3.1415926...是什么?
圆周率π是一个十分重要的数,也是一个很神奇的数。从古希腊时代开始,由于科学研究和工程技术的需要,圆周率的计算就一直没有停止过。直到今天,圆周率依然是检验计算机计算能力的方法之一。日本某个无聊的出版社居然出了一本一百万位的圆周率的书《円周率1000000桁表》,全书只有一个数字:π。
你知道人们最开始是如何计算圆周率的吗?
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1阿基米德π≈3.14
公元前300年左右,古希腊数学家欧几里德在著作《几何原本》里将几何的基础简化成几个公理。其中一条公理是:过一点以某个长度为半径可以做一个圆。根据相似形可知:任何一个圆的周长与直径的比都是一个常数,把这个常数称为圆周率π。
如果使用一根软绳测量圆的周长,再除以圆的直径,只能得到圆周率大约等于3的结果,更加精确的结果只能依赖计算。
第一个把π计算到3.14的人是古希腊的阿基米德。
阿基米德的梦想

我们都知道阿基米德的名言:给我一个支点,我可以撬起地球。阿基米德第一个发现了杠杆原理和浮力定律,是一位物理学家。但是同时,他也是一位数学家。公元前212年,罗马士兵进攻叙拉古国,城破之后阿基米德被罗马士兵杀死。传说他临死时被罗马士兵逼到一个海滩,还在海滩上画圆,并且对士兵说:“你先不要杀我,我不能给后世留下一个不完善的几何问题。”
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阿基米德计算圆周率的方法是双侧逼近:使用圆的内接正多边形和外切正多边形的周长来近似圆的周长。正多边形的边数越多,多边形周长就越接近圆的边长。
割圆术

阿基米德最终计算到正96边形,并得出π约等于3.14的结果。阿基米德死后,古希腊遭到罗马士兵摧残,叙拉古国灭亡,古希腊文明衰落,西方圆周率的计算从此沉寂了一千多年。
2刘徽和祖冲之π≈3.1415926
阿基米德死后五百年,中国处于魏晋时期,著名数学家刘徽将圆周率推演到小数点之后四位。他在著作《九章算术注》中详细阐述了自己的计算方法。
刘徽的算法与阿基米德基本相同,但是刘徽提出了圆的内接正N边形边长与内接正2N边形边长之间的递推公式,并且计算到了圆的内接正3072边形,得到π的值大约是3.1416。
又过了两百年,中国数学家祖冲之横空出世。
祖冲之

祖冲之使用“缀术”将圆周率的值计算到小数点后第七位,指出
3.1415926<π<3.1415927
这个结果直到一千多年后才被西方超越。
但遗憾的是,“缀术”的计算方法已经失传。华罗庚等科学家认为:祖冲之的方法仍然是割圆法。
华罗庚的观点
但是如果要得到这个精度,需要分割到24576边形,从正六边形出发,还需要迭代刘徽的公式12次。而且在每次迭代的过程中,必须保证足够多的有效数字,否则就会影响到最后的结果。祖冲之通过什么神奇的方法保证了计算的准确?至今仍是一个谜。
看到这里,也许有的同学已经跃跃欲试了,我们能不能仿照阿基米德和刘徽的方法自己计算一下圆周率呢?
3割圆法到底是什么?
其实这个问题也没那么难,我们不妨也来简单推导一下:首先做一个半径为1的圆。

  • 设圆的内接正N边形的边长为LN,如图中AB所示;
  • 将正N边形变为正2N边形,边长L2N如图中BD所示;
  • 在三角形BCD中列勾股定理:
其中,AB=LN,OD=1
  • OC又可以在三角形OCB中利用勾股定理计算:
  • 根据以上的由此可以得到递推式:
  • 当N=6时,圆的内接正六边形边长刚好与圆的半径相等L6=1,用这个正多边形近似圆的周长,可以得到圆周率
  • 再根据递推公式,可以得到12边形的边长
  • 用这个正多边形近似圆的周长,可以得到
按照这个方法一直计算下去,就可以得到更加精确的结果了。
当然,时至今日,人们已经发明出各种各样计算π的方法。比如,欧拉就提出过使用级数方法计算π的值:
这种方法要比使用割圆术快得多,也方便得多。
话说,你能背下来多少位的π呢?我能背下来小数点后22位,这是因为小时候看过的一个故事:
有位教书先生,整日里不务正业,就喜欢到山上找庙里的和尚喝酒。他每次临行前留给学生的作业都一样:背诵圆周率。开始的时候,每个学生都苦不堪言。后来,有一位聪明的学生灵机一动,想出妙法,把圆周率的内容与眼前的情景联系起来,编了一段顺口溜:
山巅一寺一壶酒(3.14159)尔乐苦煞吾(26535)把酒吃(897)酒杀尔(932)杀不死(384)乐尔乐(626)
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