理想主义
　　认为数学在被定义之前客观存在，并且一直存在于一个理想的纯数学的世界中。一些基本的概念，如抽象的点，线，圆、数，在这个理想世界中都是客观存在的主体。

　　记得初中第一次上几何课，说老师讲点、线段的定义，说点是无限小的，线段的宽度是无限窄的，总之这些几何概念都是现实中都不存在的。而在柏拉图主义的范畴，这些抽象的理想的概念都是在某个完美世界中客观存在的。而现实世界只是这个理想世界的不完美的投影。甚至，人，猫，狗，星星，沙子。。。现实世界上的一切东西，在理想世界中都对应着其完美的化身。
逻辑主义
　　数学是逻辑的自然衍生，并且和逻辑等价（数学和逻辑一样，有一定客观存在性）。

　　逻辑主义的代表人物是罗素，他想要由逻辑一步步出发，先推理出数，再推理出各种运算，直至重建整座数学大厦。罗素先提出几个不加定义的概念和一些逻辑的公理，由此推出逻辑规则以及数学定性。然而，罗素很快就发现了现有逻辑体系的重大缺陷——罗素悖论。这便是著名的第三次数学危机。

形式主义
　　形式主义的奠基人是希尔伯特。他提出可以把命题和证明用符号逻辑方法加以形式化，而把这些形式化的公式及证明直接当做研究对象。从而用完全的公理化体系来构建整个数学，这一认识是变革性的。

　　用通俗的话来说，希尔伯特做了个这样子的事情。大家对数学的第一印象往往是形形色色的公式和符号。的确如此，我们用阿拉伯数字（符号）1，2，3，4，5……来表示自然数，用+，-，×，/来表示加减乘除四则运算，用x y z来表示未知数，blablabla……但是，正所谓：“道可道，非常道；名可名，非常名。无名，万物之始；有名，万物之祖。”
    符号所代表的内容和符号本身无关，我们就算用1234来代表加减乘除，用范冰冰的的某一张照片来代表开根号，所构建的算术体系也不会和我们现在所用的有什么本质区别。这一点很早之前的数学家就已经认识到了。希尔伯特发现，我们已经用符号来表示数（如阿拉伯数字），变量（abcxyz），运算（+-×/），集合（A N），逻辑（）……那么，为什么不把证明的过程也这样符号化，形式化呢？于是，整个数学的严格形式化工作便轰轰烈烈的开始了。

直觉主义
　　数学在人类发现之前不存在，任何数学对象都只是人类思维构造的产物。同理，数学对于没有智慧的生物如蚂蚁和猩猩没有任何意义。
转自哲学 作者不详
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