上一回我们为大家介绍了历史上第一个证明圆周率是无理数的方法,那是数学家兰伯特使用的类似于连分数的方法。不过,由于这个证明方法过程比较冗长,在上次的文章中,我们跳过了许多关键步骤,给小朋友的感觉是:这个证明类似于把大象放进冰箱里。

这一回,我们再为大家介绍一下历史上最简洁的证明方法,那是1947年,数学家伊万.尼云所给出的方法。这个证明在发表时,占用的篇幅不到一页纸。
伊万.尼云
他的论文如下:

数学家们惜字如金,这篇论文对于普通的同学来讲还是有一点困难。不过,理论上只要具有高二以上数学水平,学了微积分,就能够理解这个证明。下面我就把这篇论文翻译一下,一旦看懂了,你一定会赞叹数学是如此美丽,就好像上一次我们讲尺规作图那样。
1构造一个函数f(x)
假设圆周率π是一个有理数,则π一定能写成两个互质的整数p、q的比:
构造函数f(x)
大家看,这个函数分母是阶乘形式,如果用二项式定理将分子展开,一定能写成下面的多项式求和的形式:
也就是每一项的分子都是一个整系数的幂函数形式,而且这个幂次在n与2n之间。
2对构造函数求导数
下面我们要对f(x)求导数,为此我们首先复习一下幂函数的求导法则,根据
我们可以得出:如果对幂函数求k次导数,有如下三种可能:
于是,对于函数f(x)的每一项,k次求导后的结果
大家看:对于第一类项,这一项是0,是一个整数。对于第二类项,由于m在n与2n之间,m!除以n!是个整数,因此这一类项也是整数。对于第三类项,如果取x=0, 则该项也会等于整数0.
综上所述,f(x)的k阶导数的每一项在x=0时都是整数,f(x)的k阶导数在x=0时是个整数。
3函数f(x)是对称的
我们再回到最初构造的函数,将变形
通过这个变换,我们显而易见的发现这是一个对称的函数
我们对这个函数两边求k次导数
令x=π得到
即f(x)的k阶导数在x=π处也取整数。
4再构造一个函数F(x)
再构造一个函数
对这个函数求2次导数,得到
大家是否发现了:F(x)与F’’(x)许多项都是等大反号的,于是让它们相加,得到:
大家注意:f(x)是一个多项式的形式,最高只有x的2n次幂,所以对它求2n+2次导数,自然等于0,于是
5求函数f(x)sin(x)的原函数
下面我们要求f(x)sin(x)的原函数,为了让这个过程看起来容易一些,我们直接给出原函数F’(x)sin(x)-F(x)cos(x),并进行证明:
6做一个定积分
我们求出了f(x)sin(x)的原函数,我们对这个函数在0到π之间进行积分。
由于f(x)的任意阶导数在0和π处都是整数(第二大点),而F(x)是它的线性组合(第四大点),所以F(0)和F(π)也是整数,因此A是一个整数。

7对定积分放缩
根据我们构造函数的特点:
我们会发现:在0<x<π时,f(x)>0,同时sin(x)>0,因此f(x)sin(x)>0,所以
我们再对构造函数进行放缩,在0<x<π时
因此

当n充分大的时候,上式右侧小于1,于是有A<1。综上,0<A<1
8反证法
假设π是个有理数,我们得到了(七)中A是一个整数,(八)中A在0到1之间。可是,0到1之间没有整数,发生矛盾,因此π不是有理数,π是无理数。
一个看似简单的问题,却需要如此奇妙的方法进行证明,数学真是神奇。

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