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在量子材料领域打拼的物理人，每每被人询问“此生何干”时，一般都会说在研究固体中电子三个自由度的物理，即电荷、自旋和轨道的集体行为，包括它们共存、耦合及与晶格的相互作用。熟悉能带理论基础知识的物理人都知道，针对固体中电子波函数的一个自由度 (电荷) 所形成的物理效应，已足够复杂。要 handle 三个自由度、再加上声子的联动，大概就难上加难。历经数十年的发展，物理人总算在构建关联电子物理学时，将电荷和自旋两个自由度考量进去，发展出当下已复杂得不可一世的关联电子理论。在这一进程中，读者都相信是电子电荷唱主角、电子自旋当配角。它们的联手，已演绎出凝聚态物理的很多学科分支，并依然在继续探索之路上。
这里，有点让人迷糊的一个现象是：物理人总是将关注重点放在电荷与自旋两个自由度上，而有意无意地将轨道自由度忽略掉。这一现象持续数十年，到今天，我们看到的依然是在“电荷 - 自旋 - 轨道”三个自由度组成的三角形中，“轨道”一侧显得门庭冷落、偏僻荒凉 (no much story here)，就如图 1(A) 所示一般。这样的物理三角形示意，还可以有很多，但大概内涵不过如此。个中原因，其实学物理的人们都明了一二，只是较少有人去梳理说明这“一眼洞明”的道理罢了。事实上，只要将物理人所关注的主要量子相结构特征梳理一番，如图 1(B) 所展示这般，就能看到涉及电子轨道的量子相的确不多、十之有一二：电荷和自旋各自构成固态、液态和气态，再加上一些特定的凝聚态，如将电荷与自旋捆在一起的超导态 (自旋单态库珀对)、如液晶态、如玻璃态、如超固态超流态等等，都不显性包含轨道元素，虽然轨道一直在其中、如胶水一般！
在开始讨论之前，先复习一下元素核外电子轨道大概形态，如图 1(C) 所示。这样的形态在《量子材料》公众号中展示了很多次，无须在此再浪费读者时间。只是需要提及一点：从量子力学角度看，当电子电荷 (C) 和自旋 (S) 都保持很好的量子特性时，轨道角动量 (为简单起见，将角动量，简称为矩 L) 也是一个好量子数。如此，三个自由度似乎应地位相若、三足鼎立而不在话下。不过，很显然的道理：固体晶格中，轨道杂化以成键，是固态形成的根本。此时去讨论固体中某个原子 / 离子核外的轨道量子数“好与坏”，可能是一个问题。
图 1. 量子材料中电子各个自由度主导的耦合物理 (A)、量子相 (B)。而单一原子核外电子轨道的形态，则显示于 (C) 中，以供参考。
(A) from K. Conder, PSI, Switzerland。(B) from https://www.fkf.mpg.de/takagi。(C) from https://socratic.org/questions/what-is-the-difference-between-shell-orbit-subshell-and-orbital。
好吧，在固体晶格中电子的三个自由度，为何偏偏就轨道自由度那么胆怯而懦弱呢？！作为望文生义和班门弄斧的结果，Ising 梳理出如下几条。注意到，望文生义和班门弄斧，就是科普。
(1) 固体中，电荷自由度最棒！它在固体中依然保持固若金汤的量子性质，其相互作用依然由库伦定律规范。即便用固体波函数的语言，去看看那量子霍尔效应中都有电子电荷e 即可感受到这一点。在表征上，电荷自由度在实空间由输运展示多少、k 空间由能带展示几何。在功能和应用上，人类对电荷的操控和运用，都到了登峰造极和洞察秋毫的地步，更不必提及金属、半导体和电介质中电荷的十八般武艺了。
(2) 固体中自旋自由度也很棒，虽然其能标比电荷小了不少。在固体中，电子自旋依然是很好的量子数。因为轴矢量特性，它还拥有丰富的有序态，给予现代磁学和自旋电子学以物理支撑。在表征上，自旋自由度在实空间以各种有序态表现，可由中子衍射和磁圆谱学精确确定，并且在自旋相关输运中有特征展现。而在动量空间，自旋导致的能带变化亦可被各种表征方法清晰展现出来。在功能和应用上，对自旋自由度的展现，可如描述电荷自由度一般冗长累赘，在此不再重复。需要特别强调，自旋电子学的物理及应用，已涉及自旋自由度与轨道自由度的相互作用 (自旋 - 轨道耦合二阶效应 SOC)，特别是自旋轨道矩 (spin - orbit  torque, SOT) 的作用，会在下文再度提及。
(3) 以电荷和自旋自由度作为参考基准，来看轨道自由度，物理人马上就被失望的情绪侵染。虽然图 1(C) 给出了不同电子轨道的空间形态，但这些轨道都是理想化的单一原子轨道，在固体中这些轨道形态、尺度并非一成不变，很多时候甚至难以区分。诚然，固体中离子外层的电子轨道，的确携带了电荷分布和轨道矩信息。而且，物理人通常也用量子化去分析轨道矩。不过，这样的分析可能面对困难。首先，轨道携带的电荷分布因为成键而出现或强或弱的轨道杂化，使得电荷区分变得复杂。第一性原理计算号称可提取空间电荷分布信息，但要实现轨道定量区分，依然存在不确定性。其次，电子轨道矩总是被大很多的自旋矩所遮盖，一般情况下翻不起多大浪花。再次，由于晶体场和能带结构约束，那些空间扩展尺度较小的轨道可能会发生淬灭 (orbit - quenching)，即局域自旋磁矩或外加磁场对此轨道矩施加的作用很小。此时，SOC 可能就不再是不可忽略的因素，可能落入寰宇尘埃之中。
(4) 到目前为止，物理人缺乏好的方法，去表征晶格中电子轨道形态。这一缺失可能是轨道自由度深闺人不知的原因之一。任何物理自由度，如果不能被方便和精确地测量，它被深入研究和利用的价值就不大，自然也不会被给予足够的基础物理意义。对电荷和自旋测量而言，则已经存在并依然在继续发展各种表征方法技术。物理人对它们的踪迹胖瘦，已能定量到极为精确的程度，虽然轨道测量依然还是贫瘠之地。图 2(A) 取自同行学者的总结，展示了电荷、自旋甚至晶格自由度的几种代表性测量方法。但遗憾的是，轨道那一侧就如不毛之地一般 (no much story here)。诚然，通过一些高阶耦合，例如图中显示的 SOC 和 Jahn - Teller 晶格畸变，可以得到一些轨道结构的畸变信息，但这样的表征在今天的需求下显得有些无力。
(5) 作为 Ising 笔记梳理之最后一条，需要指出，晶格中轨道自由度携带的电荷分布与轨道矩，又的确可对电荷和自旋自由度施加高阶关联耦合作用，就如图 1(A) 和图 2(A) 所部分展示那般。除了图示之外，载流子携带的有效质量和迁移率，也能反映在位轨道库伦作用的影响。所谓量子材料中强大的库伦关联效应，亦有轨道自由度参与作祟，SOC  更是成为自旋电子学和量子磁性等众多备受青睐的低能标物理之源头。当量子材料人逐渐走向低能标的量子物态时，包括能谷电子学、拓扑量子态和各种激发物理，都有轨道自由度的影子，其重要性不言自明。
图 2. 固体中电子三个自由度与晶格自由度一起，构成量子材料结构的基石。(A) 各个自由度间相互耦合的测量表征方法示意。(B) 电子三个自由度的输运与操控，着重于电荷流、自旋流和轨道 (矩) 流。
(A) from https://pc.fhi-berlin.mpg.de/research/ultrafast-dynamics-in-solids-and-at-interfaces/。(B) from https://research-highlights.keio.ac.jp/2022/08/b.html。
回过头来，物理人已拥有电荷和自旋这两个极好的量子数。既然轨道自由度如此不受待见，那就让它默默无闻甘当人梯好了？或者就抱残守缺好了？尘世人间如此，物理自由度亦如此，虽然物理人从不甘心。事实上，当下的电荷和自旋自由度，在面对更小、更快、更强需求时，亦还是有所不足，需要物理人去量子材料世界中探索更好的效益与功能。简单梳理，就如图 2(B) 所示：要有更多的自由度“流”供给物理人使用！
之所以如此，大约有如下几点直观而简明的理由：
(1) 在信息输运走向更高要求时，众所周知，电荷自由度作为输运载体之“流”(charge current) 将要被焦耳热问题折磨得奄奄一息。所谓“突破摩尔极限”和“后摩尔时代”，都是治疗这奄奄一息的药方。但是，焦耳热一向顽固不化，不那么容易消弭殆尽。正因为如此，自旋自由度承担自旋“流”的角色登堂入室，使得自旋电子学成为当下信息存储处理的主体，不容争辩。
(2) 自旋电子学的主要功能，乃利用自旋携带的角动量 (矩) 特性去驱动近邻自旋或磁畴响应与翻转，以完成对磁性的操控。在导电性相对较差的铁磁金属或半导体中，利用这一角动量产生的力矩 (spin - torque) 去驱动，是一种方案。只是，这一驱动，依然依赖于载流子携带电荷与自旋一体输运，输运损耗 (焦耳热) 问题依然故我。随后，利用重金属的强 SOC 属性产生自旋 - 轨道力矩 (spin - orbit torque, SOT)，再通过界面耦合，将 SOT 横向注入到临近磁性层中，是另外一种被寄予厚望的方案。若干前沿课题，如 SOT、自旋霍尔效应 (spin Hall effect, SHE)、自旋流 (spin current) 等方案，都与此物理密切相关。很显然，强 SOC 是这些新颖功能的前提条件，以产生足够的自旋流 (spin current)。
(3) 不过，物理人都明白，SOC 是自旋和轨道耦合的二阶物理，只有那些重金属和 4d / 5d 体系才具有强 SOC。毕竟，有一个 SOC 效应能将自旋和轨道联系起来，已经是很不错的事情。只是强 SOC 这一需求，对材料选择施加了很大限制。那些在磁学和自旋电子学中广泛应用的 3d 体系、弱磁和无磁体系，一般就不在以强 SOC 为导向的优选范围内。当然，物理人说，还可借助界面和空间对称破缺来产生额外的类 SOC 效应。这种说辞，乃是无奈之举，因为通过界面产生某种约束不是一件容易的事情。
(4) 自旋电子学发展到今天，希望很大、无奈亦不少。有些物理人会回过头来思考：轨道自由度本身，是否还有可挖掘的物理？毕竟，轨道是一阶自由度，如果能被直接利用，那才是大的利好！至少，我们不再过于依赖自旋轨道耦合 SOC、也不再依赖那些重金属体系。如果那些常见的 3d 过渡金属体系有好的轨道物理，也可被用来产生足够强的“矩”以操控近邻的磁性，那才是了不起的事情！例如，固体中是否存在一些之前尚未被认知到的轨道有序结构？是否可产生与自旋矩类似的物理效应？如轨道霍尔效应 (orbital Hall effect, OHE)？轨道流 (orbital current)？轨道驱动磁翻转或相关效应？这样的效应，如果存在并能被表征和提取，则基于 SOC 的自旋电子学就有了扩张的天地。这样的扩张，无疑不仅是自旋电子学的意义。
如前文所述，轨道自由度在内禀性质、表征方法和可操控等方面一向表现懦弱。轨道淬灭效应，也让物理人在趟入轨道自由度的深水区时表现谨慎。熟悉晶体结构的读者明白，实空间中离子键合乃由电子轨道按照一定对称性杂化交叠而成，存在自发有序轨道矩 (或者称之为轨道织构 orbital texture) 的可能性很少被探讨。期待轨道矩能如自旋矩一般，展现各种自发有序基态结构，似乎还是很少被探索的课题。这样的探索，对高度中心对称的晶体结构，似乎更是如此。
图 3. (A) 针对无 SOC 的中心对称体系，Hyun Woo Lee 教授提出电场 E 诱发轨道织构 <L> ~ E × k，可产生轨道霍尔效应 OHE。如果体系存在 SOC，还可借助 <L ‧ S> 诱发出自旋霍尔效应 SHE。这一机制源于动力学效应，形成动力学轨道织构。个中物理详细，读者可参与他们的论文。(B) 姜勇他们讨论的方案：非磁性体系中存在 SOC 时，就去探测 SHE 和逆自旋霍尔效应 ISHE；不存在 SOC 时，就可用来探测 OHE 和逆轨道霍尔效应 IOHE。需要指出，SOC 可大可小，但只要不为零，就会出现 SHE 和 OHE 共存，给单独提取 SHE 或 OHE 信号带来困难。因此，图中绘制的直流探测 IOHE 的方案，实际上将难以奏效。
(A) from D. Go et al, PRL 121, 086602 (2018), https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.121.086602。(B) from Yong Jiang’ group, npj QM 8, 28 (2023), https://www.nature.com/articles/s41535-023-00559-6。
物理之客观，还真不可较真，而物理人却喜欢较真或认真。Ising 作为外行，对文献的了解可能不全。目前只知道大约在 2018 年，来自韩国浦项科技大学 (Pohang University of Science and Technology) 物理系的 Hyun Woo Lee (汉语译音：李玹雨) 教授团队，别出心裁，提出了一些新颖的观点，即：(1) 即便是在 SOC 微弱的中心对称体系中，依然可产生本征的自旋霍尔效应 (SHE) 和轨道霍尔效应 (OHE)。其中，OHE 的产生，乃源于外加电场驱动电荷运动时可在 k 空间诱发轨道织构 (orbital texture)，如图 3(A) 所示。(2) 很自然，OHE 的产生、强弱，与 SOC 没有必然关系，但具有 SOC 的那些体系，OHE 可产生附加的 SHE效应，对自旋轨道矩产生额外贡献，总体效果完全可以和重金属相比。(3) 这一机制，似乎与轨道淬灭无关，有可能将更多体系用于自旋电子学应用。
这样的 OHE 效应，事实上就是轨道自由度的最好体现。通过轨道织构和轨道携带的轨道矩，在垂直于纵向电流方向，会产生横向的、类似于自旋流一般的轨道“流”(orbital current)。这样的 k 空间轨道织构，与拓扑半金属中反常霍尔效应产生有异曲同工之妙，只是拓扑半金属中是贝里曲率 (Berry curvature) 物理导致巨大的反常霍尔 (anomalous Hall effect, AHE)。注意到，物理人对 AHE 的理解，从最初依赖于铁磁磁矩产生的等效磁场，到量子力学阐述的 k 空间贝里曲率，本质上已经体系是否有磁性脱钩。在反铁磁、拓扑量子等体系中，均可看到很大的 AHE 和反常量子霍尔效应。对 k 空间轨道织构的认识，我们可以用同样的物理逻辑去推演，的确有启示作用。
OHE 的理论预言发表后，便很快有实验证实这一预言。特别是针对非磁性 3d 过渡金属 Ti，实验实现了横向轨道耦合效应 OHE 的测量，令人印象深刻。注意到，Ti 作为 3d 过渡金属，SOC 较弱，由 SOC 联接的 SHE 效应亦会较小，从而利于检测到 OHE。有意义的是，在随后的一系列理论与实验探索中，利用非磁性 / 磁性异质结、并借助 SOC，物理人可将轨道“流”转换为自旋“流”或者反向转换 (自旋“流”转换为轨道“流”)，从而实现自旋电子学所需的效应。
如此 OHE，还是近几年的物理。但到目前为止，这一效应的逆效应，即轨道流转换为电荷流的所谓“逆轨道霍尔效应 (inverse OHE, IOHE)”，则尚未被实验观测到。这样的缺失，在 Ising 看来，有一定道理。毕竟，将电荷流转换为轨道流和自旋流，是自旋电子学所需要的。而相反的过程，似乎不那么令人激动：人类产生电流、即便是产生极化电流，有很多驾轻就熟之道。
这样的缺失，反过来对物理上很认真、较真和孜孜以求的人们来说，不是可有可无的，关键看他们怎么去追求。来自我国天津工业大学的知名自旋电子学学者姜勇教授，带领他的团队，与西南科技大学、北京科技大学和中国科学院物理所的同行合作，对这一 IOHE 效应开展了实验探索。他们应该是早就意识到，图 3(B) 中显示的 OHE 或 IOHE 测量方法，要求体系完全没有 SOC，否则很难精确区分 SHE 和 OHE。这一要求过于苛刻，不切实际。姜勇老师他们的方案有独到之处，思路是：将探索 IOHE 与利用之实现高效 THz 发射联系起来，既实现了对单一 IOHE 的观测，又实现了 THz 发射功能。个中详细，可见图 4 图题，那里给出了 Ising 的读书笔记。
图 4. 姜勇教授他们采用的探测方案。
Ising 读书笔记：(1) 样品乃由铁磁性 Co 层与非磁性 Ti 层 (或者 Mn 层) 组成的异质结，如图 a 所示。其中 Co 层 SOC 较强，Ti 层 SOC 较弱。(2) 现从左侧用飞秒激光泵浦，在 Co 层产生自旋流 JS。注意到，按照 Hyun Woo Lee 的理论，激光光场有相互垂直的电场和磁场分量，可在整个样品内诱发轨道织构 (orbital texture)。(3) 磁性 Co 层中激光泵浦所产生的自旋流 JS之一部分，通过扩散跨越界面，进入右侧的 Ti 层，并随之借助 Ti 层的 SOC (虽然弱)、即 ISHE 效应，转换为电荷流 JC (即 JC,ISHE)，以 THz 形式发射出去。这里，JC,ISHE的符号决定于 Ti 层内自旋霍尔角符号 (θSH,Ti < 0)，因此可推定 JC,ISHE符号为负，如图 b 中曲线 Co(2)Ti(10) 显示的下凹特征所示。(4) Co 层有较强 SOC，还可高效地将激光泵浦所产生的自旋流 JS部分转换为轨道流 JL。这一轨道流随即通过界面扩散进入 Ti 层，并借助本文讨论的 IOHE 效应转换为电荷流 JC (即 JC,IOHE)，以 THz 形式发射出去。这里，JC,IOHE的符号决定于 Ti 层内轨道霍尔角符号 (θOH,Ti > 0)，因此可推定 JC,IOHE符号为正，如图 b 中曲线 Co(2)Ti(10) 右侧的上凸特征所示。因为相位的关系，这下凹上凸特征，在时间谱中被有效分开。(5) 可以看到，Ti 层厚度越厚，则 JC,ISHE/ JC,IOHE特征越明显。
姜勇他们将这一工作整理成文，发表在《npj QM》上，引起同行高度关注。Ising 作为外行继续读书，记下几条笔记，虽不及他们论文全文之万一：
(1) 姜勇他们的基本思路，似乎是在前人之路上逆向行走。首先，他们在原理上论证了这一 IOHE 在物理上是合理的、实际上可测和可资利用的，就如图 3(B) 所示。
(2) 他们提出了实验方案，如图 4(A) 所示。这一方案，对孤陋寡闻地 Ising 而言，就比较独特新颖了。他们采用的结构是 Co 层和 Ti (Mn) 层组成的异质结，这样磁性和非磁性、自旋流和轨道流、自旋霍尔和轨道霍尔，都能通过测量飞秒激光泵浦产生的 THz 发射时域谱而一一展现出来。其中一个例子的详细描述，显示于图 4 的图题中。
(3) 姜勇他们通过不同异质结组合，包括三明治异质结构，将 ISHE、SOC、IOHE 各自的优势组合起来，以更为有效的方式展示了 IOHE 有其优点和独特之处，能附加到已有的 ISHE 上，实现高性能高品质 THz 发射。
这是一个不错的结果，Ising 感谢姜勇教授将这一结果交给《npj QM》。当然，《npj QM》也没少给姜勇他们制造麻烦，以使得这一成果更有说服力、推动这一效应成为自旋电子学新潮流之一。无论如何，OHE 和 IOHE 都是很棒的物理效应，值得渲染。轨道矩、轨道流的出现，对材料本身的要求与 SHE 和 ISHE 不同，也值得继续探索。还需要指出，与自旋矩相比，轨道矩大多数情况下可能较弱，轨道流在提升自旋流、SOT、翻转磁畴等效应的定量效果若何，依然是摆在姜勇他们及国内外此道中人面前的课题。阿门！
雷打不动的结尾：Ising 乃属外行，描述不到之处，敬请谅解。各位有兴趣，还请前往御览原文。原文链接信息如下：
Inverse orbital Hall effect and orbitronic terahertz emission observed in the materials with weak spin-orbit coupling
Ping Wang, Zheng Feng, Yuhe Yang, Delin Zhang, Quancheng Liu, Zedong Xu, Zhiyan Jia, Yong Wu, Guoqiang Yu, Xiaoguang Xu & Yong Jiang
npj Quantum Materials 8, Article number: 28 (2023)
https://www.nature.com/articles/s41535-023-00559-6
备注：
(1) 笔者 Ising，任职南京大学物理学院，兼职《npj Quantum Materials》编辑。
(2) 小文标题“新潮流就是轨道矩流”乃感性调侃言辞，不是物理上严谨的说法。这里的“轨道(矩)流”是一种意象，是指 k 空间中轨道织构引入的轨道霍尔效应 OHE 和逆轨道霍尔效应 IOHE，是电荷 - 轨道 - 自旋转换中的新潮流。姜勇老师他们，是其中一支前哨侦察突击人马！
(3) 文底图片拍摄于鄂东皖西的大别山麓 (20230728)。小诗 (20240426) 原本描写从苏皖穿越大别山的感怀。姜勇似乎是大别山脚的六安人，当下在燕京和津门挥洒恣意。这里也算展示他们在轨道霍尔效应中看到的一番景色。
(4) 封面图片来自姜勇他们的文章，展示了如何借助 IOHE和 ISHE 提升 THz 发射效率和强度，令人印象深刻。
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