选自deeplearning.ai
机器之心编译
参与：路、思源
初始化对深度神经网络的收敛有重要影响。优秀的初始化模式可以加速训练，但是需要小心操作以避免常见的陷阱。deeplearning.ai 最新上线了 AI Notes 栏目，以长文的形式作为《深度学习专项课程》的补充。其具备交互式的 demo，有助于读者轻松掌握深度学习基础概念。AI Notes 的第一篇教程就是「初始化神经网络」。
这篇教程共包括四部分：有效初始化的重要性、梯度爆炸或消失问题、什么是恰当的初始化，以及 Xavier 初始化的数学证明。
1. 有效初始化的重要性
要想构建一个机器学习算法，通常你需要定义一个架构（如 Logistic 回归、支持向量机、神经网络），然后训练它学习参数。以下是训练神经网络的常见过程：
  1. 初始化参数
  2. 选择优化算法
  3. 重复以下步骤：
  1. 将输入向前传播
  2. 计算成本函数
  3. 使用反向传播传递成本对参数的梯度
  4. 根据优化算法，基于梯度更新每个参数
之后，给出一个新的数据点，你就可以使用该模型预测其类别了。
初始化步骤对模型的最终性能至关重要，它需要正确的方法。下面给出了一个交互式 demo，你可以尝试使用不同的方法初始化网络，观察不同的初始化对网络学习的影响。
在此 demo 中，可以任意选择输入数据集、选择初始化方法，并实时查看训练效果。
你注意到当初始化方法为 zero 时，梯度和权重的变化吗？
用零初始化所有权重，会使得神经元在训练过程中学习同样的特征。
事实上，任意常数初始化方法性能都不好。例如一个具备两个隐藏单元的神经网络，假设我们将所有偏置初始化为 0，将所有权重初始化为常量 α。如果我们在网络中前向传播输入 (x_1,x_2)，则两个隐藏单元的输出均为 relu(α x_1+α x_2)。因此，两个神经元在训练过程中的演化是对称的，也就阻止了不同的神经元学习不同的特征。
当使用太小或太大的值初始化权重时，成本函数曲线有什么变化呢？
尽管打破了对称性，但使用太小或太大的值初始化权重会分别导致学习缓慢或发散。
因此，选择恰当的初始化值对于高效训练而言是必要的。
2. 梯度爆炸或消失问题
考虑以下这个 9 层神经网络：
在优化的每一次迭代中，我们观察到随着梯度从输出层向输入层传递，反向传播的梯度要么太大要么太小。这一结果是合理的，大家不妨考虑以下例子。
假设所有激活函数都是线性（恒等函数），那么输出激活如下：
其中，L=10，W^[L] 及其它 W 是 2×2 的矩阵，层 [1] 到 [L-1] 都只有两个神经元。如果我们假设 W^[1] 到 W^[L-1] 都等于 W，则输出预测为
（其中 W^L-1 是矩阵 W 的 L-1 次方，W^[L] 表示第 L 个矩阵）。
那么当初始化值过小、过大或合适时，结果会如何呢？
案例 1：过大初始化值导致梯度爆炸
考虑当每个权重的初始化值都比恒等矩阵略大的情况。
上式可以简化为
，a^[l] 的值随着 l 呈指数倍增长。当这些激活值被用于反向传播时，就会导致梯度爆炸问题。即，成本对参数的梯度过大，导致成本值在其极小值周围振荡。
案例 2：过小初始化值导致梯度消失
类似地，考虑每个权重的初始化值略小于恒等矩阵的情况。
上式可简化为
，激活值 a^[l] 随着 l 呈指数倍下降。当这些激活被用于反向传播时，会导致梯度消失问题。成本关于参数的梯度过小，导致成本在到达极小值之前已经收敛。
总之，用不合适的值进行权重初始化会导致神经网络训练发散或速度缓慢。虽然我们用简单的对称权重矩阵说明梯度爆炸和梯度消失问题，但这一观察也适用于任意过大或过小的初始化值。
3. 如何找到合适的初始化值
为了阻止梯度爆炸或消失，我们需要坚持以下规则：
  • 激活值的均值应为零。
  • 每一层激活值的方差应该保持一致。
在这两个假设下，反向传播的梯度信号就不会在任意层中被过小或过大的值相乘，从而在不出现梯度爆炸或消失等问题。
具体来说，想象一个层 l，其前向传播是：
我们需要遵循下式：
确保零均值，保持每一层的输入方差值不变，从而确保不会出现梯度爆炸和消失问题。该方法适用于前向传播和反向传播。推荐使用 Xavier 初始化方法（或其变体），对于每一个层 l：
也就是说，层 l 的所有权重是从正态分布中随机选取的，该分布的均值 μ=0，方差 
，其中 n^[l-1] 是层 l-1 中的神经元数量。偏置被初始化为 0。
下面的交互式图展示了 Xavier 初始化对每一层激活的影响，下图展示的是一个五层的全连接神经网络。
在此交互式图中，你可以加载 MNIST 数据集，选择初始化方法，执行训练并观察不同初始化方法的效果。
Xavier 初始化的数学证明
Xavier 初始化保持每一层的方差不变。我们假设每一层的激活值是围绕 0 的正态分布。有时理解数学证明有助于掌握概念，但没有数学也可以理解基础理念。
我们使用第 3 部分介绍的层 l，假设其激活函数为 tanh。其前向传播如下所示：
我们目标是推导出 Var(a^[l-1]) 和 Var(a^[l]) 之间的关系。然后我们将理解如何初始化权重，使得 Var(a^[l-1]) = Var(a^[l])。
假设我们使用合适的值初始化网络，且输入是经过归一化的。在训练的早期，我们处于 tanh 的线性模式。值足够小，使 tanh(z^[l]) ≈ z^[l]，这意味着：
此外，
，其中
。出于简洁性考虑，我们假设 b^[l] = 0。因此，逐元素查看前面的公式 Var(a^[l-1]) = Var(a^[l]) 可以得到：
一个常见的数学 trick 是在方差之外求和。为此，我们必须遵循以下三个假设：
  1. 权重独立，且同分布；
  2. 输入独立，且同分布；
  3. 权重和输入互相独立。
从而得到：
另一个常见的数学 trick 是将积的方差转化为方差的积，公式如下：
使用该公式，以及
，得到：
快完成了！第一个假设引出 
，第二个假设引出 
，因为权重是使用零均值进行初始化的，输入是经过归一化的。从而得到：
第一个假设表明：
第二个假设引出：
它们都具备同样的思想：
组合起来，得到：
完成了！如果我们想要各个层的方差保持一致
，我们需要
。这证明了 Xavier 初始化的方差选择。
注意，在之前的步骤里，我们没有选择特定层 l。因此，我们证明了该公式适用于所有层。假设 L 是输出层。在每一层使用该公式，则我们可以将输出层的方差推导至输入层的方差：
根据我们的权重初始化方式，输出和输入层方差之间的关系将会变化巨大。注意以下三种情况：
因此，为了避免前向传播信号的消失或爆炸，我们必须通过初始化
，使 n^[l−1]Var(W^[l])=1。
通过以上证明，我们研究了在前向传播过程中计算的激活值。同样的结果也适用于反向传播梯度。同理，为了避免梯度爆炸或消失，我们必须通过初始化
，使 n^[l]Var(W^[l])=1。
结论
在实践中，机器学习工程师使用 Xavier 初始化时，要么将权重初始化为
或
。后一个分布的方差项是
的均值。
以上是 Xavier 初始化的理论证明。Xavier 初始化使用的是 tanh 激活函数。此外还有大量初始化方法。如果你使用 ReLU 激活函数，那么常用的初始化方法是 He 初始化。He 初始化的理论证明要更复杂一些，但它遵循同样的思维过程。
原文链接：http://www.deeplearning.ai/ai-notes/initialization/
本文为机器之心编译，转载请联系本公众号获得授权。
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