下文中，两位来自上海名校的资深IB教师——世界外国语学校的华为栋，和包玉刚实验学校的杨建平，将为我们解析IB新大纲所强调的“建模”思维，以及中学生需要掌握的研究能力。
作者：周滢滢
本文系授权转载自：外滩教育
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为什么，中国学生明明在基础教育阶段，数学能力很强，但是却难以适应大学阶段的数学学习，突然感到吃力？
不少留学生，走出国门，到了世界顶尖学府后，遇到这样的“尴尬”。
要回答这一问题，就不得不说，大学阶段所需要的数学能力究竟是什么？
以哈佛大学为例，2019年秋季开始实施的通识课改革，将“数据定量推理”作为单独类别，独立出来。
从这一届开始，哈佛本科生毕业前，必须完成一门相关课程，比如 “利用大数据解决经济和社会问题”。
负责通识课程改革的哈佛本科教育学院院长，阿曼达·克莱博表示：这个时代，不仅要求学生掌握学习处理数据时所需的计算、数学和统计技术，还要能批判性地思考在职业中遇到的数据。
哈佛新课改，释放出这样一个讯号：随着科技的发展和大数据的普及，“数学知识应用于实际”的数据处理和分析能力，将越来越被重视。
无独有偶，一向与时俱进的IB全球国际课程，也在2019年实施了新版高中段数学大纲。
外滩君从很多一线IB老师那里得到的反馈是，IB数学改革，其实在增强高中数学学习与大学阶段的衔接。
那么，现阶段的高中数学，和大学阶段所要求的知识和能力，主要有哪些方面的脱节？
“沪上名校”上海世界外国语学校的资深IB数学老师，华伟栋说：
“过去，高中阶段的数学学习范围还比较窄，缺少大数据处理、概率统计这方面的内容。因此，新大纲新增了‘解释与应用’方向，着重培养学生运用数学工具解决实际问题的能力。”
华伟栋老师
与此同时，改革后的IB数学知识点难度明显降低了，删除了一些原先比较难的章节；与此同时，还新增了30个小时的Toolkit课时，要求培养学生的“调查、建模和探究能力”。
听上去，“调查、建模和探究”，都是到了大学阶段做数学研究时，才需要掌握的能力，和传统中学阶段以“计算、解题”为重心的数学学习，没啥关系。
为什么IB数学，会郑重其事地提出这一要求？
来自另一所上海老牌名校，包玉刚实验学校的数学组组长，杨建平老师解释：
“大学数学需要很高的逻辑思维能力和理解能力，不再像初高中时，直接套用公式就可以解决问题了。比如微积分，非常抽象和灵活，还需要解决很多实际性的应用问题。
杨建平老师
所以新IB教学大纲特别提出，培养学生在做数学研究时，如何采集和分析数据，如何建立数学模型，解决实际问题等方面的能力。”
这一能力，到了大学再培养显然来不及，很容易导致高中数学学习和大学阶段的脱节。
结合IB数学大纲改革和最新实践成果，外滩君采访了华伟栋、杨建平这两位经验丰富的资深IB数学老师：未来，学生究竟应该怎样学习数学？如何培养更适应大学阶段的思维和能力？
01.
数学好，不等于解题厉害
传统意义上，说某个孩子“数学好”，也意味着说TA解题能力强。
而很多学生对数学学习的认知，也往往停留在，我要学习更多的解题技巧和方法。
杨建平发现，即使是在双语学校，学生还是会对数学课堂有这样的“期待”：那就是，老师应该讲清楚每一种题型的解答方法，而学生要做的，就是学会套用公式，依葫芦画瓢地解题。
很多一线老师因此感慨：“如果数学课上没有教任何解题技巧，学生会感觉，这一节课白上了！”
对解题方法和计算能力的重视，培养出了在基础教育阶段，数学能力很强的牛娃，然而到了大学阶段，乃至科研岗位上，则出现跟不上的情况。
这也是为什么，前美国奥数队总教练冯祖鸣曾表示：
“亚洲人或者华人数学很好，其实那只是到中学为止，进入大学以后的能力可以说很差。因为我们太习惯被动去等老师给问题，给公式，不能自己创造。”
如何解决这一问题？IB数学大纲的改革方向，提供了一些矫正路径。
一直以来，IB六大学科组的数学必修学科，都以高难度著称。全球学子都面临着很大的学习压力，这从每年的IB全球选课数据和统考成绩也可以看出。
以最新统计出来的全球学子选课数据来看，数学学科是所有大众化学科中，选择高水平（HL）的学生比例最少的，明显少于其他学科。而全球统考成绩， 也只有4.3、4.4分左右。
令人“发怵”的IB数学，在今年的改革中，却做出了一些让步。
华伟栋老师梳理了今年IB官方放出来的大纲和试题，分析发现，数学的整体难度在降低。比如，它删减了一些较难的核心章节，只保留比较基础的课程。
但是，IB数学在降低知识点难度的同时，却在增强对实际应用能力的要求。
它主要体现在，分析与方法方向的课程学习中，新增了Toolkit学习，要求每个学生都要完成长达30个小时的“调查、建模和探究”学习。这一学习内容，也将在全球统考的试卷三试题中，有所考察。
这意味着，高中生们在数学学习时，要像做数学研究那样，通过调查发现需要解决的实际问题，再通过建模，将数学知识运用到对实际问题的解决中。
在杨建平看来，这甚至是IB数学最重要的变化。
以前，虽然IB也要求在学校的内部考核中，每个学生都要完成一篇数学论文，让学生体验数学的美，将数学应用于生活实际中；
但这一次，却明确将它变成课程的一部分，规定要花30个小时，通过 Toolkit Activity的形式来培养这一能力，真正将这一能力的培养落实到日常教学中。
“我们需要逐渐转变对数学学习的认识。学习数学不是为了解题，而是要在将数学运用到实际生活的过程当中，不断学习和反思，培养批判性反思的学习能力。”
否则，就会培养出，在解题技能超强，却在“提出问题、分析问题、设计整体解决方案”上，研究能力不足的“中国式学霸”。
02.
为什么要培养“建模”的思维？
如今，批判性思维和反思性学习能力，越来越受到大学和雇主的重视，IB的不同学科，也都在强化学生的该项技能。
30个小时的Toolkit教学，正好通过给学生设置一些“建模”的任务，帮助学生将课堂上学到的数学知识，来解决生活中的一些实际问题，以此培养学生的批判性反思学习能力，以及对概念的深层次理解。
那么，什么是“建模”？
杨建平举例说，包玉刚实验学校11年级学生，最近刚刚完成的一个Toolkit Activity 就是“怎么计算一个香蕉的体积？”
这种“反常”的题目，在传统试卷中是不会出现的，却很能考验学生的综合能力。
首先，学生需要知道，如何运用软件，绘制出香蕉的图形；接着，还要用函数模拟出不太规则的香蕉曲线；最后，再运用微积分的知识去计算香蕉体积。
在这过程中，学生要有使用计算器的意识。
“传统数学学习中，学生运用工具的意识不强。但是，像这样的数学建模任务，已经越来越要求学生能合理使用工具，比如绘图软件、图形计算器等。”
学生在为香蕉建模
整个过程中，学生不仅要灵活运用数学知识，还要对建模的过程和计算结果，做反思和分析，是一种综合的锻炼。
它给学生的收获远远强于单纯地解函数题、算微积分。
“生活中的实际问题，永远是复杂的，哪怕是测算一根香蕉的体积，也没有现成的公式可以套用。它不像试卷中的一道应用题、一道方程算式，那只是一种理想化的情景。”
这让外滩君联想到曾经采访过的，前美国奥数队总教练冯祖鸣。他在美国顶尖高中Phillips Exeter Academy的课堂上，经常会问学生这样的“三连发”问题： 
“老师为什么要出这道题目？”
“这道题目背后意味着什么？”
“它的模型可以解决哪些实际问题？”
如果说，前两个问题是逼着学生去思考，数学公式背后的原理和概念；那么，最后一个问题，则是让学生思考，这一数学理论，如何运用到实际生活中。
可是，要想锻炼这一能力，并不容易。特别是到了高中阶段，高难度的数学理论和公式，很难和日常生活相联系。
杨建平建议：“其实，在孩子小的时候，就应该去锻炼这样的思维模式。因为那个时候学习的内容比较简单，能够很容易运用到日常生活当中。将来，孩子才能完成更难的建模任务。”
这也是，中国传统数学教育，和西方数学教育最大的差别。
当我们通过套用公式，一遍遍做题来证明公式的正确性时，美国小学的数学，更强调解决解决实际生活中的问题。
它带来的结果是，中国学生在基础数学的学习效率上，远远赶超美国学生；却无法在更高层次的数学研究和实践中，激发出更多的创新能力。
这同样可以解释，为什么奥赛金牌拿到手软，却难以诞生真正的数学家。
03.
普通学生，也应该掌握的研究能力
即使不成为数学家，不走数学专业方向，普通学子，也需要掌握一些基础的研究方法和步骤，具备一定的科研素养。
“进入大学阶段，学生需要写论文、做项目、完成研究型作业。这种能力，不是到了大学天然就有的，它需要在中学阶段，就打好基础。”
然而，杨建平在教学中发现，有些孩子虽然解题能力很强，但是让他写一篇IB数学论文，却很困难。
因为他们根本不知道要写什么，没有方向。
而研究论文的写作，正是考验学生，在生活中发现问题，以及将理论知识运用到实际的能力。
“生活中处处皆问题，哪怕是一杯热咖啡。”杨建平表示，包校在教学中，会引导学生在研究项目的初期画思维导图，培养发散思维能力。
比如，“一杯90度的热咖啡，多长时间可以冷到30度？”“哪些变量会影响咖啡冷却的时间？”等等。
确定了要研究的问题，需要学生能灵活运用某种数学公式、理论。
这就要求学生，在数学知识的学习中，知其然，也要知其所以然，才能做到灵活运用。
很多大学所看重的“微积分”知识，正是以函数为基础的。
如果学生在初中函数的学习过程中，仅限于背诵公式，而没有更深层次的推导和理解，是不可能扎实掌握“微积分”，也难以应对实际建模过程中的各种灵活变形。
最后，在具体的论文写作中，还需要学生有搜集、整合信息的能力。
如何培养这一能力？
包玉刚实验学校的做法是，从九年级开始，为学生设置不同研究领域的数学阅读书目，课后阅读作业，可通过文献综述、海报、通讯、诗歌等不同形式呈现，并设置至少4个不同建模教学的目标。
比如，11年级的阅读书目之一《The Joy of X》，这本书以通俗易懂、有趣的方式，解释了很多复杂的数学理论知识，甚至探讨了斑马身上的条纹、蜻蜓翅膀中的数学。
读完指定的章节后，则需要完成一篇限定字数的文献综述(literature review)。
学生做的文献综述
“写文献综述，能培养学生撰写论文的能力，锻炼他们从已有的研究当中去总结，从大量的资料当中吸取有用的信息，这个能力是很重要的。”
04.
对IB数学选课的建议
IB数学改革，从原先的4个Level层级（考虑到实际情况，中国学校基本只开设HL和SL 两个层级），如今，却变成了截然不同的两个方向——分析与方法analysis and approaches、解释与运用applications and interpretation。
实际上，这两个方向包含有相似的学习模块，比如，数和代数、函数、几何和三角函数、概率统计、微积分。
只不过，“分析与方法”方向，需要学习更多的微积分内容，而“解释与应用”方向，则需要学习更多的概率和统计。
IB数学所含知识模块
对于IB学子来说，摆在面前的“头等大事”，还有如何选方向的问题。
华伟栋建议：“学生在选择具体方向的时候，最好结合未来大学要申请的专业内容，进行匹配和定位。”
比如，如果学生想要学习数学、工程、物理等偏理工科专业，建议选择“分析与方法”；如果将来想要学经济学、金融、商管等专业，建议选择“解释与应用”，因为需要更多的概率与统计知识。
未来，随着人工智能、大数据处理等逐渐热门，可能会有越来越多学生，倾向于选择“解释与应用”。IB的这一方向调整，也是与时俱进的表现。
“因为这门课程中很多内容，都是学生在原先学习中，没有接触过的新东西，比如矩阵、图论， 它很有趣，不难，但对学生来说都是一些比较新的概念。“
华伟栋建议，选择“解释与应用”方向的学生，在真正进入这门课程之前，要做好一定的预习，借助网络资源自学。
此外，在正式进入IB之前，十年级学生就要将数学基础概念打牢，做好和IB数学的衔接铺垫，否则压力会一下子大很多。
“同学们要根据自身兴趣，以及未来的专业定位，来选择课程。不能功利地认为，概率统计学习比较简单，就选择‘解释与应用’这一方向。”
因此，杨建平提醒大家，在选择前还要权衡这些问题：
1.  统计知识虽然比较简单，但是它的题目信息的内容量却很大，对于英语能力比较弱，或者信息搜集和分析能力不是很强的孩子来说，将是不小的挑战。
2. 从历年哈佛新生报告来看，高中阶段学过微积分的学生，占很大比例。竞争激烈的大学，也希望学生的数学能力，能支撑他们在大学阶段要学习的领域。
因此，无论作何选择，微积分的学习，都应该被学生所重视。
3. 作为IB改革的新方向，世界顶尖高校对“解释与应用”的认可度也在不断提升。
最后，两位老师的建议，不约而同落到了一点，那就是对数学学习的认识转变。
“最重要的，还是家长和学生，需要转变对学数学的认识。数学思维、解决实际问题、以及研究能力，才是更应该重视的底层通用能力；而这些能力，并不能都在考卷、做题中培养。”
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