我们经常会听到这样的问题:0.999…无限多个9,它是等于1还是小于1呢?如果我们在网络上搜索这个问题,会看到许多用初等数学的方法进行的证明,例如:
可是,这些方法本质上都是文字游戏。要严格论证这个问题,必须使用实数的构造和公理化。也就是说:我们必须先弄清楚实数到底是什么。
点开视频,了解一下

1有理数和无理数
在《十分钟智商运动》这本书里,我们曾经讨论过第一次数学危机和无理数的发现。可是,在发现无理数之后的2000多年时间里,许多数学家都拒绝承认无理数的合理性,这是怎么回事?
我们知道:有理数就是可以写作两个整数的比的数,即若p=m/n,而m,n都是整数,则p就叫做有理数。比如,在一个数轴上,有理数包括-1,0,1,2这样的整数点,也包括1/2,1/4这样的分数点。
任何两个有理数之间都有无穷多个有理数
而且,在0和1的中点1/2是有理数,0和1/2的中点1/4也是有理数,0和1/4的中点1/8也是有理数…我们会发现,在0和1这两个有理数之间存在着1/2,1/4,1/8…等无限多个有理数。
其实, 这个结论是一般性的:任意两个有理数之间都存在无穷多个有理数——只要我们不停的取中点就可以了,这叫做有理数的稠密性。我们随便在数轴上画一个小区域,在这个小区域中都有无限多个有理数。
可是,尽管有理数是无限稠密的,但是却并不是一个挨着一个的,这叫做有理数的不完备性。比如,我们知道√2是无理数,不能表示成两个整数的比,所以任何一个不为零的有理数与√2相乘,结果也不能表示成两个整数的比——这一点可以通过反证法证明。因此,在0和1之间,存在的无理数有:
只要我们把分母一直增大,就能获得无限多个有理数。0和1其实可以代表数轴上任何两个有理数,所以任何两个有理数之间都有无限多个无理数。稠密的有理数,其实是有缝隙的。
有理数淹没在无理数海洋之中
数轴上的点并不是由有理数填满的,那么数轴上的点到底对应着什么样的数呢?或者说,能不能找到类似于有理数的定义那样明确的方法来定义数轴上的全体数字呢?这个问题直到19世纪末20世纪初,才由数学家们完成,这叫做数学公理化运动。
2数学公理化
数学最重要的是逻辑性。古希腊的欧几里得的《几何原本》为此做出了良好的表率。欧几里得首先提出了五条公设,以此为基础,通过严密的逻辑和推导得到了众多的几何定理。因为基础扎实,欧几里得几何在几千年的时间里都是经典的数学教材。
可是,在代数领域,数学家们的命运就没那么好了,古希腊时代发生了第一次数学危机讨论√2是不是有理数,牛顿等人发明了微积分之后,又发生了第二次数学危机:无穷小到底是什么。看起来,如果不能给数一个明确的定义,未来还会发生许多次数学危机的。
终于,世界上最顶尖的数学家们坐不住了,他们使用各种方法给数进行定义,称为数学公理化运动。这里面的典型代表有柯西、康托尔,以及我们这回的主人公——戴德金。
戴德金

戴德金是德国数学家,数学王子高斯的学生,黎曼和狄利柯雷的朋友。戴德金采用一种方法定义了无理数和实数,现在人们称为戴德金分割。
戴德金说:首先我们把全体有理数Q分为两个集合A和B,它们满足以下的性质:
  • A和B中没有相同的元素,数学上写作
  • A和B构成了全体有理数,数学上写作
  • A中的任何一个元素都小于B中的任何一个元素,数学上写作
其实,戴德金分割不过就是在数轴上切了一刀,这一刀左侧的所有有理数构成了集合A,右侧的有理数构成了集合B。只不过切割的位置有很多种,可以在有理数0处切割,可以在有理数1处切割,也可以在无理数√2处切割。要特别注意,分割之后的集合A和B的所有元素都是有理数,而不是实数。
戴德金分割

然后,通过欧几里得式的逻辑推理,戴德金就可以定义无理数和实数了。具体来说,戴德金分割可以分为以下几种情况:
   1.A集合中有最大元素,B集合中没有最小元素。
例如:我们在有理数2处进行戴德金分割,并且把2放在集合A中,这样,A中就有最大元素2,而B中没有最小元素。可以画一张图表示这种分割:
    2. A集合中无最大元素,B集合中有最小元素。
同样的,如果在有理数2处进行戴德金分割,并且把2放在集合B中,A中就没有最大元素,而B中有最小元素2。同样如下图所示
    3. A集合中无最大元素,B中无最小元素。
如果我们的分割点不在有理数处,例如我们在√2处进行分割,小于√2的有理数组成集合A,大于√2的有理数组成集合B,就会出现这种情况。接缝处的√2不属于任何一个集合,好像这把刀从有理数的缝隙穿过了。
是否还会有第四种情况:A中有最大元素,B中也有最小元素呢?我们可以利用反证法证明这种情况是不会出现的。
假设存在上述情况,A中最大元素是a,B中最小元素是b,因为两个集合没有公共元素,所以a≠b。因为a与b都是有理数,所以它们的平均数(a+b)/2也是有理数。但是这个有理数却既不在A中也不在B中,不满足A和B构成全体有理数的条件,所以这种分割不存在。
好了,现在我们已经明白了戴德金分割的含义了。用一把刀切割数轴,有的时候会切到一个有理数,有的时候会从有理数中间的缝隙漏过去。现在只需要一句话,我们就可以定义实数了:
有理数的所有戴德金分割点构成了全体实数。
也就是说,当我们对有理数进行戴德金分割时,有可能分割点是一个有理数(情况1、2),也可能分割点不是有理数(情况3),每一种分割就对应了一个实数,所有的分割点就构成了全体实数。
而且,戴德金证明了:如果对实数进行戴德金分割,那么只会出现刚才所说的情况1和情况2,而不会出现情况3。也就是说:如果一刀切到数轴上,一定会切到一个实数点,而不会从实数的缝隙中漏过去。这告诉我们:实数在数轴上是一个挨着一个紧密排列的,这叫做实数的完备性。
戴德金用这种分割的方法定义了实数,给了实数欧几里得般坚实的基础,这就为后来解决各种有关数字的奇妙问题指明了方向。
30.999...等于1吗?
现在我们就可以讨论最初提出的问题了:证明0.999…=1.
我们已经知道了:对有理数的每一种戴德金分割,就唯一对应了一个实数。所以要证明这两个数字相等,就要证明这两个数字对应的戴德金分割完全相同。
设对有理数Q进行戴德金分割,分为集合A和B,获得分割点0.999…。A集合可以这样定义:所有小于0.999…的有理数为集合A, 即
同样,设对有理数Q进行戴德金分割,分为集合C和D, 获得分割点1。C集合可以这样定义:所有小于1的有理数为集合C, 即
现在,我们要证明集合A和集合C完全相同,也就是证明所有集合A中的元素都是集合C中的元素,所有集合C中的元素也都是集合A中的元素。
设元素t是集合A中的元素,则t<0.999…, 无论0.999…是等于1还是小于1,都一定有t<1, 所以所有集合A中的元素都是集合C中的元素。
再设元素t是集合C中的元素,即t<1。由于t是有理数,所以可以把t写作两个整数的比
我们不妨只考虑正数的情况,此时p和q都是整数,并且p<q,所以q-p≥1。
然后我们做如下变形:
而且,无论q有多大,我们总能找到一个自然数n,让10^n>q,所以
所以我们就能得到:
所以,如果t小于1,t也一定小于0.999…。C中的所有元素都是A中的元素。
综上所述,A和C两个集合完全相同,对应0.999…和1的戴德金分割完全相同,所以0.999…=1.多么漂亮的证明啊!
4为什么要这么做?
也许有人会说: 明明是一个非常简单的问题,你为什么要弄得这么复杂?这里我必须发表一下我的看法。
古希腊有许多的先贤智者,他们会讨论比如阿基里斯能不能追上乌龟,根号2到底是不是数这样看起来毫无意义的问题。他们认识到:经验有时候并不真实,而推理和证明更加可靠,这是一种思想上的革命。
在这种思想的影响下,欧几里得写出了《几何原本》,从几个公设出发演绎出整个几何学大厦,亚里士多德建立了自己的逻辑体系,阿基米德喊出了自己的豪言壮语:给我一个支点,我可以翘起地球。他们都是古希腊先贤的优秀代表。这种思想在文艺复兴之后的欧洲再次繁荣起来,也使得欧洲成为近代科学的中心。
雅典学派
有时候科学家们研究数学、科学和哲学,并不是因为它们是有用的,或者它们能带来名誉、财富和地位,而仅仅是因为它们是有趣的,它们能使我们更加清楚地认识世界,让我们更加接近真理。
科学家们很像是登山者。有人问第一个从北坡攀登珠穆朗玛峰的登山者乔治.马洛里,你为什么登山呢?马洛里回答说:因为它就在那里。
马洛里
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