杨振宁和米尔斯发现的定域规范场论，是标准模型的重要基石。
导读：
杨振宁和罗伯特·米尔斯在1954年发现的定域规范场论，是标准模型的重要基石。回顾这一理论的研究和发表过程，杨振宁先生感慨道，“这篇文章是我一生最重要的工作，虽然未竟全功，但是决定当时发表是极正确的。我从而认识到：物理中的难题，往往不能求一举完全解决”。
本文为资深科普作家邢志忠在《赛先生》的专栏“标准模型小史”的第六篇。
邢志忠| 撰文
对称性是自然界的神奇属性之一，在物理学中扮演着至关重要的角色，为深刻理解自然规律的本质提供了举足轻重的基础。对称性不仅有助于对复杂系统进行分类和对复杂问题进行简化，还有助于发现相应的守恒律，甚至有助于确定相互作用的动力学。
在量子场论和粒子物理学中，除了与能量、动量和角动量守恒密切相关的连续时空变换（平移或转动）对称性，“定域规范对称性”（local gauge symmetry）算得上是最基本、最强大的对称性，原因在于它决定了电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用的动力学，因而成为标准模型最重要的基石。
所谓规范变换，指的是电子或夸克等费米子场（即物质场）的相位变换，如；而“定域”意味着其中的变换参数是一个与时空相关的函数。单参数的相位变换在数学上可用群来表示，相应的规范变换被称为阿贝尔规范变换。
阿贝尔群又叫做交换群，是以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔（Niels Abel）的姓氏命名的。非阿贝尔群则属于非交换群，其群元素可以用来描述不可交换的规范变换。倘若理论中存在多个物质场，它们的相位变换由非阿贝尔群元素来描述，则相应的变换叫做非阿贝尔规范变换。当一个物理系统中的费米子场在依赖时空坐标的相位变换下保持不变时，必须存在相应的玻色子场，而且场与场之间的相互作用满足特殊的动力学结构，即“力”是由“对称性”决定的。
以定域规范不变性为基石的量子场论，简称为规范场论或杨-米尔斯场论，其精髓集中体现在杨振宁（Chen-Ning Yang）和罗伯特·米尔斯（Robert Mills）于1954年10月发表的题为“同位旋守恒与同位旋规范不变性”（Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance）的论文中 [1]。而规范理论的历史源头，则要追溯到德国数学家和物理学家赫尔曼·韦尔（Hermann Weyl）在1918年所做的尝试，是他最先引入“规范不变性”（德语Eichinvarianz）的概念。
遇事不决的韦尔：从1918到1929
韦尔是德国数学大师大卫·希尔伯特（David Hilbert）的著名弟子，于1908年获得哥廷根大学数学博士学位，1913年就任瑞士苏黎世联邦理工学院数学系主任。他自1918年开始致力于探索时空的可能数学结构，从而寻找詹姆斯·麦克斯韦（James Maxwell）的电磁场理论和阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）的广义相对论之间的共性。韦尔当时的想法相当朴素：既然从广义坐标变换不变性与等价原理出发，可以推导出广义相对论，那么很有可能存在一个新的几何不变性作为指导性原则，从而得到电磁场理论。于是他研究了随时空变化的场的重新标度问题，发现相应的标度因子不仅具有与电磁势相同数目的分量，而且在要求理论具有标度变换不变性时只有标度因子的旋度具有物理意义，后者也是电磁势所具有的重要属性[2、3、4]。因此韦尔大胆猜测，电磁势可能正比于该标度因子。不过这一猜想很快就被爱因斯坦等人证明是行不通的，即标度变换不变性其实无法导出正确的电磁场理论。尽管如此，韦尔的这番操作却是规范理论的雏形。
1922年秋天，奥地利物理学家埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）在研究原子中电子的量子化轨道时，粗略地考虑了将虚数单位“i”引入韦尔四年前提出的不可积标度因子的指数上，从而使标度因子转化为相位因子成为可能 [5]。但他当时并不确定如此这般的处理是否具有深刻的物理含义。不过四年后的1926年六月，薛定谔终于意识到量子力学的波函数应该是时空的复函数，从而得到了正确的波动方程，其中是“约化”的普朗克常量，而代表系统的哈密顿量。这就是令他名扬四海的薛定谔方程的标准形式 [6]。
受到薛定谔方程的启发，俄罗斯物理学家弗拉基米尔·福克（Vladimir Fock）在1926年发现，满足狭义相对论和量子力学的电磁场理论可以在矢量场（即光量子场）和费米子场（即电子场）同时作类似于韦尔的标度变换的时空变换下保持其形式不变性，但前提条件是费米子场必须携带依赖时空坐标的复相位 [7]。很显然，这种相位变换就是阿贝尔规范变化。1927年，德国物理学家弗里茨·伦敦（Fritz London）发表了题为“韦尔理论的量子力学诠释”（Quantenmechanische Deutung der Theorie von Weyl）的论文 [8]，更加明确地改进和发展了韦尔于1922年提出的标度变换的思想，即把韦尔的不可积标度因子改为波函数的不可积相位因子，然后用一个作用到波函数上的算符将电磁场理论与薛定谔的波动力学联系起来。
韦尔在这个问题上沉寂了近十年后，受到福克和伦敦上述工作的鼓舞，1927年发表了题为“量子力学与群论”（Quantenmechanik und Gruppentheorie）的论文[9]，并于1929年发表了题为“电子与引力”（Elektron und Gravitation）的论文 [10]，正式将自己提出的基于标度不变性的规范理论修正为基于定域相位不变性的规范理论。值得一提的是，韦尔在1929年首次将规范不变性上升到基本原理的高度，即量子电动力学是电磁规范不变性的自然产物：这种不变性要求电磁场一定依存于带电粒子，且其量子（即光子）没有质量。
在《天才的追求》（Pursuit of Genius）一书中 [11]，作者斯蒂夫·巴特森（Steve Batterson）详细描述了普林斯顿高等研究院的早年岁月，其中关于韦尔“遇事不决”的性格的桥段尤其引人入胜。1932年底，在爱因斯坦的举荐下，高等研究院院长亚伯拉罕·弗莱克斯纳（Abraham Flexner）邀请当时韦尔加盟普林斯顿，当时韦尔已接替退休的导师希尔伯特担任哥廷根大学数学系主任。韦尔在1933年1月3日发电报给弗莱克斯纳，表示愿意接受高等研究院的聘任；次日他却改了主意，发电报说暂时无法接受普林斯顿的好意；第三天又给弗莱克斯纳发电报，表示接受聘任，并发誓不再反悔。可是到了1月11日，韦尔通知高等研究院，以搬家困难为由再次放弃了入职的机会。于是被放了鸽子的弗莱克斯纳只好转而聘用了年轻的匈牙利物理学家约翰·冯诺依曼（John von Neumann），后者对美国的原子弹研制和计算机发展都做出了不可磨灭的贡献。
直到1933年9月，迫于德国政治和社会环境的恶化，韦尔为犹太妻子的处境着想，才不得不再次考虑加盟普林斯顿高等研究院。由于先前的犹豫不决给普林斯顿管理层留下了些许负面印象，韦尔的这番申请几经周折才获得批准。当年十月，韦尔携家人来到普林斯顿，后来搬入默瑟大街284号的住宅。1955年韦尔去世后，他的房子卖回给高等研究院，两年后竟被杨振宁先生买到手。杨先生在这栋房子里面住了九年，直到1966年离开普林斯顿，入职纽约大学石溪分校。在那之后不久，高等研究院的卸任院长、美国原子弹之父罗伯特·奥本海默（Robert Oppenheimer）搬入韦尔和杨振宁这两位“规范理论之父”曾经居住过的“规范之屋”，第二年病逝于此。
泡利继续谨慎：零质量的假想粒子不敢再提
从韦尔发表于1918年和1929年的两篇论文的标题，即“引力与电”和“电子与引力”[3、10]，可以看出他在致力于统一描述引力和电磁力的研究过程中发现了电磁理论的阿贝尔规范对称性。这种形式的统一场论在当时是理论物理学的主流热点研究方向之一，代表性人物还包括德国物理学家西奥多·卡鲁扎（Theodor Kaluza），而其基本思想是在五维时空中建立广义相对论的理论框架，把电磁力看作是第五维度（即额外的空间维度）中的“引力”，从而实现用高维引力场统一电磁场的目的[12]。
1929年之后，沿着这一思路探索将强核力或弱核力与电磁力和引力统一起来的著名学者中，当属瑞典物理学家奥斯卡·克莱因（Oskar Klein）和奥地利物理学家沃夫冈·泡利（Wolfgang Pauli），他们所做的工作最接近真正意义上的非阿贝尔规范场论。但令人惋惜的是，这两位著名物理学家都没有正式发表他们的相关研究成果。
1938年5月30日至6月3日，在波兰首都华沙举办了一场聚焦物理学新理论的国际研讨会，出席会议的包括丹麦物理学家尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）、法国物理学家路易·德布罗意（Louis de Broglie）、俄裔美国物理学家乔治·伽莫夫（George Gamow）、匈牙利物理学家尤金·维格纳（Eugene Wigner）等重量级理论家。克莱因在会上介绍了他的矢量规范理论以及电磁力与弱核力的统一模型[13]，其中包含了类似于满足非阿贝尔规范对称性所需要的三种矢量场和类似于弱同位旋二重态等如今标准电弱统一模型的要素，以及相当接近杨-米尔斯规范场论的场强形式，但是并没有包含与电磁场相关的规范场，也存在一些计算错误 [14]。克莱因的这一理论工作没有正式发表在学术期刊上，只是次年被收录在会议文集中，因此并未引起理论同行的关注。紧接着第二次世界大战爆发，打乱了克莱因和其他理论物理学家追寻大统一之梦的研究计划。
1953年，泡利从基于六维时空的引力理论出发，通过将额外的两维空间“紧致化”来实现对现实世界的描述。他发现，如果把电子和中微子当作内禀空间的同位旋二重态，并将它们原有的整体变换改为依赖时空坐标的定域变换，那么非阿贝尔规范场论就是对这种统一场论做“紧致化”的自然产物。
泡利
在1953年7月和12月写给普林斯顿高等研究院的亚伯拉罕·派斯（Abraham Pais）的两封信中，泡利详细地描述了自己的想法和主要计算结果，并附上了一篇题为“介子—核子相互作用与微分几何”（Meson-nucleon interactions and differential geometry）的论文手稿。他注意到，规范不变性会导致静止质量为零的矢量粒子的出现，后者与众所周知的核力的性质并不相符[15]。与1930年底提出中微子概念的做派相似，泡利这次也选择不公开发表他的上述工作。据说泡利在日后私下给出的理由是，“我已经将一个零质量的假想粒子（即1956年才被实验证实的中微子）引入了物理学，我可不敢再这么干了…”（I have already introduced one hypothetical massless particle, and I had no nerve to introduce more…）[16]。
1954年2月10日，泡利在普林斯顿高等研究院做了一场学术报告，介绍了令自己耿耿于怀的非阿贝尔规范理论。身为高等研究院成员的杨振宁正在别处访问，没有参加这场报告会。两周后的2月23日，杨振宁在奥本海默的建议下返回普林斯顿，报告了他和米尔斯关于定域规范不变性理论的研究成果。泡利在报告会的现场几次打断杨振宁的话头，追问他怎样处理此类理论所导致的质量为零的粒子。当时没有人知道这个问题的正确答案，包括杨振宁和泡利，因此严以律己也严以待人的泡利对杨振宁的报告表达了自己的不满情绪，这非常符合他的个性。但其实杨振宁和米尔斯的工作要比泡利的工作简洁而高明，原因在于他们推导出了不依赖于引力的非阿贝尔规范变换和场强的正确形式，从而奠定了规范场论的理论基础并获得了广泛认可。
就在1954年初，当时正在英国剑桥大学三一学院攻读物理学博士学位的英国研究生罗纳德·肖（Ronald Shaw）受到量子电动力学理论的启发，独自发展出一套描述质子和中子之间强相互作用的同位旋对称性理论，其实就是定域规范不变性。他同样受困于理论中所出现的质量为零的粒子，而他的导师阿卜杜勒·萨拉姆（Abdus Salam）对此也束手无策。肖同学决定不发表这一尚不成熟的研究成果，只是将它写入了自己1955年9月完成的博士论文中 [17]，后者看起来比杨振宁和米尔斯发表于1954年10月的论文晚了整整一年。尽管萨拉姆作为导师后来在很多场合将“杨—米尔斯”场论称作“杨—米尔斯—肖”场论，但却难以挽回肖当初因一念之差而铸成的“千古恨”。历史的教训一再表明，对于理论物理学家而言，只做出了学术成果是不够的，发表才是硬道理！
杨振宁：“整个想法太漂亮，应该发表”
1945年底，23岁的杨振宁几经周折从中国来到美国。他于1946年初注册成为芝加哥大学物理系的博士生，师从后来的美国氢弹之父爱德华·特勒（Edward Teller），也得到了现代物理学“教父”恩里科·费米（Enrico Fermi）的点拨和指导。由于对自己一年多来学习实验物理学的收获并不满意，杨振宁转向了理论物理学的学习和研究。这一正确决定使得杨振宁的数学和理论物理学天赋得到了充分发挥，一颗非凡的理论新星从此冉冉升起。
杨先生在“我的学习与研究经历” 一文中描述道：“我在芝加哥的第三个题目是关于泡利的有名的综述报告中关于电磁学之规范不变性。这是韦尔于1918—1919年间发现的。我对此很妙的不变性非常感兴趣，想把它推广（为什么当时我的同时代的研究生们没有也这么想呢？我猜是因为我对群论与不变性特别有兴趣，而他们多半对此没有什么兴趣）”[18]。当时是1947年，杨振宁还在芝加哥大学攻读博士学位，他试图将电磁规范不变性推广成一个新的基本原理，用以描述新发现的粒子之间的强相互作用，但是没有成功。
1949年，杨振宁在获得博士学位之后加盟普林斯顿高等研究院，开始了他的学术生涯的黄金时代。他在1953年夏天访问布鲁克海文国家实验室期间，与也在那里访问、即将从哥伦比亚大学毕业的米尔斯共享一间办公室。米尔斯后来是这样回忆两个人在一起工作的情景的：“杨振宁当时已经在许多场合中表现出了他对刚开启物理学家生涯的青年人的慷慨，他告诉我关于推广规范不变性的思想，我们较为详细地做了讨论。我那时已经掌握了一些量子电动力学的基础知识，所以能在讨论中有所贡献，尤其是在量子化方面，并在计算规范不变性的表述形式方面也做了些许贡献，但是一些关键性的思想都是属于杨振宁的……”[19]。
杨振宁和罗伯特·米尔斯
与韦尔、克莱因和泡利不同，深得费米学派真传的杨振宁没有再走高维引力理论的老路，而是直接从强相互作用的同位旋守恒入手，探索与电荷守恒类似的规范不变性。经过多次尝试，杨振宁和米尔斯终于找到了正确的非阿贝尔规范场的场强表达式。他们随后参照发展电磁学理论的方法，写出了相应的规范场方程式。但他们遇到了泡利曾经遇到过的类似问题，即规范对称性会导致质量等于零的带电粒子，这一结果无论如何都与现实世界不符，令人难以接受。
杨先生多年以后回忆这一番经历时十分感慨，“这个问题给我们带来了大半年的复杂而未能解决问题的计算，中间还有一段泡利为难我的故事。最后我们决定虽然此问题没有解决，但整个想法太漂亮，应该发表，于1954年6月写了一篇文章寄给《物理评论》，幸而立刻被接受了，于10月初发表。这篇文章是我一生最重要的工作，虽然未竟全功，但是决定当时发表是极正确的。我从而认识到：物理中的难题，往往不能求一举完全解决”[18]。
不仅泡利本人，一些年轻的欧洲物理学家们一时也难以完全接受杨振宁和米尔斯的工作，但后者的光辉很快就照亮了整个理论物理学界。1956年，日本数学家内山龙雄（Ryoyu Utiyama）首先认可和引用了杨振宁和米尔斯所提出的规范场理论，并首先称之为杨—米尔斯场论 [20]。1957年，李政道和杨振宁因一年前率先指出弱相互作用宇称不守恒而获得诺贝尔物理学奖，两人也因此一举跻身国际顶级理论物理学家之列。
1960年和1961年，樱井纯（Jun John Sakurai）、南部阳一郎（Yoichiro Nambu）、萨拉姆、谢尔顿·格拉肖（Sheldon Glashow）和默里·盖尔曼（Murray Gell-Mann）等活跃在美国物理学界的一流理论家，都开始引用杨-米尔斯场论。之后全世界越来越多的理论物理学家和数学家开始深入研究杨-米尔斯场论的数学结构和在物理学领域的各种应用，这些应用包括1967年电弱统一理论的建立和1973年描述强相互作用的量子色动力学的诞生。
量子电动力学的创建者之一、美国物理学家和数学家弗里曼·戴森（Freeman Dyson）曾这样评价杨振宁和他的非阿贝尔规范理论 [21]：“杨振宁教授是继爱因斯坦和保罗·狄拉克（Paul Dirac）之后，20世纪物理学的卓越设计师。从当年在中国做学生到后来成为纽约州立大学石溪分校的哲人，引导他的思考方式的始终是他对精确解析结果和数学形式美的钟爱。这种钟爱成就了他对物理学最深远且最有创意的贡献，即与罗伯特·米尔斯一同发现的非阿贝尔规范场。”
在杨振宁看来，是了不起的爱因斯坦最先意识到“对称性可以支配相互作用”这一现代理论物理学的基本原则，并据此无需任何实验事实的引导而成功地构建了既精美又深刻的广义相对论理论。1991年，在题为“对称性与物理学”（Symmetry and physics）的演讲中 [22]，杨振宁将对称性原理对基础物理学的重大影响作了清晰的归纳，如图所示。由此可见，一度作为“被动角色”出现在物理学中的对称性或不变性，最终竟出人意料地演变成可以决定相互作用的“主动角色”！
英国科学史专家雅各布·布鲁诺夫斯基（Jacob Bronowski）曾在其讲述爱因斯坦的经典纪录片《人类的攀升》（The Ascent of Man）中强调，“最难的不在于给出答案，而是怎样提出问题”。杨振宁先生在“我的学习与研究经历”一文中的自问自答，完美地诠释了“提出问题”如何成为年轻学子从事科学研究的最重要驱动力之一。当然，韦尔、泡利和杨振宁等理论物理学家在探索规范对称性的过程中所走的曲折之路也表明，给出问题的正确答案通常也是很难的事。
作者简介：
邢志忠，中国科学院高能物理研究所研究员，研究领域为基本粒子物理学。著有原创科普图书《中微子振荡之谜》，译著包括《你错了，爱因斯坦先生！》《改变世界的方程》《希格斯》等。座右铭为“一个人偶尔离谱并不难，难的是一辈子都不怎么靠谱。”
参考文献：（上下滑动可浏览）
【1】C.N. Yang, R.L. Mills, “Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance”, Phys. Rev. 96 (1954) 191—195
【2】H. Weyl, “Reine infinitesimalgeometrie”, Math. Z. 2 (1918) 384—411
【3】H. Weyl, “Gravitation and electricity”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.) 1918 (1918) 465
【4】H. Weyl, “A new extension of relativity theory”, Annalen Phys. 59 (1919) 101—133
【5】E. Schrödinger, “Zur Voigtschen Theorie des Zeeman-Effects”, Z. f. Phys. 12 (1922) 13—229
【6】E. Schrödinger, “Quantisierung als Eigenwertproblem”, Annalen Phys. 79 (1926) 361—376; 79 (1926) 489—527; 80 (1926) 437—490; 81 (1926) 108—139
【7】V. Fock, “On the invariant form of the wave equation and the equations of motion for a charged point mass”, Z. Phys. 39 (1926) 226—232
【8】F. London, “Quantum mechanical interpretation of the Weyl theory”, Z. Phys. 42 (1927) 375—389
【9】H. Weyl, “Quantum mechanics and group theory”, Z. Phys. 46 (1927) 1—46
【10】H. Weyl, “Electron and gravitation”, Z. Phys. 56 (1929) 330—352
【11】S. Batterson, “Pursuit of Genius”, A.K. Peters/ CRC Press (2006)
【12】Th. Kaluza, “Zum Unitätsproblem der Physik”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.) 1921 (1921) 966—972
【13】 O. Klein, “On the theory of charged fields”, in Proceedings of Warsaw Conference on New Theories in Physics (Paris, 1939) 77—93
【14】沈建其，“克莱因矢量规范理论与电磁力-核力统一模型之历史与物理学意义述评”，《现代物理》 8 (2018) 204—231
【15】W. Pauli, “Wissenschftlicher Briefwechsel”, Vol. IV, Part II, edited by K.V. Meyenn, Springer-Verlag (1999)
【16】M. Shifman, “Standing together in troubled times——Unpublished letters by Pauli, Einstein, Franck and others”, World Scientific (2017)
【17】M. Atiyah, “Ronald Shaw 1929—2016”, Trinity Annual Record 2017 (2017) 137—146
【18】杨振宁，“我的学习与研究经历”，《物理》 41 (2012) 1—8
【19】R. Mills, “Gauge fields”, Am. J. Phys. 57 (1989) 493—507
【20】R. Utiyama, “Invariant theoretical interpretation of interaction”, Phys. Rev. 101 (1956) 1597—1607
【21】F. Dyson, “A conservative revolutionary”, Mod. Phys. Lett. A 14 (1999) 1455—1459
【22】C.N. Yang, “Symmetry and physics”, in The Oskar Klein Memorial Lectures, Vol.1, edited by G. Ekspong, World Scientific (1991)
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