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对很多人来说，壁纸或者桌面壁纸，无非用来装饰墙面或是电脑屏幕的背景。然而在数学家的脑海里，那些二维空间内的重复图像却有着更深层的意义——他们可能会由此展开关于对称性的思考。

Frank Farris
圣塔克拉拉大学的应用数学家Frank Farris早在上世纪90年代时就已经在琢磨壁纸和对称之间的关系。他发现大学几何教材辅以过于简单的图像来描述精致而强大的数学对称，“关于模式 (patterns) 的那些精美数学理论，书上却用这样的图形来加以阐释，我无法接受。我也不喜欢那些用词，人们形容模式就好比破碎成‘砖块’一样，说得好像只有这一种方法能形成模式似的。”
任何人都可以创造一个对称的壁纸模式：画一个图形，添加色彩，然后在周围进行重复。Farris对此方法当然没有意见，不过他推测还有更为复杂的设计方式。
图1. 等边三角形产生的样式
正是这种直觉使他开始了基于壁纸与对称的深入研究。几十年来，Farris利用数学工具开发出了多种构建对称型壁纸的新方法。2015年在巴尔的摩举行的Bridges Conference上，Farris也展示了他的作品。他还在自己的新书《Creating Symmetry: The Artful Mathematics of Wallpaper Patterns (1)》中，详细介绍了通过正弦和余弦的波形创建对称性壁纸图案的方法。
比如我们从平面上覆盖的不重叠等边三角形开始，想象波形会穿过这些三角形，根据三角形上每个点落在波形的具体位置，为其分配颜色。通过这种方法可以生成图1中的样式。利用相同方法对其他图片操作则会可以生成其他样式，如图2。
Farris最初的作品限于欧几里得式的壁纸，但对于一个数学家来说，尝试非欧几里得几何学也是很好理解的。
欧几里得几何依赖于欧几里得第五公设，也就是说：给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。假定此平行公设不成立的称为非欧几里得几何。也就是说，几何图形可以出现在一个球体上，甚至出现在双曲空间中。在双曲空间中，一个平面看上去就像马鞍一样。

图2. “从桃子直到宇宙的边缘”
这正是Farris所探寻的，在非欧几里得空间下，壁纸将会是什么样式？他打破传统的重复图案样式，创造了不少新花样。图2 利用一个桃子及其底片为素材，创造出一幅双曲样式的作品，名为“从桃子直到宇宙的边缘”。
“我们都活在欧几里得几何的世界中，观察事物也是欧氏几何的视角。” 康奈尔大学数学家Daina Taimina这样说。近20年来，她一直在沉浸双曲线模型的研究之中。用她的话说，非欧几里得空间可以自行适应那些有趣的应用，比如Farris的壁纸那样。这种视觉效果可以激起人们对数学的兴趣，哪怕是那些讨厌数学的人。
双曲空间下的平面
旧金山大学的数学家John Stillwell指出，最早的非欧几里得草图出现在1890年之后。直到荷兰艺术家M. C. Escher将其运用起来后，才进入艺术领域。Escher的木刻版画“圆极限”就包含了非欧几里得内容。其中的图形越接近圆周则越小，而Farris的作品也有着异曲同工之妙。Stillwell说：“Escher的精神是要在有限的空间内寻找无限。”
Escher的木刻版画“圆极限”
过去两年中，尽管Farris还在球体上创作对称图案，但他正慢慢退出数学壁纸的研究。因为他有了新的目标：“我极其渴望把3D打印机应用到我的作品上。”
让我们拭目以待。
参考资料
www.pnas.org/cgi/doi/10.1073/pnas.1514274112
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