最近,全国很多地区都遭遇了百年一遇的洪涝灾害,鄱阳湖的水位甚至超过了1998年。洪水给许多地区的居民带来了严重的安全威胁和财产损失。有人又说:“最近十年,百年一遇的洪水我已经遇到三次了。”明明是一百年才会发生一次的事,为什么十年之内就遇到了三次呢?百年一遇这个词到底是什么意思呢?
鄱阳湖洪水
之前我们讨论过墨菲定律,讲过小概率事件为何也会变成必然事件。今天我们从洪水的角度再来具体聊聊这个话题。

1洪水的重现期
所谓“百年一遇”,在水文学领域有一个更专业的名字——重现期。它的意思是
某个强度的降水或洪峰重复出现一次的平均时间间隔
,是根据大量的实测资料通过计算得到的。

举个简单的例子:中国很多地区历史悠久,会保留很长时间的水文资料。假设有一个地区,保存了一条河一千年的水文数据。平时这条河的流量都在50立方米/秒上下,偶尔降水变多,这条河发生洪水,最大流量会达到100立方米/秒。通过统计我们发现:这样的事件在1000年的历史中一共发生了100次,平均10年出现一次,我们就叫它“十年一遇”。反过来说,每一年遇到这种流量的洪水概率就是1/10。
同样的,如果我们经过研究发现:这条河流量达到200立方米/秒的严重洪水,在1000年的历史上一共发生了10次,平均100年发生一次,我们就叫它百年一遇,每一年遇到这种洪水的概率就是1/100;如果这条河流量达到了300立方米/秒的超级洪水,在1000年的历史上只发生过1次,那么我们就叫它千年一遇,每年出现这样洪水的概率就是1/1000。
从这个简单的例子我们可以了解洪水重现期的含义:假设在N年的历史记载中,某个量级的洪水出现了k次,重现期T的计算公式为:
反之,每一年出现这种量级洪水的概率就是
洪水重现期和每年出现的概率是互为倒数的,更准确的统计模型比这个例子复杂的多,但是基本原理是一样的。

N年一遇的洪水,相应概率为1/N
但是,我们一定要知道: 百年一遇的洪水——平均100年出现一次,这只是一个统计学结论,实际上100年中百年一遇的洪水也可能完全不出现,或者出现2次、3次、4次等等,洪水的重现期并不像哈雷彗星的周期那样严格。

2防洪设施的标准
在修建防洪设施时,需要参照相应的国家标准,对重要区域、大城市,需要能够抵御更高级别的洪水。那么,如果按照百年一遇的标准修建防洪设施,是否就一定能保百年平安呢?

我们来做一个算术题:百年一遇的洪水每年发生的概率为1%,那么在N年中至少发生一次的概率有多大?
我们看:在任意一年,遇到百年一遇的洪水概率是1%,不遇到的概率就是99%。如果连续N年都不发生这种级别的洪水,利用乘法原理得出概率是0.99N;相应的,N年中至少发生一次百年一遇洪水的概率就是
我们把这个概率图像画出来如下
N年内发生百年一遇洪水的概率

图像横坐标N代表年数,纵坐标P表示至少发生一次百年一遇洪水的概率。我们会发现:十年内发生百年一遇洪水的概率约9.6%,三十年内发生百年一遇洪水的概率约26%,五十年内发生百年一遇洪水的概率约39%,一百年内发生百年一遇洪水的概率约63%。
100年内,也有37%的概率不会发生百年一遇洪水,同样的,10年内,也有9.6%的概率发生百年一遇洪水。如果堤坝按照百年一遇标准设计,在10年内有9.6%的可能发生危险,30年内有26%的可能发生危险,而50年内发生危险的可能就是39%。
而且,由于气候和环境变化、人类活动等原因,降雨量也会发生变化,沧海桑田,百年一遇的洪水标准也会随之变化。近年来全球气温上升、海平面升高等事件,也可能会造成以前是百年一遇的洪水,在近年来变得越来越频繁。在这个层面上,人类也需要对自己的行为有所反思。
某条河流在1903-1922年百年一遇的标准和1903-2008年百年一遇的标准不同
总而言之,以百年一遇的洪水数据为标准设计的堤坝,不一定能保证一百年都是安全的。既然如此,国家的防洪设施标准是不是越高越好呢?我们提高到可以抵御千年一遇、甚至万年一遇的洪水标准,那不就高枕无忧了吗?
防洪级别越高的设施,意味着建设成本的增加,这种成本最终都会落到纳税人身上。防洪级别低,建设成本会降低,可一旦发生洪水灾害造成的损失会很大。所以在实际的应用当中,需要根据水域条件,平衡防洪设施的建设成本和洪水造成的损失,寻找最经济的方式。
       国家防洪标准
3二项式分布
现在,我们要回答最初那位小朋友提出的问题了:百年一遇的大洪水,在十年内出现三次的概率有多大?

投一个篮球,投中的概率是30%,不中的概率是70%,如果投篮10次,命中3次的概率是多少?买一张彩票,中奖的概率是40%,不中奖的概率是60%,买100张彩票有50张中奖的概率有多大?像这样的概率问题,我们称之为二项式分布。
做一个试验,试验成功的概率是p,试验失败的概率是1-p。若试验重复N次,其中k次成功的概率称之为二项式分布,记作f(k,N,p)。
比如洪水,百年一遇的洪水出现的概率是1%,不出现的概率是99%,10年的时间里出现3次的概率符合二项式分布,写作f(3,10,0.01)。在高中数学书里就有二项式分布的计算方法:
这个公式很好理解:
  • p是试验成功的概率,pk就是有k次成功的概率;
  • 1-p是失败概率,(1-p)N-k表示剩下N-k次试验失败的概率;
  • k次成功的试验分布在N次试验中,CkN代表在N次事件中,取出k次的方法数。比如10年中发生3次百年一遇的洪水,有很多种可能,可以是第一年、第二年、第三年,也可以是第一年、第四年、第五年,这样所有可能的组合要全部数出来,会有C310种。
CkN的计算公式比较复杂:
有趣的是:我们也可以使用杨辉三角找到组合数。杨辉三角顶端是1,第一行是1、1,第二行是1、2、1,第三行是1、3、3、1,把这些数字排列成三角,就会发现最左边和最右边这两列都是1,而中间的任意一个数字都等于它肩膀上的两个数字之和。关于杨辉三角的更多精彩内容请参阅我以前的一篇文章:梅花机的中奖概率怎么算?
杨辉三角
神奇的是,杨辉三角跟组合数有着非常巧合的对应关系。顶端的1对应的是的计算结果C00第一行的1、1,对应的就是C10和C11的计算结果;第二行的1、2、1对应的就是C20、C21、C22的计算结果;第三行的1、3、3、1对应的是、、、的计算结果……遵循这个规律,你可以从杨辉三角的对应位置上当中找到的计算结果。当然你如果不想这么费劲,也可以直接借助互联网来搜索你要的答案。
杨辉三角与组合数
掌握了二项式分布,我们就可以算百年一遇的洪水,10年内发生3次的概率了。
大家看,10年内遇到3次百年一遇洪水的概率大约是万分之一,几乎是不可能的。

4百年一遇,为何年年遇?
那么,为什么我们经常感觉遭遇了大洪水呢?

很有可能的一个原因是:互联网拉近了人与世界的距离。全国任何一个地方发生百年一遇的洪水都被人们收纳到记忆中,所以才觉得小概率事件愈加频繁。
刚才我们计算到:对于一个特定的流域来讲,10年内发生三次百年一遇的洪水概率只有0.01%。然而,全国有许多流域系统,如果每个流域系统都是相对独立的,东边不亮西边亮,发生百年一遇洪水的概率就大得多了。
国主要流域系统
我们暂且假设每个省级行政单位只有一个流域系统(当然这个假设与实际不符,只是为了计算方便),这样全国共有34个流域。在10年的时间里,有340次发生洪水的机会,每个流域每年发生百年一遇洪水的概率依然是1%。按照二项式分布,我们就能计算出发生0次、1次、2次、3次…百年一遇洪水的概率,为:
百年一遇洪水次数N相应概率P
03.28%
111.27%
219.29%
321.95%
418.68%
512.68%
67.15%
73.45%
81.45%
90.54%
100.18%
大家看,在340次发生洪水的机会中,3次发生百年一遇洪水的概率大约22%,发生不少于3次百年一遇洪水的概率大约66%,这就是我们为什么经常看到百年一遇洪水的原因。
我们在计算过程中假设了每个省只有一个流域系统,实际上,全国的流域远远不止34个,所以十年之内,在全国范围看到3次或者更多百年一遇的洪水,概率应该比66%更大。更进一步来说,百年一遇的灾害不只有洪水,还有地震、台风、蝗灾、传染病……如果从这个角度来计算概率,你会发现基本上每一年都会有一些地方遭遇百年一遇的灾害。
除了自然灾害,还有很多百年一遇的天文事件,也经常出现在日常生活中。比如超级月亮、日全食、火星大冲、金星凌日、哈雷彗星等、太阳活动等等,一个20多岁的人可能已经遇到了无数个百年一遇的自然现象,这其实都是非常正常的。
2004年和2012年两次出现金星凌日
在243年的时间中一共只会出现4次
在我之前做这个视频的时候,有人说我在洗地。在抗洪的设施上,的确曾有一些有问题的工程,但是科学是客观存在的,并不因个人喜好而不同。百年一遇就是一个水文学和概率问题,而不是阴谋论。每当灾害发生时,冲在第一线的永远是解放军战士和武警官兵,他们才是最可爱的人。
抗洪的解放军战士
重点
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