在初中的数学课上,我们都学习过尺规作图,就是用直尺和圆规画出各种各样的几何图形。古希腊时期,数学家们认为直线和圆是最基本的图形,利用直线和圆应该能够组成各种各样的几何图形。可是,在2000多年的时间里,有些作图问题却一直困扰着数学家,直到十九世纪,这些问题才一一被人们攻克。今天我们就要讲其中一个精彩的例子:正17边形的尺规作图。
点开视频,了解一下

1尺规作图的基本操作
尺规作图有三种基本操作:
  1. 经过两点可以画一条直线。
  2. 以某点为圆心,某两点之间距离为半径,可以画一个圆。
  3. 可以取直线-直线,直线-圆,圆-圆的交点。
尺规作图
但是要注意:直尺上不能有刻度,也不能在直尺上画刻度,而且所有图形的操作次数必须是有限次。
在这样的规则下,我们可以很方便的做出一些基本图形。以下内容是尺规作图的典型例子,如果你还记得初中学过的内容,或者你对复杂的数学操作感到抵触,那也完全可以跳过,直接阅读第二部分就好。
  • 我们可以做线段AB的垂直平分线:只要分别以A、B为圆心,以大于AB一半的长度为半径做两个等大的圆,两个圆相交于C和D,再把CD连接起来即可。
尺规作垂直平分线
  • 我们可以平分任意角。只需要以角的顶点O为圆心,任意半径作圆,交边于A、B,再以AB为圆心作等大的圆相交于C, 连接OC即可。
尺规作角分线
  • 我们再来说个复杂一点的:可以通过尺规作图复制一个角,这需要利用三角形全等的知识:当一个三角形的三条边长度分别等于另一个三角形的三条边时,两个三角形全等,它们对应的角也相等。
  • 具体步骤是:以原来的角顶点O为圆心、任意长度为半径做圆,交角的两边于A和B,任作一条射线,以射线的端点O’为圆心,OA为半径作圆交射线于A’,再以A’为圆心,AB为半径作圆交圆O’于B ’,连接O’ B’,就获得了等角。
尺规作等角
  • 有了等角,我们可以利用“同位角相等,两直线平行”的知识做出平行线。具体来讲:要过直线外一点A做已知直线L的平行线,只要过A任意作一条直线AB交直线L于B,获得一个角α,再过A点作等角,就获得了平行线L’.
尺规作平行线

2尺规作图的代数应用
也许有同学很奇怪:能做这些有什么了不起?我们为什么要学习尺规作图呢?
其实,使用尺规作图,可以方便的计算加法、减法、乘法、除法,甚至可以计算开平方根,这样,几何就与代数联系到一起了。
首先,利用尺规作图可以计算任意两个数的和与差。这里的两个数需要用几何方式表现为两条线段的长度,只要把两条线段画在一起就可以了。
尺规作加法

有了和与差,我们从一个单位线段1开始,就能做出所有的整数。
同时,尺规作图还可以计算乘法。例如我们想计算两个数字a和b相乘,只需要按照下面的方法:在一个角的两边上分别作线段OA=a,OB=1,BC=b,连接AB。过C作AB的平行线交OA延长线于D,根据平行线分线段成比例定理,AD:OA=BC:OB,所以AD=ab.
尺规作乘法

如果要计算除法,只需要求出一个数的倒数,再利用乘法计算即可。取倒数的方法与乘法类似,只是各段长度略有不同,如下图所示。
尺规作图取倒数

有了加减乘除,我们就可以从单位长度1开始,获得所有长度为有理数的线段,因为所有的有理数都能写作两个整数的比。
尺规作图最神奇的地方在于:它能够计算一个数开平方。方法是:在直线上连续取AB=1,BC=a,以AC为直径作圆。同时过B点作AC的垂线与圆相交于D,则BD的长度就是√a. 这个证明需要使用相似形,对初中的小朋友难度不大,留给大家自己练习。
尺规作图开平方根

利用尺规作图,可以计算有理数的平方根,以及有理数平方根的平方根…。所以,尺规作图不光是一个几何问题,它也同代数有着千丝万缕的联系。
3正十七边形的尺规作图
关于正17边形的做法,有一个流传甚广的故事。1796年的一天,哥廷根大学有一名19岁的大二学生,他在放学后拿到了老师留的三道习题。前两道题很快就做完了,第三题却让他百思不得其解,这个题目是:如何用尺规方法做出正17边形。
不过,越是困难的问题,越能激发这个年轻学生的斗志。他反复演算、思考,在一次次的失败之后,终于看到了胜利的曙光。在第二天的第一缕晨光出现时,他终于完成了这道习题。
在上课时,他把自己的解答交给了老师,并向老师惭愧的说:我数学的功底不够扎实,昨天的第三个习题我花了一个晚上才做完。
老师不相信,他说自己昨天错把自己的研究课题当作作业留下去了。正17边形的尺规作图是流传2000年的数学难题,柏拉图、阿基米德、欧几里得、牛顿都没有做出来,他不相信一个大二的学生能花一个晚上的时间解决这个问题。
可是当他看到了学生交上来的证明时,不得不接受了这令人震惊的事实:这个年轻人是一个真正的数学天才,他就是后来被誉为数学王子的高斯。
高斯

关于高斯的传说还有很多,例如高斯9岁的时候,就曾经得到过1+2+3+…+100的快速算法。这些细节到底是真是假,其实已不重要。千真万确的是,高斯的确在自己19岁的时候就发表了论文:《正十七边形尺规作图之理论与方法》,成为第一个解决这一千古难题的人。
高斯的思路是:首先作一个半径为1的圆,作它的内接正17边形。设A是正十七边形的一个顶点,只要找到相邻的顶点B,就可以利用AB之间的距离做出正17边形。只要找到了B点在OA上的投影点C,就可以通过做垂线的方法找到B,问题解决。
找到B的投影点C
要找到C点,就要确定OC的长度。由于这个圆心角大小很容易得到:
根据三角函数关系有
于是,问题就转化为: 如何计算这个三角函数了。
高斯采用了十分巧妙的方法,求出了这个三角函数值。至于具体方法是什么?由于篇幅问题,就不在这里详述,在我相关的视频版本里有介绍。
尽管这个表达式非常的复杂,但是我们会发现它都是由有理数加减乘除以及开平方根组成的。由于这些计算都是尺规作图可以完成的,所以正17边形可作。
17边形的尺规作图

其实,最初高斯并没有真的给出作图方法,也许在高斯看来,相比于证明可行性,提出一种简单有效的作图方法无关紧要,这不过是一种重复性的劳动而已。高斯的工作相比于后来做出正17边形的数学家,就像一个伟大的建筑设计师和一个优秀的建筑工人一样。
虽然高斯一生有许许多多伟大的成就,但是他一直对正17边形情有独钟,甚至希望自己的墓碑上能够雕刻正17边形的图案。
1801年,24岁的高斯出版了著作《算数研究》,这部书在数学史上的地位宛如牛顿的《原理》那样崇高。在这本书的最后一章,高斯隆重推出了正17边形问题,并给出了正n边形可尺规作图的条件:
如果一个正n边形的边数进行质因数分解,因子只有2以及互不相同的费马素数,那么这个正n边形是可尺规作图的。
我们首先回顾一下什么是费马素数。在《十分钟智商运动》这本书里,我们谈到过民科之王费马的一个猜想:形如
的数字,在i取0,1,2…等非负整数时,都是素数。而实际上,只有在i=0,1,2,3,4这五种情况时,p才是素数,如:
i
0
1
2
3
4
p
3
5
17
257
65537
可是,从i=5开始,费马数连续都是合数。人们猜测,也许费马素数就只有5个。
回到高斯的结论,如果正n边形的边数n满足
其中k是非负整数,pi是不同的费马素数,那么这个正n边形就是可作的。后人完善了高斯的结论,指出这一条件是充要的,即不满足这个条件的正n边形一定不可作。
这样,我们就可以判断一个正n边形是不是尺规可作的了。方法是:把边数n进行质因数分解,如果因子不是2就是费马素数,而且费马素数彼此不同,那么这个n边形就一定是可作的。如果除了2和费马素数有其他质因数,或者有相同的费马素数因子,那就是不可作的。例如:
边数
3
4
5
6
7
8
9
质因数
3
2
5
2,3
7
2
3
作图
可作
可作
可作
可作
不可
可作
不可
  • 正三角形是可作的,因为n=3是费马素数。
  • 正四边形是可作的,因为n=4=2^2,因子只有2。
  • 正六边形是可作的,因为n=6=2×3, 一个因子是2,一个因子是费马素数。
  • 正七边形是不可作的,因为n=7,既不是2,也不是费马素数。
  • 正九边形是不可作的,因为n=9=3^2,因子是相同的费马素数。
高斯做出了正17边形后,1832年,数学家们做出了正257边形。1894年,数学家们完成了正65537边形的尺规作图。整个草稿有200多页,装满了一个手提箱。
在历史上有许许多多的数学家,比如古希腊的毕达哥拉斯、欧几里得、柏拉图,近代的莱布尼茨、柯西、勒让德、希尔伯特…这些数学家犹如黑夜中的繁星,点亮了人类前进的道路。但是如果把他们比作繁星,高斯就应该比皓月——他是前无古人后无来者的数学家,他的贡献不仅仅在数学方法,在物理学、天文学、测地学都有他独特的建树,纵观历史,也只有牛顿和阿基米德能与之媲美。
数学家战力排名

其实,历史上还有一个人和高斯很像,在十几岁的时候就解决了历史上几千年无法解决的难题。可惜的是,他在21岁的时候就死于一场决斗。这个人就是伽罗瓦——他也许是最悲情的数学家了,这将是我们下一回讨论的问题。
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