号的,分别是
1号车:1号乘客、2号乘客、3号乘客、….
2号车:1号乘客、2号乘客、3号乘客、
3号车:1号乘客、2号乘客、3号乘客、
这也难不倒希尔伯特。希尔伯特说:只要所有人都听我安排,不仅可以所有人都有房间住,还可以空出很多房间来,免得回头又有无穷多个公司,每个公司有无穷多个巴士,每个巴士有无穷多个要撒泼打滚的旅客
安排是这样的:早在古希腊时代,欧几里得就证明了质数有无穷多个,这个证明我们会在“黎曼猜想”部分给大家介绍。所谓质数,就是除了1和它本身没有其他约数的数,比如2357111317…都是质数。
于是,希尔伯特可以通过如下的方法让大家都有房间住:
1. 首先,让原来住在旅店中的1号房间的旅客住在21=2号房间,原来2号房间的旅客住在22=4号房间,原来3号房间的旅客住在23=8号房间,也就是第N号房间的旅客住在2N号房间,这样原来的旅客就安排好了。
2. 然后,第一辆汽车中的1号旅客住在31=3号房间,2号旅客住在32=9号房间,3号旅客住在33=27号房间也就是第N号的旅客住在3N号房间。这样第一辆汽车的旅客就安排好了。
3. 按照这种方法,第二辆汽车中的旅客安排到5N号房间,第三辆汽车中的旅客安排到7N号房间
每一辆汽车选择的房间号都是一个质数的幂,质数有无穷多个,对应了无穷多辆汽车。质数的幂不可能相同,所以房间号也不会相同。
这样一来,不仅安排好了所有的旅客,那些不是质数幂的房间还空出来了,比如6号,10号,12反而空出了无穷多的房间。
2希尔伯特到底在说什么
希尔伯特是十九世纪末二十世纪初德国最伟大的数学家,在1900年世界数学家为迎接千禧年而举办的大会上,希尔伯特发表了著名的演讲,其中包含了23个著名的数学问题,其中就包含黎曼猜想、哥德巴赫猜想等著名猜想,为后来一百年的数学发展指明了方向。
而且,他强烈支持康托尔提出的集合论,并对无穷集合做出了自己的解释。比如,他用“势”的概念解释了无穷集合中元素个数多少的比较问题:
如果一个集合中每一个元素都可以和另一个集合中的元素建立一个一一对应的关系,那么这两个集合就是等势的,或者说两个集合中元素的个数是一样多的。
比如:一个集合是{A,B,C},另一个集合是{123},这两个集合就可以建立一一对应的关系,而且方法不止一种。
所以,这两个集合是等势的,元素个数是一样多的。
如果两个集合,每个集合都有无穷多个元素,比较元素个数的方法也是一样的:只要我们找到一种一一对应的关系,就证明了等势,两个集合元素就一样多了。
比如,希尔伯特的旅店房间集合可以看作是正整数的集合
房间={12345…..}
现在所有房间都住满了,又来了一个人,那么旅客可以看作是全体非负整数的集合:
旅客={012345…}
看起来旅客好像比房间多一个,但是我们还是可以建立一一对应的关系:把旅客编号x与房间号x+1对应。这样一来,房间和旅客都不重不漏,于是两个集合等势。因此我们可以说:全体正整数和全体非负整数一样多。
同样,我们可以观察全体正整数集合和全体正偶数集合
正整数集合={1234567…}
正偶数集合={2468..}
看起来正整数集合元素个数更多,因为多出了奇数135…,但实际上我们还可以建立一一对应的关系:把正整数x对应到正偶数2x上,这样两个集合的元素依然不重不漏,全体正整数和全体正偶数是一样多的。这就是希尔伯特的旅店为什么可以在住满的情况下安排新来的无穷多个旅客。
用这个方法来理解,还有更多很神奇的结论。比如:直线是一维的,平面是二维的,那么直线上的点和平面上的点哪个多呢?
很多人认为平面是无数条直线构成的,所以平面上的点比直线上的点多,但实际上根据希尔伯特的理论,平面上的点与直线上的点是一样多的
这是因为:我们可以把这条直线看做一个数轴,数轴上的点A可以用一个实数表示。例如我们考虑01之间的点,总能用一个实数表示出来,我们把奇数位的小数写作a1a2a3,偶数位的小数写作b1b2b3,这样这个点的坐标就可以表示成0.a1b1a2b2
平面上的点B可以用一对坐标(x,y)来表示,我们考虑(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)四个点组成的区域,里面的每一个点的横坐标可以写作0.a1a2a3,纵坐标可以写作0.b1b2b3...
这样一来,直线上的点A就和平面上的点B建立了一一对应的关系,所以直线上的点集合和平面上的点集合等势,二者的点一样多。这也就类似于希尔伯特的旅店为什么能够安排无限多个无限巴士上的乘客了。
甚至,意大利数学家皮亚诺提出了一种方案:可以用一条曲线填满一个平面,这就是著名的皮亚诺曲线。他的基本方法是将正方形分割成无限多个小正方形,然后把这些小正方形的中心用线连接起来。
你看,数学的世界是不是比现实的世界更加神奇?
李永乐
李永乐老师:北京大学物理与经济双学士,清华大学电子工程硕士;北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年,培养清华北大学生200余人,国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。
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